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Table des matières
1 Généralités sur les fonctions 4
1/ Opérations sur les fonctions . . . 4
2/ Sens de variation . . . 5
3/ Représentations graphiques . . . 6
2 Polynômes du second degré 8 1/ Généralités sur les polynômes . . . 8
2/ Polynômes du second degré . . . 9
3 Dérivation des fonctions 13 1/ Généralités . . . 13
2/ Calculs de dérivées . . . 14
3/ Applications de la dérivation . . . 18
4 Limites 20 1/ Limites d’une fonction en l’infini . . . 20
2/ Limite d’une fonction en un point . . . 21
3/ Asymptotes obliques . . . 22
4/ Opérations sur les limites . . . 23
5 Vecteurs de l’espace 25 1/ Rappels . . . 25
2/ Vecteurs de l’espace . . . 28
3/ Caractérisation vectorielle du parallélisme . . . 30
4/ Repérage dans l’espace . . . 31
5/ Repère orthonormal, distance dans l’espace . . . 33
6 Barycentres 35 1/ Barycentre de deux points . . . 35
2/ Barycentre de trois points . . . 38
3/ Barycentre d’un nombre quelconque de points . . . 41
7 Produit scalaire 42 1/ Définition . . . 42
2/ Autres expressions du produit scalaire . . . 42
3/ Règles de calcul . . . 44
4/ Vecteurs orthogonaux . . . 45
8 Applications du produit scalaire 46 1/ Équations de droites . . . 46
2/ Équations de cercles . . . 47
3/ Longueurs et angles dans un triangle . . . 47
9 Angles orientés 50
1/ Définitions . . . 50
2/ Propriétés . . . 51
10 Trigonométrie 52 1/ Lignes trigonométriques . . . 52
2/ Résolution d’équations . . . 54
3/ Repérage polaire . . . 55
11 Suites numériques 56 1/ Généralités . . . 56
2/ Sens de variation . . . 57
3/ Limites . . . 58
4/ Suites arithmétiques . . . 60
5/ Suites géométriques . . . 61
12 Probabilités 64 1/ Introduction . . . 64
2/ Vocabulaire des évènements . . . 65
3/ Calcul des probabilités . . . 66
4/ Paramètres d’une loi de probabilité . . . 67
5/ Variables aléatoires . . . 68
13 Transformations du plan et de l’espace 70 1/ Généralités . . . 70
2/ Propriétés . . . 71
3/ Images des figures usuelles . . . 73
14 Statistiques 75 1/ Généralités . . . 75
2/ Paramètres de position . . . 76
3/ Paramètres de dispersion . . . 78
4/ Influence d’une transformation affine . . . 80
5/ Résumé d’une série statistique . . . 80
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GENERALITES SUR LES
FONCTIONS
Chapitre 1
Généralités sur les fonctions
1/ Opérations sur les fonctions
a) Égalité de deux fonctions
Soientu etv deux fonctions. On dit que u etv sont égales et on note u=v si : – u etv ont le même ensemble de définition D.
– Pour toutx ∈D,u(x) =v(x).
Définition
Exemple : Les fonctionsuetvsont-elles égales ? 1/ uetvsont définies par u(x) = 3− 2
x+ 1 etv(x) = 3x+ 1 x+ 1 2/ uetvsont définies par u(x) =xetv(x) =x2
x
1/ uetvont le même ensemble de définition :R\{−1}
Pour toutx∈R\{−1},
u(x) = 3− 2
x+ 1= 3(x+ 1)−2
x+ 1 =3x+ 1 x+ 1 =v(x) doncu=v.
2/ uest définie surRetvest définie surR∗doncu6=v.
b) Opérations sur les fonctions
Soientu etv deux fonctions définies surD etλun réel.
– On définit les fonctions u+v,uv, λu, u+λde la façon suivante : (u+v)(x) =u(x) +v(x)
(λu)(x) =λ×u(x)
(uv)(x) =u(x)×v(x) (u+λ)(x) =u(x) +λ – Si, pour toutx∈D,v(x)6= 0 alors on peut définir la fonction u
v par : u
v
(x) = u(x) v(x) Définition
Exemple : Soituetv les fonctions définies sur Rpar u(x) =x2 et v(x) =x+ 3. Déterminer u+v, uv, 2u, u+ 2et u
v.
