Ces documents sont soumis à des droits d’auteur.
Toute utilisation, à des fins lucratives et sans accord, est interdite .
Contact:
geekteamsn@gmail.com +221771509917
www.seneclasses.com
www.seneclasses.com
FONCTIONS
NUMERIQUES
Cours Fonctions Numériques Page 1 sur 13 Adama Traoré Professeur Lycée Technique
Fonctions Numériques
Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako
A- / Ensemble de définition d’une fonction : 1- / Définition :
Soit f : A → B une fonction. On appelle ensemble de définition D
fde f, l’ensemble des éléments x de A qui ont une image dans B par f.
2- / Exemples :
Déterminer l’ensemble de définition D
fde chacune des fonctions définies par.
a) f (x ) = 3x
2+ 4x – 9 ; b)
6 7 ) 1
(
2+
−
= +
x x x x
f ; c)
5 ) 4
( −
= − x x x
f ;
d) f ( x ) = − x
2+ 3 x − 2 . B- / Limites :
I- / Approche graphique :
La fonction f est donnée par sa courbe représentative ci-dessous.
1-/ Déterminer l’ensemble de définition D
fde f.
2-/ Trouver lim ( ) ; lim ( ) ; lim ( ) ; lim ( )
0
0
f x f x f x f x
x x
x
x→ + → − →−∞ →+∞
Cours Fonctions Numériques Page 2 sur 13 Adama Traoré Professeur Lycée Technique
II-/ Calcul de limites :
1-/ Limites obtenues directement ou par transformation de l’expression : a/ Fonctions Polynômes :
• Théorème 1 : À l’infini toute fonction polynôme a même limite que son monôme de plus haut degré.
• Exemples : Calculer les limites suivantes
1 8 4 5 7 lim
; 4 3
5 lim
; 9 5 2
lim −
3+
2− + −
3−
2+ +
4−
3+
2− +
∞
−
→
∞ +
→
∞
−
→
x x x x x x x x x x
x x
x
b/ Fonctions Rationnelles :
• Théorème 2 : À l’infini toute expression se présentant sous la forme d’une fraction a même limite que le rapport des monômes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur.
• Exemples : Calculer les limites suivantes
2 5 2
4 lim 2
2 ; lim 8 7 ;
9 8 7 lim 5
2 ; 5 4
7 6 5
lim 3
3 22 3 1 3
2 2 2 2
2 3
+
− +
− + +
−
−
− +
− +
− +
−
− +
−
→
→
∞ +
→
∞
−
→
x x x
x x x x
x x
x
x x x
x
x x x
x x
x x
c/ Fonctions Irrationnelles :
Déterminer les ensembles de définition de chacune des fonctions puis calculer les limites suivantes.
*
1 8 lim 3
1 ; 8 ) 3
(
1−
+
−
− +
= −
→
x
x x
x x
f
x; **
( )
( 3 1 3 2 )
lim
; 2 3 1
3 lim 6 ;
3 lim 2 6 ;
3 lim 2 6 ;
3 ) 2 (
2
2 2
2 2
+ +
− +
+ +
−
− + +
− +
−
= +
∞ +
→
∞
−
→
∞ +
→
∞
−
→
x x x
x x x x
x x
x x
x x f
x
x x
x
d-/ Fonctions Trigonométriques :
Retenons que pour x très voisin de zéro on a : sinx = x d’où
cos 0 lim 1
2 ; 1 cos lim 1
; tan 1
lim
; sin 1
lim 0
; sin 1 lim
2 0 0 0
0
0
= ≠ = = − = − =
→
→
→
→
→
x
x x
x x
x ax
a ax x pour
x
x x
x x
x
Exercices : Calculer les limites suivantes
x x x
x x
et x x pour
x x
x x x
x
1 2 sin
cos 2 lim 1 sin ;
lim sin sin ;
lim 0 0
sin ; lim tan
4 0
3 0
0
−
≠ −
≠
−
→ →
→
→
α β
πβ α β
α
2-/ Limites obtenues par changement de variables :
Exemple : 3
; 6 3 cos 2
1 sin lim 2
6
−
=
=
− −
−
→
Rép obtient on
u x
posant en
x x
x
π
π
3-/ Limites obtenues par encadrement : a) Si f(x) ≤ g(x) et = +∞
∞ +
→
( )
lim f x
x
alors = +∞
∞ +
→
( )
lim g x
x
.
b) Si f(x) ≤ g(x) et = −∞
∞
−
→
( )
lim g x
x
alors = −∞
∞
−
→
( )
lim f x
x
.
Cours Fonctions Numériques Page 3 sur 13 Adama Traoré Professeur Lycée Technique
c) Exemple :
Soit f : x a f ( x ) = x + 3 cos x .
Pour tout réel x on a : x − 3 ≤ f ( x ) ≤ x + 3 .
• − ≤ − ≤ = −∞ ⇒ = −∞
∞
−
→
∞
−
→
∞
−
→
( 3 ) lim ( ) lim ( )
lim
; ) (
3 f x x f x f x
x
x x
x
;
• ≤ + ≤ + = +∞ ⇒ = +∞
∞ +
→
∞ +
→
∞ +
→
( ) lim ( 3 ) lim ( )
lim
; 3 )
( x x f x x f x
f
x x x.
