Seconde -Lycée Desfontaines 1/4 Annexe 2
Annexe 2 : Cas d’un caractère quantitatif continu
Superficie du logement enm2sur un échantillon de 1000 foyers :
Superficie [20 ; 30[ [30 ; 40[ [40 ; 60[ [60 ; 80[ [80 ; 100[ [100 ; 140[ [140 ; 200[ Total
Effectifs 110 130 208 160 129 212 51 1000
1. Quelle est la population étudiée dans cette étude statistique ?
Combien y a t il d’individus ?
2. Quel est le caractère étudié ?
De quel type de caractère s’agit-il ?
Combien y a-t-il de classes statistiques ?
En citer une et donner son amplitude ainsi que son centre :
3. Compléter le tableau suivant :
Superficie [20 ; 30[ [30 ; 40[ [40 ; 60[ [60 ; 80[ [80 ; 100[ [100 ; 140[ [140 ; 200[ Total
Effectifs (ni) 110 130 208 160 129 212 51 N=1000
Fréquences (fi= ni
N)
4. (a) Compléter le tableau des effectifs cumulés croissants : Bornes des classes 20
Effectifs cumulés croissants
(b) Que représentent les nombres 0, ; 737 et 1000 de la ligne des effectifs cumulés croissants :
(c) Combien de foyers ont un logement de moins de 60 m2?
Seconde -Lycée Desfontaines 2/4 Annexe 2 5. Le but de cette question est de tracer l’histogramme de cette série en choisissant1cm pour une amplitude
de 10 sur les classes et0.25cm2pour un effectif de 10 foyers :
L’histogramme est la représentation graphique la plus utilisée pour représenter une série statistique dont l’étude porte sur un caractère quantitatif continu.
Méthode : Pour réaliser un histogramme, il faut : - représenter les classes sur un axe horizontal.
- représenter des rectangles dont les aires (et non pas les hauteurs) sont proportionnelles aux effectifsni. Afin de tracer ces rectangles,il nous faut déterminer la largeur et la hauteur de chacun d’eux.
(a) Déterminer la largeur de chacun des rectangles :
Sachant qu’une amplitude de 10 est représentée sur l’axe horizontal par un écart de 1cm, on en déduit facilement la largeur de chacun des rectangles à tracer.
Superficie [20 ; 30[ [30 ; 40[ [40 ; 60[ [60 ; 80[ [80 ; 100[ [100 ; 140[ [140 ; 200[
Amplitude ai Largeur du rectanglelien cm
(b) Déterminer maintenant la formule donnant la hauteurHi d’un rectangle en fonction de sa largeurli
et de l’effectifni qu’il représente :
Notonsli la largeur etHi la hauteur d’un rectangle représentant un effectif ni. L’aire de ce rectangle est donc
Or les aires des rectangles sont proportionnelles aux effectifs donc, sachant que 0.25cm2 représente un effectif de 10, on a le tableau de proportionnalité suivant :
Aire Effectif D’où
(c) Compléter alors le tableau suivant (à 0.05 près) :
Superficie [20 ; 30[ [30 ; 40[ [40 ; 60[ [60 ; 80[ [80 ; 100[ [100 ; 140[ [140 ; 200[
Effectifs ni 110 130 208 160 129 212 51
Largeur du rectanglelien cm
Hauteur du rectangleHien cm ≈ ≈ ≈
(d) Tracer alors l’histogramme de cette série en choisissant1cm pour une amplitude de 10 sur les classes et 0.25cm2 pour un effectif de 10 foyers :
20 30 40 60 80 100 140 200
superficie en m2
Dans toutes les questions qui suivent,on considère une répartition régulière à l’intérieur de chaque classe statistique.
Seconde -Lycée Desfontaines 3/4 Annexe 2
6. (a) Construire, à partir du tableau des effectifs cumulés croissants, le polygone des effectifs cumulés croissants :
Pour construire le polygone des effectifs cumulés croissants (dans le cas d’un caractère quantitatif continu), il faut :
- placer dans un repère tous les points de coordonnées (borne d’une classe, effectif cumulé correspondant).
- relier ces points par des segments.
La graduation de l’axe des abscisses doit commencer à la première borne de la première classe statistique et celle de l’axe des ordonnées à l’ effectif cumulé correspondant, cad nécessairement 0.
Superficie Effectifs cumulés croissants
−
−
−
−
−
−
−
−
−
0 100 200 300 400 N
2
= 500 600 700 800 900 N= 1000
| | | | | | | | | | | | | | | |
20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180
−
(b) Déterminer, grâce à ce polygone, une estimation du nombre de foyers ayant une superficie strictement inférieure à 75 m2
7. Compléter le tableau suivant donnant le centre des classes et calculons la superficie moyenne des 1000 foyers :
Pour calculer la moyenne x¯ d’une série portant sur un caractère quantitatif continu, on utilise les mêmes formules que dans le cas d’un caractère quantitatif discret :x¯=n1x1+n2x2+. . .
N = 1
N
Xnixi
ou¯x=f1x1+f2x2+· · ·=X
fixi où lesxi désignent alors les centres des classes.
(ceci n’est valable que dans le cas où nous supposons une répartition régulière à l’intérieur de chaque classe statistique)
Superficie [20 ; 30[ [30 ; 40[ [40 ; 60[ [60 ; 80[ [80 ; 100[ [100 ; 140[ [140 ; 200[
Centre des classes
Effectifs 110 130 208 160 129 212 51
La superficie moyenne de ces 1000 appartements est donc
( il s’agit d’une moyenne de moyennes ; en effet, on considère qu’en moyenne 110 foyers ont une superficie de 25 m2, 130 une superficie de 35 m2 et ainsi de suite, puis on calcule la moyenne avec ces données)
Seconde -Lycée Desfontaines 4/4 Annexe 2
8. Déterminer la superficie médiane des 1000 foyers et donner une interprétation : On rappelle que la médiane d’une série est un réel, notéM tel que :
- au moins50%des valeurs de la série sont inférieures ou égales àM. -au moins50%des valeurs de la série sont supérieures ou égales àM.
Dans le cas d’une série portant sur un caractère quantitatif continu, une valeur approchée de la mé- diane est alors l’abscisse du point d’ordonnée N
2 du polygone des effectifs cumulés croissants.
9. Le but de cette question est de déterminer la ou les classes modales :
Dans le cas d’un caractère quantitatif continu, on ne parle pas de mode mais de classe modale ; une classe modale est une classe ayant le plus grand effectif par unité d’amplitude, cad une classe donnant dans l’histogramme, un rectangle ayant la plus grande hauteur.
(a) Compléter le tableau suivant donnant les effectifs par unité d’amplitude :
Superficie [20 ; 30[ [30 ; 40[ [40 ; 60[ [60 ; 80[ [80 ; 100[ [100 ; 140[ [140 ; 200[
Amplitudeai
Effectifsni 110 130 208 160 129 212 51
Effectifs par unité d’amplitude ni ai
(b) Déterminer alors la ou les classes modales et donner une interprétation :
10. Déterminer un encadrement de l’étendue de cette série statistique :
On rappelle que l’étendue d’une série statistique est la différence entre la plus grande et la plus petite des valeurs prises par un caractère. Dans le cas d’un caractère continu, ne connaissant pas les valeurs exactes de la plus grande et de la plus petite des valeurs prises mais seulement un encadrement de chacune d’elles, on ne peut déterminer qu’un encadrement de l’étendue.