– Pour tout réelx, (u+v)(x) =x2+x+ 3 ; (uv)(x) =x2(x+ 3) = x3+ 3x2; (2u)(x) = 2x2 et (u+ 2)(x) =x2+ 2
– Pour tout réelx6=−3,u v
(x) = x2 x+ 3
Généralités sur les fonctions 5 c) Composition de fonctions
Soituune fonction définie surDuetvune fonction définie surDv et telle que pour tout x∈Dv,v(x)∈Du.
On appelle fonction composée dev paru la fonction notéeu◦v et définie surDv par : Pour toutx∈Dv,u◦v(x) =u(v(x))
Définition
Dv //Du //R x v //
_
u◦v
OO
v(x) u //u(v(x))
Remarque : Il faut faire attention à l’ordre des fonctions.u◦vetv◦usont en général des fonctions différentes. Il se peut qu’elles aient des ensembles de définition différents voire que l’une existe mais pas l’autre.
Exemple : Soit f la fonction définie sur [0; +∞[ par f(x) = √
x−1 et g la fonction définie sur R par g(x) =x2+ 3. Définirg◦f etf◦g. Sont-elles égales ?
– g◦f est définie sur [0; +∞[ parg◦f(x) =g(f(x)) = (√
x−1)2+ 3 =x−2√ x+ 4 – f◦gest définie surRparf◦g(x) =f(g(x)) =√
x2+ 3−1
– g◦fetf◦gne sont pas égales car elles n’ont pas le même ensemble de définition. On peut ausi remarquer queg◦f(0)6=f◦g(0)
2/ Sens de variation
a) Sens de variation de la fonction u+λ Soit uune fonction défine sur un intervalle I etλun réel.
Siu est monotone surI alorsu etu+λont même sens de variation surI. Propriété
Démonstration
Cas oùu est croissante Soientaet bdeux réels de I.
a6b=⇒u(a)6u(b) caru est croissante surI.
=⇒u(a) +λ6u(b) +λ La fonction u+λest croissante surI.
b) Sens de variation de la fonction λu
Soit uune fonction défine et monotone sur un intervalle I etλun réel.
– Siλ >0 alors les fonctionsu etλuont même sens de variation sur I.
– Siλ <0 alors les fonctionsu etλuont des sens de variation contraires sur I.
Propriété
Démonstration
Cas oùu est croissante
Soientaetbdeux réels de I. Si a6b alorsu(a)6u(b) car u est croissante surI. – Siλ >0 alors λu(a)6λu(b) doncλuest croissante surI.
– Siλ <0 alors λu(a)>λu(b) doncλuest décroissante sur I.
6 Chapitre 1 c) Sens de variation de la fonction u◦v
Soit u une fonction définie et monotone sur un intervalleJ. Soit v une fonction définie et monotone sur un intervalleI et telle que pour tout x∈I,v(x) ∈J.
– Siu etv ont même sens de variation alors u◦v est croissante sur I.
– Siu etv ont des sens de variation contraires alors u◦v est décroissante surI. Propriété
Démonstration
Cas oùu est croissante
Soient aetb deux réels deI. Sia6b alors v(a) ∈J,v(b)∈J etv(a) 6v(b) car v est croissante surI.
– Si u est croissante sur J alorsu(v(a)) 6u(v(b)) donc u◦v(a) 6u◦v(b) donc u◦v est croissante surI.
– Siuest décroissante surJ alorsu(v(a))>u(v(b)) doncu◦v(a)>u◦v(b) donc u◦v est décroissante sur I.
3/ Représentations graphiques
a) Représentation graphique d’une fonction x 7→u(x+a) +b Soit uune fonction et v la fonction définie parv(x) =u(x+a) +b.
Dans un repère (O;−→ı ,−→ ), on appelleCu etCv les courbes représentatives des fonctions u etv.
Cv est l’image deCu par la translation de vecteur−a−→i +b−→j , autrement dit le vecteur de coordonnées −a
b
! . Propriété
x v(x)
x+a u(x+a)
b
a Cv
Cu
Démonstration
SoientM(x;y) etM′(x−a;y+b).