4-/ Théorème des gendarmes :
Soient f ; g et h trois fonctions telles que :
∀ x ∈ ] [ a ; b si f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) et f x h x l Alors g x l
a x a
x a
x
= = =
→
→
→
( ) lim ( ) lim ( )
lim .
Exemple : Calculer
+
∞ +
→
1
3 lim sin
2x x
x
0
1 3 lim sin
1 1 1 3 sin 1 1 1
3 sin
1
2 2 2 2 =
⇔ +
≤ +
≤ +
− +
⇔
≤
≤
−
⇔
→+∞x
x x
x x x
x
x
5-/ Utilisation de la dérivée dans le calcul des limites : a) ( ) ( ) ' ( )
lim
00 0
0
x x f
x x f x f
x
x
=
−
−
→
.
b) Exemples
1 ) 0 cos(
) 0 ( (sin)' 0
0 sin lim sin
lim sin
; cos 0
lim 1
; 2 4
1 lim tan
0 0
0 4
=
=
− =
= −
− =
=
−
−
→
→
→ →
x
x x
x x
x x
x
x x
x π
π
xC- / Continuité d’une fonction f :
1– Continuité en un point d’abscisse x
0:
a) Définition : Soit f une fonction numérique de la variable réelle x d’ensemble de définition D
f. On dit que f est continue au point
d’abscisse x
0de D
fsi et seulement si f ( x
0) est définie et lim ( ) (
0)
0
x f x f
x
x
=
→
.
=
•
⇔ •
→
( ) ( )
lim ) int (
0 0
0 0
x f x f
définie x
f D
de x
po au continue est
f
x f x
b) Exemple : – Soit
x x x
f 2
) 2
( = − . La fonction f est-elle continue en x
0=1 ? ; en x
0=0 ? – Soit f définie par
2 ) 2
( +
= − x x x
f .
Déterminer l’ensemble de définition D
fde f.
f est-elle continue en x
0= 2 ?.
2– Prolongement par continuité en un point : a) Définition :
∈
=
•
∉
•
→
f x l l IR
Df x
si seulement et
x si po
au continuité
par le prolongeab est
f
x
x
lim ( ) ,
int ,
0
0 0
Son prolongement est la fonction g définie par
=
≠
= l x g
x x si x
f x g
) (
) ( ) (
0
0
Cours Fonctions Numériques Page 4 sur 13 Adama Traoré Professeur Lycée Technique
b) Exemple et contre exemple :
– Soit f la fonction définie par
1 3 ) 4
(
2
− +
= − x
x x x
f ; f est-elle prolongeable par continuité en x
0=1 ? si oui déterminer son prolongement g.
– Soit f définie par ( ) 3
2x x
f = ; f peut-elle être prolongée par continuité en 0 ?.
3– Continuité d’une fonction sur un intervalle I = [a ;b] :
Une fonction f est continue sur I = [a ; b] , si elle est continue en tout point de I = [a ; b].
4– Théorème 3:
Toute fonction polynôme est continue sur ℝ.
Toute fonction rationnelle est continue en tout point de son ensemble de définition.
5– Théorème 4 :
Si f et g sont deux fonctions respectivement continue en x
0; alors les fonctions ( ) ; ( ) ; ( ) ; ( ) ( ) ; ( ) ≠ 0
∈
×
−
+ si g x
g IR f f
g f g f g
f λ λ
sont continues en x
0.
6– Théorème des valeurs intermédiaires : a) Énoncé du théorème 5 :
Soit f une fonction continue sur un intervalle fermé [a ; b] et c un nombre situé entre f ( a ) et f ( b ) inclusivement ; alors il existe au moins une valeur x dans l’intervalle [a ; b] tel que f ( x ) = c .
a x
f(a) c f(b)
b
(C
f)
Cours Fonctions Numériques Page 5 sur 13 Adama Traoré Professeur Lycée Technique
b) Conséquence du Théorème 5 :
Si f est une fonction continue sur [a ; b] et si f ( a ) et f ( b ) sont de signes contraires c'est-à-dire f ( a ) × f ( b ) < 0 alors l’équation f ( x ) = 0 admet au moins une solution α dans [a ; b] tel que f ( α ) = 0 .
b) Théorème de la bijection :
Si f est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I = [a ; b] alors f réalise une bijection de I = [a ; b] sur f ( I ) où f ( I ) est un intervalle.
De plus si f ( a ) et f ( b ) sont de signes contraires c'est-à-dire f ( a ) × f ( b ) < 0 alors l’équation f ( x ) = 0 admet une solution unique α dans [a ; b] tel que
0 ) ( α =
f .
a
f(a) f(b)
b (C
f)
α α α α
1111α α α α
2222α α α
α
3333x 0
y
a
f(a) f(b)
b
α α α
α
0
Cours Fonctions Numériques Page 6 sur 13 Adama Traoré Professeur Lycée Technique
7- Représentation graphique d’une bijection réciproque :
Pour représenter la courbe (Cf
–1) de la bijection réciproque de la bijection f ; on trace le symétrique orthogonal de la courbe (Cf) de f par rapport à la première bissectrice d’équation y = x.