M′ ∈Cv ⇔y+b=v(x−a)⇔y+b=u(x−a+a) +b⇔y=u(x)⇔M ∈Cv
Généralités sur les fonctions 7 b) Représentation graphique d’une fonction λu
Soit u une fonction etv la fonction λuDans un repère (O;−→ı ,−→ ), on appelleCu etCv les courbes représentatives des fonctions u et v. Si M est le point de Cu d’abscisse x alors on obtient le point d’abscisse xde Cv en multipliant l’ordonnée deM parλ.
Propriété
x 2u(x)
u(x)
x u(x)
1 2u(x)
u(x)
−3
4u(x)
x
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POLYNÔMES DU SECOND
DEGRÉ
Chapitre 2
Polynômes du second degré
1/ Généralités sur les polynômes
a) Définition
On appelle fonction polynôme toute fonction f définie surR par : f(x) =anxn+an−1xn−1+· · ·+a1x+a0 où a0,a1,. . .,an sont des réels donnés.
Définition
Exemple :x7→ −x3−5x2+ 7x−1est un polynôme.x7→ x4−4
x2+ 2 n’est pas un polynôme.
b) Propriétés (admises)
1/ SoitP le polynôme défini parP(x) =anxn+an−1xn−1+· · ·+a1x+a0. P est le polynôme nul⇐⇒ a0 =a1=· · ·=an= 0.
2/ SoientP etQles polynômes définis parP(x) =anxn+an−1xn−1+· · ·+a1x+a0 etQ(x) =bpxp+bp−1xp−1+· · ·+b1x+b0 avecan6= 0 et bp 6= 0.
P =Q⇐⇒
( n=p
a0 =b0;a1=b1;· · ·an=bn
Propriété
Conséquence : L’écriture d’un polynôme est unique.
Exemple : Si, pour toutx∈R,ax3+bx2+cx+d= 2x3−x+ 2alorsa= 2, b= 0,c=−1etd= 1.
c) Degré
Soit P un polynôme défini par P(x) =anxn+an−1xn−1+· · ·+a1x+a0 avec an6= 0.
Le nombre nest appelé degré deP. Définition
Exemple :x7→ −x3−5x2+ 7x−1est un polynôme de degré 3.x7→3x−x5 est un polynôme de degré 5.
Polynômes du second degré 9 d) Racines d’une fonction
Soit f une fonction. On appelle racine def toute solution de l’équationf(x) = 0.
Définition
Exemple : 1 est une racine dex7→ −x3−5x2+ 7x−1. 0 est une racine dex7→3x−x5.
2/ Polynômes du second degré
Dans tout le paragraphe, P désigne un polynôme défini par P(x) = ax2+bx+c avec a6= 0.
a) Forme canonique
Il existe des réels α etβ tels que :
Pour toutx∈R,P(x) =a (x+α)2+β. Cette écriture est appelée forme canonique deP.
Propriété et définition
Remarque : On appelle parfois forme canonique l’écriture deP sous la forme P(x) =a(x+α)2+γ
Démonstration
P(x) =ax2+bx+c=a
x2+ b ax+ c
a
=a x+ b 2a
2
− b2 4a2 + c
a
!
=a x+ b 2a
2
+−b2+ 4ac 4a2
!
Exemple : Écrire la forme canonique du polynôme défini parP(x) = 2x2+ 4x+ 6.
P(x) = 2x2+ 4x+ 6 = 2 x2+ 2x+ 3
= 2 (x+ 1)2−1 + 3
= 2 (x+ 1)2+ 2
b) Discriminant
On appelle discriminant deP le réel ∆ défini par ∆ =b2−4ac.
Définition
Exemple : Calculer le discriminant du polynôme défini parP(x) = 2x2+ 4x+ 6.
∆ = 42−4×2×6 = 16−48 =−32.
c) Racines
Les racines de P peuvent être déterminée de la façon suivante : – Si ∆<0 alors P n’a pas de racine réelle.
– Si ∆ = 0 alors P admet une racine réelle : − b 2a. – Si ∆>0 alors P admet deux racines réelles : −b−√
∆
2a et −b+√
∆ 2a . Propriété
10 Chapitre 2 Démonstration
P(x) =a x+ b 2a
2
+−b2+ 4ac 4a2
!
=a x+ b 2a
2
− ∆ 4a2
!
– Si ∆<0 alors
x+ b 2a
2
− ∆
4a2 >0 donc pour tout x,P(x)6= 0.