8- Rappels :
Soit f la fonction définie sur un intervalle I = [a ; b]. Soient x
1et x
2deux éléments de I.
- Si x
1≤ x
2⇒ f(x
1) ≤ f(x
2) alors f est croissante sur I.
- Si x
1≤ x
2⇒ f(x
1) ≥ f(x
2) alors f est décroissante sur I.
- ∀x
1ε I, ∀ x
2ε I, si f(x
1) = f(x
2) alors f est constante sur I.
D- / Dérivée d’une fonction numérique : 1- Fonction dérivable en un point :
a) Définition : On dit qu’une fonction f est dérivable au point d’abscisse x
0(ou admet un nombre dérivé au point x
0) de son ensemble de
définition si et seulement, si : ( ) ( ) ; ( ) lim
0 0
0
IR A x A
x x f x f
x
x
= ∈
−
−
→
. A est noté
) ( ' x
0f et est appelé le nombre dérivé de la fonction f au point x
0. b) Exemples :
Etudier la dérivabilité de f en x
0dans les cas suivants - f ( x ) = x
2+ 2 x − 1 et x
0= 2 ;
- f ( x ) = 1 − x
2et x
0= − 1
1
èrebissectrice : y = x
C
fCf
-1x
y
Cours Fonctions Numériques Page 7 sur 13 Adama Traoré Professeur Lycée Technique
2- Équation de la tangente à la courbe en un point x
0:
L’équation de la tangente (T) à la courbe (C
f) de f au point d’abscisse x
0est . (T) : y = f ’(x
0)(x–x
0) + f (x
0) .
3- Remarque : Si le coefficient directeur f ’(x
0) = 0, la tangente est horizontale ou parallèle à l’axe des abscisses en x
0.
4- Techniques de dérivation : a) Formules de dérivation :
Soient f ; u et v des fonctions dérivables en un point x de l’intervalle I.
Fonction f définie par Fonction dérivée f ’ définie par
c x
f ( ) = f ’ (x) = 0
x x
f ( ) = f ’ (x) =1
ax x
f ( ) = f ’ (x) = a
x
nx
f ( ) = f ’ (x) = n x
n−1ax
nx
f ( ) = f ’ (x) = an x
n−1x x
f 1
)
( = f ’ (x) =
2
1 x
−
f(x) = x
x 2
1 f
nu = u ’ = ( ) f
n' = n × f
n−1× f '
v u
f = + f ’ = ( u + v ) ’ = u ’ + v ’
v u
f = × f ’ = ( u × v ) ’ = u ’ v + v ’ u
v
f = u f ’
'
= v u
2
' '
v u v v u −
= )
( )
( x u x
f = f ’ (x ) =
) ( 2
) ( '
x u
x u
) (
)
( x u ax b
f = + f ’ (x ) = a × u ' ( ax + b )
b) Dérivées de fonctions circulaires : x
x
f ( ) = sin f ’ ( x ) = cos x
x x
f ( ) = cos f ’ ( x ) = − sin x
) sin(
)
( x ax b
f = + f ’ ( x ) = a cos( ax + b )
) cos(
)
( x ax b
f = + f ’ ( x ) = − a sin( ax + b )
tgx x
f ( ) =
f ’ tg x
x
x
21
2cos ) 1
( = = +
gx x
f ( ) = cot
f ’ ( 1 cot )
sin ) 1
(
2g
2x
x = − x = − +
Cours Fonctions Numériques Page 8 sur 13 Adama Traoré Professeur Lycée Technique
c) Dérivée de la bijection réciproque :
. ( ) f
−1 '( a ) = f ' [ f 1
−1( a ) ] .
5- Extension du nombre dérivé : a) Point anguleux
Soit f une fonction numérique admettant au point x
0un nombre dérivé à gauche
) (
0'
x
f
gdifférent du nombre dérivé à droite f
d'( x
0) . On dit que la fonction f n’est pas dérivable en x
0et le point d’abscisse x
0est un point anguleux de la courbe (C
f).
La courbe présente au point d’abscisse x
0deux demi tangentes.
– Une demi tangente à gauche de pente = f
g'( x
0) ; – Une demi tangente à droite de pente = f
d'( x
0) .
Sinx
– Sinx
– cosx cosx
Dérivée
Primitive
O N.B : Cette nouvelle technique que
je mets à votre disposition vous permettra de retenir le plus simplement possible la dérivée
et la primitive des fonctions Sinus et Cosinus
y
x
0x
0f(x
0) f(x
0)
y
x
x
M
0M
0Cours Fonctions Numériques Page 9 sur 13 Adama Traoré Professeur Lycée Technique
b) Point de rebroussement ou un pic :
+∞
− =
−∞ −
− =
−
+
− →
→ 0
0 0
0
( ) ( )
) lim ( ) lim (
0
0
x x
x f x et f
x x
x f x Si f
x x x
x
;
Alors la courbe (Cf) présente au point d’abscisse x0
une demi-tangente verticale dirigée vers le haut. On dit que le point d’abscisse x0 est un point de
rebroussement ou un pic.
∞
−
− =
∞ − +
− =
−
+
− →
→ 0
0 0
0
( ) ( )
) lim ( ) lim (
0
0
x x
x f x et f
x x
x f x Si f
x x x
x
;
Alors la courbe (Cf) présente au point d’abscisse x0 une demi-tangente verticale dirigée vers le bas.
On dit que le point d’abscisse x0 est un point de rebroussement ou un pic.
E- / Inégalités des Accroissements Finis :
Soit f une fonction dérivable sur I = [a ; b] où a et b sont des réels.
• Première Forme :
Si a ≤ b et si les réels m et M sont tels que : ∀ x ε [a ; b]
m ≤ f ’(x) ≤ M alors m(b–a) ≤ f (b) – f (a) ≤ M(b – a)
• Deuxième Forme :
Si k est un réel tel que : ∀ x ε [a ; b] = I ,
| f ’(x) | ≤ k alors | f (b) – f (a) | ≤ k |b – a|
Exemple : soit f la fonction définie sur
; 4 0 π
par f ( x ) = sin x . Démontrer que pour tout x de
; 4 0 π
on a : x ≤ sin x ≤ x 2
2 .
F-/ Dérivabilité et continuité : 1- Théorème 6 : (admis)
Si une fonction numérique est dérivable en un point, elle est continue en ce point.
Par contre, une fonction continue en un point n’est pas nécessairement dérivable en ce point.
2- Exemple : f : x ֏ f (x)= |x| est continue en x = 0, mais pas dérivable en x = 0.
y
x
0f(x
0)
x
M
0( C
f)
y
x
0f(x
0)
x
M
0( C
f)
Cours Fonctions Numériques Page 10 sur 13 Adama Traoré Professeur Lycée Technique
ÉTUDE D’UNE FONCTION NUMÉRIQUE
Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako I – Quelques propriétés géométriques :
1. Fonctions paires :
Une fonction numérique f d’ensemble de définition D
fest dite paire si, et seulement si ∀ ∀ ∀x ∀ ε ε ε ε D
f, (–x) ε ε ε ε D
f; f (–x) = f (x).
La courbe ( C
f) de f admet l’axe des ordonnées comme axe de symétrie.
2. Fonction impaire :
Une fonction numérique f d’ensemble de définition D
fest dite impaire si, et seulement si ∀x ε D
f, (–x) ε D
f; f (–x) = – f (x).
L’origine du repère est centre de symétrie pour la courbe (C
f) de f dans un repère cartésien.
3. Axe de symétrie d’une représentation graphique :
Dans un repère orthogonal la droite (D) d’équation x = a , ( a ε ℝ) est axe de symétrie pour la courbe (C
f) de f , si et seulement si f (2a – x) = f (x).
4. Centre de symétrie d’une représentation graphique :
Le repère étant quelconque, le point I (a ; b) est un centre de symétrie pour la courbe (C
f) de f si et seulement si, f (2a–x) + f (x)= 2b.
5. Fonctions périodiques :
Une fonction numérique f est périodique si, seulement si il existe un réel strictement positif t tel que ∀x ε D
ff (x+t) = f (x) .
On dit alors que t est une période de f . – Si f(x) = cos(ax +b) alors la période
T = 2 a π ; – Si f(x) = sin(ax +b) alors la période
T = 2 a π ; – Si f(x) = tan(ax +b) alors la période
T = π a . II – Plan d’étude d’une fonction numérique :
Pour étudier une fonction numérique nous adopterons le plan suivant : Déterminer l’ensemble de définition (étudier la continuité)
Etudier éventuellement la parité. Recherche de la période, des symétries afin de réduire l’intervalle d’étude.
Etudier les limites aux bornes de l’ensemble de définition ;
Calculer la fonction dérivée et étudier son signe ; indiquer le sens de variation.
Consigner dans un tableau de variation les résultats précédents.
Déterminer les points remarquables à l’étude de la fonction
Points d’intersection de la courbe avec les axes de coordonnées
Points d’inflexion etc.
Cours Fonctions Numériques Page 11 sur 13 Adama Traoré Professeur Lycée Technique
III – Exemple d’étude de fonctions polynômes :
1- Théorème 1: Si f admet un extremum relatif d’abscisse x
0, alors fɅ(x
0) = 0 ou f n’est pas dérivable en x
0.
2- Théorème 2: Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert ]a ; b[.
Si fɅ(x) s’annule en x
0de ]a ;b[ en changeant de signe, alors f admet un extremum en x
0.
3- Exemple : Soit f la fonction définie par f ( x ) = x
3− 3 x + 2 . a) Etudier les variations de f ;
b) Montrer que f admet un point d’inflexion que l’on précisera. On
déterminera les intersections de la courbe (C
f) de f avec les axes de coordonnées.
c) Tracer la courbe ( C
f) de f dans un repère orthonormé. Quels sont les extremums relatifs de f ?. En quels points sont-ils atteints ?.
IV – Exemple d’étude de fonctions rationnelles :
1- Recherche d’asymptotes parallèles aux axes de coordonnées : a) Asymptote Verticale :
Si = + ∞ − ∞
→
f x ou
a
x
lim ( ) alors la droite d’équation x = a est asymptote verticale à la courbe ( C
f) de f .