– Si ∆ = 0 alors P(x) =a
x+ b 2a
2
doncP(x) = 0⇐⇒x=− b 2a. – Si ∆>0 alors P(x) =a x+ b
2a
−
√∆ 2a
! x+ b
2a
+
√∆ 2a
!
donc
P(x) = 0⇐⇒
x+ b
2a
−
√∆
2a = 0 ou
x+ b 2a
+
√∆ 2a = 0
⇐⇒x= −b+√
∆
2a ou x= −b+√
∆ 2a
Exemple : Déterminer les racines deP etQdéfinis par
P(x) = 2x2+ 4x+ 6 et Q(x) =−x2−2x+ 1
PourP : ∆ =−32<0 doncP n’a pas de racine.
PourQ: ∆ = (−2)2−4×(−1)×1 = 4 + 4 = 8>0 doncQadmet deux racines : x1=−(−2)−√
8
2×(−1) = 2−2√ 2
−2 =−1 +√ 2 x2=−(−2) +√
8
2×(−1) = 2 + 2√ 2
−2 =−1−√ 2
d) Liens entre coefficients et racines
SiP admet deux racinesx1 et x2 alors
r1+r2 =−b a r1r2 = c
a Propriété
Démonstration x1+x2 = −b−√
∆
2a +−b+√
∆
2a = −2b 2a =−b
a x1x2 = −b−√
∆
2a ×−b+√
∆
2a = (−b)2−∆
4a2 = b2−b2+ 4ac 4a2 = 4ac
4a2 = c a
e) Factorisation
– Si ∆<0 alors P ne peut pas être factorisé.
– Si ∆ = 0 alors P(x) =a
x+ b 2a
2
– Si ∆>0 alors P(x) =a(x−x1)(x−x2) oùx1 etx2 sont les racines deP. Propriété
Polynômes du second degré 11 Démonstration
Le premier résultat s’obtient en remarquant que siP pouvait se factoriser, on au- rait deux facteurs du premier degré auquel cas l’équationP(x) = 0 admettrait au moins une solution, ce qui est contradictoire avec le résultat obtenu précédemment.
Les deux autres résultats ont été obtenus dans le cours de la démonstration pré- cédente.
Exemple : FactoriserP etQdéfinis par
P(x) = 2x2+ 4x+ 6 et Q(x) =−x2−2x+ 1
PourP : ∆ =−32<0 doncP ne peut pas se factoriser.
PourQ: Les racines sont−1 +√
2 et−1 +√
2 doncP(x) =−(x+ 1−√
2)(x+ 1 +√ 2).
f) Signe
– Si ∆<0 alors x −∞ +∞
Signe de P(x) Signe de a
– Si ∆ = 0 alors x −∞ −2ab +∞
Signe de P(x) Signe de a 0 Signe dea – Si ∆>0 alors
x −∞ x1 x2 +∞
Signe deP(x) Signe dea 0 Signe de −a 0 Signe de a où x1 etx2 sont les racines de P etx1 < x2
Propriété
Démonstration – Si ∆<0 alors
x+ b
2a 2
− ∆
4a2 >0 doncP(x) est du signe dea.
– Si ∆ = 0 alors P(x) =a
x+ b 2a
2
qui est du signe de asauf pour− b 2a. – Si ∆>0 alors P(x) =a(x−r1)(x−r2) où r1 et r2 sont les racines de P. On
peut donc dresser le tableau de signe suivant :
x −∞ x1 x2 +∞
a Signe de a Signe dea Signe dea
x−x1 − 0 + +
x−x2 − − 0 +
Signe de P(x) Signe de a 0 Signe de−a 0 Signe dea
Exemple : Déterminer le tableau de signe deP etQdéfinis par
P(x) = 2x2+ 4x+ 6 et Q(x) =−x2−2x+ 1
PourP : ∆>0 donc
x −∞ +∞
Signe deP(x) + PourQ: Les racines sont−1−√
2 et−1 +√
2 et de plus−1<0 donc
x −∞ −1−√
2 −1 +√
2 +∞
Signe deP(x) − 0 + 0 −
12 Chapitre 2 g) Représentation graphique
Soit (O;−→ı ,−→ ) un repère du plan.
La représentation graphique de P est l’image par la translation de vecteur −→u −2ab
−4a∆
!
de la parabole représentant la fonction x7→ax2. C’est donc une parabole de sommet S−2ab ;P(−2ab ).