O x
y
x = a
(C
f)
i j
La droite d’équation : x = a est
asymptote verticale à la courbe de f.
Cours Fonctions Numériques Page 12 sur 13 Adama Traoré Professeur Lycée Technique
b) Asymptote horizontale : Si lim f ( x ) L ( réel )
x
=
∞
→+−
,alors la droite d’équation y = L est asymptote horizontale à la courbe (C
f) de f .
2- Exemple : Étudier et représenter la fonction f définie par
1 2 ) 2
( −
= + x x x
f .
3- Asymptote oblique :
• Si =
+−∞
∞
→+−
( ) lim f x
x
, alors il y a possibilité d’asymptote oblique en
+−∞.
• Si ( ) = + + ( ) lim ( ) = 0
∞
→+−
x C avec
x C b ax x f
x
; alors la droite d’équation y = ax+b est asymptote oblique à la courbe au voisinage de +∞ ou –∞.
• La droite ( D ) d’équation : y = ax + b est dite asymptote oblique à la courbe au voisinage de de +∞ ou –∞ ; si et seulement, si
lim [ ( ) − ( + ) ] = 0
∞
→+−
f x ax b
x
.
4- Position de la courbe par rapport à son asymptote oblique :
Pour étudier la position de la courbe (C
f) de f par rapport à son asymptote oblique (D) d’équation : y = ax + b ; on étudie le signe de f ( x ) − ( ax + b ) dans Df.
1
ercas : Si [ f ( x ) − ( ax + b ) ] < < < < 0 ; alors la courbe (C
f) est en dessous de (D).
2
èmecas : Si [ f ( x ) − ( ax + b ) ] > 0 ; alors la courbe (C
f) est au dessus de (D).
3
èmecas : Si [ f ( x ) − ( ax + b ) ] = 0 ; alors la courbe (C
f) coupe (D) en un point x
0.
O x
y
y = L
(C
f)
i j
La droite d’équation : y = L est
asymptote horizontale à la courbe de f.
Cours Fonctions Numériques Page 13 sur 13 Adama Traoré Professeur Lycée Technique
5- Exemple : Soit f la fonction définie par
2 15 ) 5
(
2
− +
= − x
x x x
f .
a) Déterminer les réels a, b et c tels que
) 2
( = + + −
x b c ax x
f ;
b) Montrer que la courbe ( C
f) de f admet une asymptote oblique ( D ) à préciser ;
c) Etudier la fonction f ;
d) Montrer que le point I (2 ; –1) est centre de symétrie pour la courbe ( C
f) de
f ;
e) Etudier la position relative de (C
f) par rapport à (D) ; f) Construire ( D ) et ( C
f) dans un repère orthonormé.
6- Recherche de l’asymptote oblique :
Soit f une fonction de ℝ vers ℝ. S’il existe deux réels a et b tels que :
a et [ f x ax ] b
x x f
x
x
= − =
∞
→
∞
→+−
( ) lim
+−( )
lim , alors la courbe ( C
f) de f admet
pour asymptote la droite (D) : y = ax + b au voisinage de +∞ ou de –∞.
Dans cette recherche 5 cas peuvent se présenter qu’on résume dans le tableau ci-dessous.
x x f
x
) lim (
∞
→+−
[ f x ax ]
x
−
∞
→+−
( ) lim
a ( a ε ℝ)
Direction asymptotique ∆
définie par la droite d’équation :
y = ax
b ( b ε ℝ) Asymptote oblique : y = ax + b.
+∞ ou –∞
Branche parabolique de direction ∆.
Pas de limite
+∞ ou –∞
Direction asymptotique ∆
définie par la droite d’équation :
x = 0.
Branche parabolique de direction ∆.
Pas de limite
Pas de direction
asymptotique
www.seneclasses.com
FONCTIONS
EXPONENTIELLE
ET LOGARITHME
Math´ematique en Terminale S Fonction exponentielle et logarithme
Table des mati` eres
1 La fonction exponentielle 2
1.1 Existence et unicit´e . . . . 2
1.2 Relation fonctionnelle . . . . 2
1.3 La notation e
x. . . . 3
1.4 Variations et limites . . . . 4
1.5 Synth`ese : . . . . 5
2 La fonction logarithme 6 2.1 D´efinition et propri´et´es . . . . 6
2.2 Relation fonctionnelle . . . . 7
2.3 Variations et limites . . . . 7
2.4 Synth`ese : . . . . 8
3 Applications 10 3.1 Echelle semi-logarithmique . . . . 10
3.2 Logarithme d´ecimal et pH d’une solution aqueuse . . . . 11
3.3 Croissance ou d´ecroissance exponentielle . . . . 12
Fonction exponentielle et logarithme Terminale S
Section 1
La fonction exponentielle
1.1 Existence et unicit´ e
Il existe une unique fonction f d´erivable sur R telle que f
′( x ) = f ( x ) quelque soit le r´eel x et f (0) = 1 Cette fonction est appel´ee fonction exponentielle, not´ee exp.
Th´ eor` eme
On distingue deux ´etapes dans la d´emonstration de ce th´eor`eme.
D’abord, on admet (hors programme) l’existence d’une telle fonction. Remarquons tout de mˆeme que la m´ ethode d’Euler
✍permet de construire approximativement la courbe repr´esentative d’une telle fonc- tion. Ensuite, on d´emontre l’unicit´e d’une telle fonction.
D´ emonstration de l’unicit´ eOn suppose qu’il existe une fonction g qui n’est pas l’exponentielle telle que g
′= g et g (0) = 1 .
On d´ efinit alors la fonction h d´ efinit pour tout r´ eel x, par :h(x) = g(x)
exp(x) . La fonction h est parfaitement d´ efinie car on d´ emontrera un peu plus tard que exp ( x ) > 0 , ∀ x ∈ R .
La fonction est d´ erivable sur R et admet donc pour d´ eriv´ ee :
h
′(x) = g
′(x) × exp(x) − g(x) × exp(x)
( exp ( x ))
2= 0 car pour tout x ,g
′(x) = g(x)
Donc quelque soit le r´ eel x, h
′(x) = 0 ; donc la fonction h est constante. Il existe donc k r´ eel tel que,quelque soit le r´ eel x, h ( x ) = k. Or h ( x ) = g ( x )
exp(x) , donc h (0) = g (0)
exp(0) = 1. Finalement, quelque soit le r´ eel x ,h ( x ) = 1 et finalement, g ( x ) = exp ( x ).Impossible car g n’est pas l’exponentielle.Donc la fonction est unique.
1.2 Relation fonctionnelle
On consid`ere deux r´eels x et y et n un nombre entier.
exp(x + y) = exp(x) × exp(y)
Propri´ et´ e
✍. Cette m´ethode repose sur une approximation affine sur des intervalles d’autant plus petits que l’approximation est bonne
Fonction exponentielle et logarithme Terminale S Cette expression est appel´ee relation fonctionnelle. Elle est caract´eristique
✍des fonctions exponentielles.
Exercice 1 Soit x un nombre r´eel (quelconque quoi...).
1. (a) Donnez deux expressions possibles pour exp( x 2 + x
2 ).
(b) En d´eduire que exp(x) ≥ 0, ∀ x dans R .
2. On suppose qu’il existe un r´eel α tel que exp(α) = 0. En d´eduire alors que pour tout r´eel x, exp(x) = 0.
3. Conclure.
Quelque soit le r´eel x , exp ( x ) > 0
Propri´ et´ e
Autres cons´equences.
exp( − x) = 1
exp(x) exp(x − y) = exp(x)
exp(y) exp(n × x) = (exp(x))
nPropri´ et´ e
La d´emonstration est relativement simple.En effet exp(x) × exp( − x) = exp(x + ( − x)) = exp(0) = 1. Ce qui prouve la premi`ere. Le reste ne pr´esente pas de difficult´es.
On verra plus tard dans l’ann´ee le raisonnement par r´ecurrence qui permettra la d´emonstration de la derni`ere relation.
1.3 La notation e
xConsid´erons un entier n. Alors d’apr`es l’une des formules pr´ec´edentes, on peut ´ecrire :
exp ( n ) = exp ( n × 1) = exp (1)
n= e
nLe nombre exp (1) not´e e admet une valeur approch´ee ´egale `a 2,718...
On g´en´eralise en ´ecrivant pour tout r´eel x,
exp(x) = e
xCette notation pr´esente des avantages et des inconv´enients. Son ´ecriture sous forme de puissance permet de mobiliser des connaissances ant´erieures sur les puissances, mais attention par exemple exp(x + y) s’´ecrit e
x+y.
✍. Si une fonctionf v´erifief(x+y) =f(x)×f(y) alorsf est du type exponentielle
Fonction exponentielle et logarithme Terminale S
1.4 Variations et limites
La fonction exponentielle est strictement croissante sur R
Th´ eor` eme
D´emonstration : La d´ eriv´ ee de la fonction exponentielle est la fonction exponentielle que l’on sait stricte- ment positive sur R . Or si la d´ eriv´ ee f
′d’une fonction f est strictement positive sur un intervalle alors la fonction f est croissante sur cet intervalle.Donc la fonction exponentielle est croissante sur R .
Exercice 2 On consid`ere la fonction f d´efinie sur R par : f ( x ) = xe
x− 1
1. D´eterminer la d´eriv´ee f
′de la fonction f puis d´eterminer son signe.
2. En d´eduire les variations de f sur R . Cons´equences du th´eor`eme :
x < y ⇔ e
x< e
yet x = y ⇔ e
x= e
yPropri´ et´ e
La croissance se traduit par une conservation de l’ordre.Ces relations sont utiles dans la r´esolution des
´equations ou in´equations.
Exercice 3 R´esoudre les ´equations suivantes :
1. e
x= e
22. e
1−x2= − 1 3. e
x2−5x+7= 0
x→+∞
lim e
x= + ∞
Propri´ et´ e
On d´esigne par cette limite, le comportement des valeurs de e
xlorsque x devient tr`es grand.