Propriété
Illustration :
∆>0 ∆ = 0 ∆<0
Factorisation deP(x) a(x−x1)(x−x2) a(x−x0)2 pas de factorisation Équation P(x) = 0 2 solutions x1 etx2 une solutionx0 pas de solution
a >0
−b
2a
P(−b
2a)
x1 x2
x0=−2b
a −b
2a
P(−b
2a)
a <0 −2ab
P(−2b
a)
x1 x2
x0=−b
2a
−b
2a
P(−b
2a)
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DERIVATION DES
FONCTIONS
Chapitre 3
Dérivation des fonctions
1/ Généralités
a) Limite en 0
Soit f une fonction définie sur un intervalle I contenant 0 etL∈R.
On dit que f(x) tend versL quand x tend vers 0 si on peut rendre f(x) aussi proche de Lque l’on veut pour xsuffisamment proche de zéro. On note : lim
x→0hf(x) =L Définition
Exemple : lim
x→0xx2= 0 lim
x→0xx+ 1 = 1 lim
x→0x√
x+x−2 =−2...
Déterminer la limite en 0 de x2−2x 3x . Pour toutx6= 0, x2−2x
3x =x−2
3 donc lim
x→0xx2−2x 3x =−2
3.
b) Nombre dérivé
Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Soit a∈I eth6= 0 tel quea+h∈I.
On appelle taux de variation def entre aeth le réel f(a+h)−f(a)
h .
On dit quef est dérivable enasi, lorsque htend vers 0, le taux de variation def entre aeth tend vers un réel Lautrement dit si lim
h→0
f(a+h)−f(a)
h =L.
Ce réelL est appelé nombre dérivé de f en aet se notef′(a).
Définition
Exemple : Démontrer que la fonctionf:x7−→x2 est dérivable en 2 et calculerf′(2).
Démontrer que la fonctiong:x7−→√
xn’est pas dérivable en 0.
Pour touth6= 0, f(2 +h)−f(2)
h =(2 +h)2−4
h = h2+ 4h
h =h+ 4 Ainsi lim
x→0hf(2 +h)−f(2)
h = 4.
fest donc dérivable en 2 etf′(2) = 4.
Pour touth6= 0, g(0 +h)−g(0)
h =
√h h = 1
√h. Or, 1
√h n’a pas de limite finie lorsquehtend vers 0 doncgn’est pas dérivable en 0.
14 Chapitre 3 c) Interprétation graphique
Soitf une fonction définie surI etCf sa représentation graphique dans un repère. Soit a∈I.
Si f est dérivable en a alors f′(a) est le coefficient directeur de la tangente à Cf au point A(a;f(a)). L’équation de cette tangente est alors : y=f′(a)(x−a) +f(a).
Propriété
Illustration : SoitA(a;f(a))∈Cf. Soith6= 0 etM(a+h;f(a+h))∈Cf. Le quotient f(a+h)−f(a)
h représente le coefficient directeur de la droite (AM). Lorsque h tend vers 0, M se rapproche de A et la droite (AM) tend à se confondre avec la tangente àCf enA.
a f(a)
a+h f(a+h)
Démonstration
SoitT la tangente à la courbe au pointA. Son coefficient directeur estf′(a) donc l’équation réduite deT est de la forme y=f′(a)x+b.
A∈T doncf(a) =f′(a)a+b doncb=f(a)−af′(a).
L’équation deT est doncy =f′(a)x+f(a)−af′(a) soity=f′(a)(x−a) +f(a).
d) Approximation affine
Soit f une fonction définie surI et dérivable en a∈I.
– Il existe une fonctionϕ telle que pour tout réel havec a+h∈I : f(a+h) =f(a) +hf′(a) +hϕ(h) et lim
x→0hϕ(h) = 0
– La fonction h7−→f(a) +hf′(a) est une approximation affine de f pour h proche de 0.
Propriété
Démonstration
Pourh 6= 0, on poseϕ(h) = f(a+h)−f(a)
h −f′(a).
f est dérivable en adonc lorsqueh tend vers 0,ϕ(h) tend versf′(a)−f′(a) = 0.
De plus,hϕ(h) =f(a+h)−f(a) +hf′(a) soitf(a+h) =f(a) +hf′(a) +hϕ(h)
2/ Calculs de dérivées
a) Fonction dérivée
Soit f une fonction défine sur un intervalleI.