D´emonstration :
On consid` ere la fonction h d´ efinie pour tout x positif, par h(x) = e
x− x. Cette fonction est d´ erivable et h
′( x ) = e
x− 1 . Or pour tout x > 0 , e
x> 1 donc h
′( x ) > 0 et h est croissante sur [0; + ∞ [ . Or h (0) = 1 donc quelque soit x > 0, h(x) > 0 ce qui s’´ ecrit encore e
x> x. Donc quand x augmente mˆ eme consid´ erablement ,e
xaussi.
x→−∞
lim
e
x= 0
Propri´ et´ e
Plus les valeurs de x diminuent plus les valeurs correspondantes de l’exponentielle se rapproche de 0.
La d´emonstration repose sur l’expression e
x= 1
e
−xvraie pour tout x et du r´esultat pr´ec´edent.
Fonction exponentielle et logarithme Terminale S
1.5 Synth` ese :
La fonction exponentielle est donc croissante, strictement positive et ´egale `a sa d´eriv´ee pour tout nombre x .
Elle v´erifie de plus les relations alg´ebriques pr´ecis´ees dans les propri´et´es suivantes :
Pour tous r´eels x et y et tout entier n,
e
x+y= e
x× e
y, e
x−y= e
xe
y, e
−x= 1
e
xet ( e
x)
n= e
x×nPropri´ et´ es alg´ ebriques de la fonction exponentielle
Fonction exponentielle et logarithme Terminale S
Section 2
La fonction logarithme
On sait que la fonction exponentielle est strictement croissante de ] − ∞ ; + ∞ [ dans ]0; + ∞ [. Cons´equence directe et importante : l’´equation e
x= a admet :
— une solution unique si a > 0 ;
— aucune solution si a ≤ 0.
Dans le cas o` u la solution existe, on l’appelle logarithme n´ ep´ erien de a et on la note ln(a) ou ln a s’il n’ y a pas d’ambig¨ uit´e.
2.1 D´ efinition et propri´ et´ es
La fonction qui `a tout r´eel x strictement positif associe le nombre ln ( x ) est la fonction logarithme n´ep´erien. On note f(x) = ln(x).
D´ efinition
Les fonctions exponentielle et logarithme n´ep´erien sont r´eciproques l’une de l’autre, l’effet de l’un annulant l’effet de l’autre.Leurs courbes repr´esentatives sont alors sym´etriques par rapport `a la droite d’´equation y = x .
1 2 3 4 5
−1
−2
−3
−4
1 2 3 4 5 6
−1
−2
−3
−4
Fonction exponentielle et logarithme Terminale S
Soit x un r´eel quelconque et y un r´eel positif. Alors :
e
x= y ⇔ x = ln(y)
Propri´ et´ e
Cons´equences :
— ln (1) = 0 et ln ( e ) = 1
— ln ( x ) = 0 ⇔ x = 1 et ln ( x ) = 1 ⇔ x = e ; relations tr`es utiles dans la r´esolution d’´equations.
2.2 Relation fonctionnelle
Pour tous r´eels x et y strictement positifs, on a :
ln(x × y) = ln(x) + ln(y)
Propri´ et´ e
C’est la relation caract´eristique des fonctions logarithmes.Elles transforment des produits en somme.
Cons´equences :
Pour tous r´eels x et y strictement positifs et n entier, on a :
ln( 1
x ) = − ln(x) ;ln( x
y ) = ln(x) − ln(y) ;ln(x
n) = n × ln(x)
Propri´ et´ e
Remarque : Pour x > 0, √ x s’´ecrit aussi x 1
2 . En appliquant la derni`ere r`egle, on obtient une nouvelle formule :
ln ( √ x ) = 1 2 ln ( x )
2.3 Variations et limites
On admet le r´esultat suivant :
Fonction exponentielle et logarithme Terminale S
La fonction ln ( x ) est d´erivable sur ]0; + ∞ [ et ln
′( x ) = 1 x .
Propri´ et´ e
Cons´equence imm´ediate :
La fonction ln(x) est strictement croissante sur ]0; + ∞ [.
Propri´ et´ e
En effet sa d´eriv´ee est strictement positive sur ]0; + ∞ [.Cette stricte croissance induit le r´esultat suivant :
ln(x) = ln(y) ⇔ x = y
Propri´ et´ e
Cette proposition qui reste valable avec n’importe quel signe d’´egalit´e, est importante dans la r´esolution d’´equations ou d’in´equations.
Enfin, on d´emontrera dans un autre chapitre les r´esultats suivants :
x→+∞
lim ln ( x ) = + ∞ et lim
x→0
ln ( x ) = −∞
D´ efinition
Plus les valeurs de x se rapprochent de 0, plus la valeur de son logarithme tend vers −∞ .
Les valeurs de ln ( x ) augmentent en mˆeme temps que celles de x ; en revanche, contrairement `a l’expo- nentielle, la progression est tr`es lente. Par exemple, ln(x) > 20 d`es que x d´epasse 485 millions( `a peu pr`es...)
✍.
2.4 Synth` ese :
La fonction logarithme n´ep´erien n’est d´efinie que sur l’intervalle I =]0; + ∞ [.Elle est croissante sur cet intervalle et s’annule en x = 1.
Elle v´erifie de plus les relations alg´ebriques pr´ecis´ees dans les propri´et´es suivantes :
✍. Par comparaison,ex>20 d`es quex≃3 !