– Si, pour toutx de I,f est dérivable enx, on dit quef est dérivable surI.
– La fonction définie sur I par x 7−→ f′(x) est appelée fonction dérivée de f. Cette fonction est notée f′.
Définition
Dérivation des fonctions 15 b) Dérivées usuelles
Fonctions constantes
Sif est la fonction définie surR par : f(x) =k alorsf est dérivable sur Ret pour tout réelx : f′(x) = 0.
Propriété
Démonstration
Pour tout réelaeth6= 0,
f(a+h)−f(a)
h = k−k h = 0 f est donc dérivable enaetf′(a) = 0.
Fonctions affines
Sif est la fonction définie surR par : f(x) =mx+p alorsf est dérivable sur Ret pour tout réelx : f′(x) =m.
Propriété
Démonstration
Pour tout réelaeth6= 0, f(a+h)−f(a)
h = m(a+h) +p−ma−p
h = mh
h =m f est donc dérivable enaetf′(a) =m
Fonction carré
Sif est la fonction définie surR par : f(x) =x2 alorsf est dérivable sur Ret pour tout réelx : f′(x) = 2x.
Propriété
Démonstration
Pour tout réelaeth6= 0, f(a+h)−f(a)
h = (a+h)2−a2
h = 2ah+h2
h = 2a+h
De plus, 2a+h tend vers 2a lorsque h tend vers 0. f est donc dérivable en a et f′(a) = 2a.
Fonctions puissances
Soit nun entier tel quen>1.
Sif est la fonction définie surR par : f(x) =xn alorsf est dérivable sur Ret pour tout réelx : f′(x) =nxn−1.
Propriété
Résultat admis.
16 Chapitre 3 Fonction inverse
Sif est la fonction définie sur ]− ∞; 0[ ∪]0; +∞[ par : f(x) = 1 x alorsf est dérivable sur ]− ∞; 0[ et sur ]0; +∞[ et pour toutx6= 0 : f′(x) =− 1
x2 Propriété
Démonstration
Pour tout réela6= 0 et h6= 0, f(a+h)−f(a)
h =
1 a+h −1
a
h = a−(a+h)
ha(a+h) = −1 a(a+h) Or −1
a(a+h) tend vers −1
a2 lorsqueh tend vers 0.
f est donc dérivable enaetf′(a) =− 1 a2
Fonction racine carrée
Sif est la fonction définie sur [0 ; +∞[ par : f(x) =√ x alorsf est dérivable sur ]0 ; +∞[ et pour tout réelx >0 : f′(x) = 1
2√ x. Propriété
Démonstration
Pour tout réela >0 et h6= 0 tel quea+h >0, f(a+h)−f(a)
h =
√a+h−√ a h = (√
a+h−√a)(√
a+h+√a) h(√
a+h+√a)
= a+h−a h(√
a+h+√a) = 1
√a+h+√ a Or, lorsqueh tend vers 0, 1
√a+h+√
a tend vers 1 2√a f est donc dérivable enaetf′(a) = 1
2√ a
Fonctions trigonométriques
Les fonctions sinus et cosinus sont dérivables surR et pour tout réelx : sin′(x) = cos(x) et cos′(x) =−sin(x) Propriété
Résultat admis.
c) Opérations sur les fonctions et dérivées
uetv désignent deux fonctions dérivables sur un intervalleI etλun réel.
La fonction u+v est dérivable sur I et (u+v)′ =u′+v′. La fonction λuest dérivable sur I et (λu)′ =λu′.
Propriété
Dérivation des fonctions 17 Démonstration
Pour touta∈I eth6= 0 tel quea+h∈I : (u+v)(a+h)−(u+v)(a)
h = u(a+h) +v(a+h)−u(a)−v(a) h
= u(a+h)−u(a)
h +v(a+h)−v(a) dont la limite estu′(a) +v′(a) lorsqueh tend vers 0. h
(λu)(a+h)−(λu)(a)
h = λu(a+h)−λu(a)
h =λu(a+h)−u(a) h dont la limite estλu′(a) lorsquehtend vers 0.
Exemple : Calculer la dérivée de la fonctionf définie sur]0 ; +∞[parf(x) = 3x2+ 1 3x−5√
x+ 2 fest dérivable sur ]0 ; +∞[ car elle est la somme de fonctions dérivables sur ]0 ; +∞[
et, pour toutx∈]0 ; +∞[,f′(x) = 3×2x+1 3×
−1 x2
−5× 1 2√
x ainsi : f′(x) = 6x− 1
3x2 − 5 2√ x
La fonction uv est dérivable sur I et (uv)′ =u′v+uv′. La fonction u2 est dérivable surI et (u2)′ = 2uu′.
Propriété
Démonstration
Pour touta∈I eth6= 0 tel quea+h∈I : (uv)(a+h)−(uv)(a)
h = u(a+h)v(a+h)−u(a)v(a+h) +u(a)v(a+h)−u(a)v(a) h
= u(a+h)−u(a)
| {zh }
tend versu′(a)
×v(a+h) + v(a+h)−v(a)
| {zh }
tend versv′(a)
×u(a)
dont la limite estu′(a)v(a) +v′(a)u(a) lorsqueh tend vers 0.
Ainsiuv est dérivable et (uv)′ =u′v+uv′.
Exemple : Calculer la dérivée de la fonctionf définie surRparf(x) = (x2+ 1)(x5+ 2) f(x) =u(x)v(x) avecu(x) =x2+ 1 etv(x) =x5+ 2.
fest donc dérivable surRen tant que produit de fonctions dérivables surRet f′(x) = 2x(x5+ 2) + 5x4(x2+ 1)
Siv ne s’annule pas sur I La fonction 1
v est dérivable sur I et
1 v
′
=−v′ v2 La fonction u
v est dérivable sur I et u v
′
= u′v−uv′ v2 Propriété
Démonstration
Pour touta∈I eth6= 0 tel quea+h∈I : 1
v(a+h)− 1 v(a)
h = v(a)−v(a+h)
hv(a+h)v(a) =−v(a+h)−v(a)
h × 1
v(a)v(a+h)
18 Chapitre 3 dont la limite est−v′(a)× 1
(v(a))2 lorsqueh tend vers 0.
Ainsi 1
v est dérivable et 1
v ′
=−v′ v2 De plus
u v
′
=
u×1 v
′
=u′×1 v +u×
−v′ v2
= u′v−uv′ v2
Exemple : Déterminer la dérivée de la fonctionf définie sur]2 ; +∞[parf(x) = 3
2x−4 et de la fonction gdéfinie sur Rpar g(x) = 3x+ 5
2x2+ 1 Pour toutx∈]2 ; +∞[,f(x) =λ× 1
u(x) avecλ= 3 etu(x) = 2x−4.
fest donc dérivable sur ]2 ; +∞[ etf(x) = 3×
− 2 (2x−4)2
= −6
(2x−4)2. Pour tout réelx,g(x) =u(x)
v(x) avecu(x) = 3x+ 5 etv(x) = 2x2+ 1.
gest donc dérivable surRet
g(x) = 3(2x2+ 1)−4x(3x+ 5)
(2x2+ 1)2 =−6x2−20x+ 3 (2x2+ 1)2
Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle J et u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I telle que, pour tout x de I,u(x)∈J.
La fonction f◦u est dérivable et, pour tout réel x deI : (f ◦u)′(x) =u′(x)×f′(u(x)) Propriété
Exemple : Calculer la dérivée de la fonctiongdéfinie surRparg(x) = cos 2x+π
3 .
Pour tout réelx,g(x) =f◦u(x) avecu(x) = 2x+π
3 etf(x) = cos(x).
gest donc dérivable surRetg′(x) =−2 sin 2x+π
3
3/ Applications de la dérivation
a) Dérivée et variations
Soit f une fonction dérivable sur un intervalleI.
– f est croissante surI si et seulement si pour toutx deI,f′(x)>0.
– f est constante surI si et seulement si pour toutx deI,f′(x) = 0.
– f est décroissante surI si et seulement si pour toutx de I,f′(x)60.
Propriété
Propriété admise.
Remarques : On utilise souvent les résultats suivants.
– Si, pour toutxde I,f′(x)>0 alors f est strictement croissante surI.
– Si, pour toutxde I,f′(x)<0 alors f est strictement décroissante surI.
Exemple : Étudier les variations de la fonctionf définie surRparf(x) =x3+ 2x.
fest dérivable surRet pour toutx∈R,f′(x) = 3x2+ 2>0.
La fonctionf est donc strictement croissante surR.
Dérivation des fonctions 19 b) Extremum local
Soit f une fonction définie sur un intervalle I etx0 ∈I.
On dit que f(x0) est un maximum local (respectivement minimum local) de f si l’on peut trouver un intervalle ouvert J inclus dans I et contenant x0 tel que pour tout x∈J,f(x)6f(x0) (respectivement f(x)>f(x0)).
Propriété
Exemple : Une fonction est représentée ci-contre.
Son minimum est−2 Son maximum est 2.
−1et−2sont des minimums locaux 1 et 2 sont des maximums locaux.
Soit f une fonction dérivable sur un intervalleI etx0∈I.
Sif(x0) est un extremum local def alorsf′(x0) = 0.
Propriété
Remarque : La réciproque de cette propriété est fausse.
Soit f une fonction dérivable sur un intervalleI etx0∈I.
Sif′ s’annule en changeant de signe en x0 alors f(x0) est un extremum local de f. Propriété
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LIMITES
Chapitre 4
Limites
1/ Limites d’une fonction en l’infini
a) Limite réelle en l’infini, asymptote horizontale
Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme [A ; +∞[. On dit que f tend versℓlorsquextend vers +∞si tout intervalle ouvert contenantℓcontient aussi toutes les valeurs de f(x) pour xsuffisamment grand.
On note lim
x→+∞f(x) =ℓ.
Propriété
Remarque : on peut définir de même lim
x→−∞f(x).
Exemple : Soitf la fonction définie sur [1 ; +∞[ par f(x) = 1 +1
x. Démontrer que lim
x→+∞f(x) = 1.
Soita∈R.
f(x)∈]1−a; 1 +a[⇔1−a <1 +1
x<1 +a
⇔ −a < 1 x< a
⇔x > 1
a car xest positif.
Ainsi pour x > 1
a, f(x) ∈ ]1− a ; 1 + a[ donc
x→+∞lim f(x) = 1.
0 ℓ
Cf
Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme [A ; +∞[ et C sa courbe représentative dans un repère. Si lim
x→+∞f(x) = ℓ ou si lim
x→−∞f(x) = ℓ, on dit que la droite d’équation y=ℓest asymptote à C.
Propriété
Limites usuelles
x→lim+∞
1
x = 0 ; lim
x→−∞
1
x = 0 ; lim
x→+∞
1
x2 = 0 ; lim
x→−∞
1
x2 = 0 ; lim
x→+∞
√1x = 0.
Propriété
Limites 21 b) Limite infinie en l’infini
Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme [A ; +∞[. On dit que f tend vers +∞lorsquextend vers +∞si tout intervalle de la forme ]M ; +∞[ contient toutes les valeurs de f(x) pour xsuffisamment grand.
On note lim
x→+∞f(x) = +∞. Propriété
Remarque : on peut définir de même lim
x→+∞f(x) =
−∞...
Exemple : Soitf la fonction définie sur [1 ; +∞[ par f(x) = x2+ 3. Démontrer que lim
x→+∞f(x) = +∞.
SoitM ∈R.
f(x)> M⇔x2+ 3> M⇔x2> M−3
⇔x >√
M−3 pourM >3.
Ainsi pourx >√
M−3,f(x)> M donc lim
x→+∞f(x) = +∞.
0 M
Cf
Limites usuelles
x→lim+∞x= +∞; lim
x→−∞x=−∞; lim
x→+∞x2= +∞; lim
x→−∞x2 = +∞; lim
x→+∞
√x= +∞. Propriété
2/ Limite d’une fonction en un point
a) Limite réelle en un point
Soitf une fonction définie sur un intervalleI eta∈I. On dit quef tend versLlorsque x tend vers asi tout intervalle ouvert contenant L contient aussi toutes les valeurs de f(x) pour x suffisamment proche dea.
On note lim
x→xaf(x) =L.
Propriété
Remarque : lim
x→xaf(x) =L⇔ lim
x→h0f(a+h) =L
Exemple : lim
x→0xx= 0; lim
x→0xx2= 0; lim
x→0x(1 +x)2−1 x = 2.
b) Limite infinie en un point, asymptote verticale
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a ∈ I. On dit que f tend vers +∞ lorsquextend versasi tout intervalle de la forme ]M ; +∞[ contient toutes les valeurs de f(x) pour x suffisamment proche dea.
On note lim
x→xaf(x) = +∞. Propriété