Fonction exponentielle et logarithme Terminale S
Pour tous r´eels x et y et tout entier n,
ln ( x × y ) = ln ( x ) + ln ( y ), ln ( x
y ) = ln ( x ) − ln ( y ), ln ( 1
x ) = − ln ( x ) et ln ( x
n) = n × ln ( x )
Propri´ et´ es alg´ ebriques de la fonction logarithme
Exercice 4 R´esoudre les ´equations ou in´equations suivantes : 1. e
x= 3
2. ln (2 x ) = 5
3. ln(x
2− x) = 1 4. ln ( x + 2) = 0
5. (x + 3)e
x= 0 6. xln ( x − 2) = 0
7. e
−x2= 4
Gardons tout de mˆeme `a l’esprit que ces ´equations gardent un caract`ere particulier ; elles sont
≪r´esolvables
≫par des proc´ed´es alg´ebriques. On pourra se rendre compte que ce n’est pas le cas de toutes les ´equations.
L’´equation e
x= x a par exemple une solution mais qui ne peut pas s’exprimer de fa¸con exacte...
Fonction exponentielle et logarithme Terminale S
Section 3
Applications
3.1 Echelle semi-logarithmique
On consid`ere la suite (U
n) d´efinie pour tout entier n par : u
n= 2 × 3
n. 1. Rappeler la nature de la suite ( U
n).
2. A la calculatrice, d´eterminer les neufs premiers termes de la suites.
3. Pourquoi ne peut-on pas repr´esenter le nuage de points ( n, U
n) dans une ´echelle lin´eaire ? 4. On d´efinit pour tout entier n,la suite (V
n) par : V
n= ln(U
n).
(a) D´eterminer la nature de la suite (V
n).
(b) Quel serait l’allure du nuage de points (n, V
n) dans un rep`ere `a ´echelle lin´eaire ?
5. Pour repr´esenter sur un mˆeme graphique,des petites et grandes donn´ees, on peut utiliser un papier semi-logarithmique. L’´echelle en ordonn´ee n’est pas lin´eaire mais logarithmique. Par exemple l’´ecart entre 10 et 20 est le mˆeme qu’entre 1 et 2 car :
ln(20) − ln(10) = ln( 20
10 ) = ln( 2
1 ) = ln(2) − ln(1)
✲
✻
0 50 100 150 200 250
1 10
1
10
100
10
310
4Fonction exponentielle et logarithme Terminale S
3.2 Logarithme d´ ecimal et pH d’une solution aqueuse
En chimie, le pH d’une solution permet de mesurer son caract`ere acide, neutre ou basique.Le pH est un nombre compris entre 1,0 et 13,0 pour des solutions dilu´ees de concentration inf´erieure `a 10
−1mol .L
−1.
✍A 25
◦C :
— si pH < 7 alors la solution est acide
— si pH > 7 alors la solution est basique
— si pH = 7, la solution est neutre.
On appelle logarithme d´ecimal ( log ) du r´eel x strictement positif, le nombre :
log ( x ) = ln(x) ln(10)
D´ efinition
Le logarithme d´ecimal pr´esente les mˆemes caract´eristiques alg´ebriques que le logarithme n´ep´erien.N´eanmoins, on a :
log(10) = 1; log(100) = 2; ...; log(10
n) = n Enfin, pour toute solution aqueuse dilu´ee, on a :
pH = − log [ H
3O
+] o` u [ H
3O
+] est la concentration en ions H
3O
+.
1. (a) Une solution poss`ede une concentration en ions H
3O
+´egale `a 5 × 10
−9mol.L
−1. Quel est son pH ?
(b) L’´etiquette d’une bouteille de coca cola indique pH = 2, 3. Quelle est la concentration en ions H
3O
+de cette eau gazeuse ?
(c) Que peut-on dire d’une solution dont la concentration en ions H
3O
+est ´egale `a 0, 10mol.L − 1 ? (d) Quelle est la concentration en ions H
3O
+d’une solution neutre `a 25
◦C ?
2. Quelle est l’´evolution du pH lorsque la concentration en ions H
3O
+est divis´ee par 10 ? par 100 ? 3. Si on multiplie par 10 la concentration d’ions H
3O
+dans une solution, diminue-t-on ou augmente
t-on le pH de cette solution ?
4. Donnez la formule qui donne la concentration en ions H
3O
+en fonction du pH.
✍. mathematiques.ac-bordeaux.fr
Fonction exponentielle et logarithme Terminale S
3.3 Croissance ou d´ ecroissance exponentielle
Une quantit´e suit une d´ecroissance exponentielle si elle diminue selon un taux proportionnel `a sa valeur.
En termes math´ematiques, cela se traduit par l’existence d’un r´eel k tel que : Q(t + h) − Q(t)
h = − k × Q(t)
L’oeil averti reconnaˆıtra le taux instantan´e de la fonction Q en t dont la limite quant h tend vers 0 est Q
′( t ). D’o` u la recherche d’une fonction qui v´erifie l’´equation
✍:
Q
′(t) = − k × Q(t) La fonction f d´efinie par :
f(t) = exp( − k × t) = e
−k×test une solution du probl`eme recherch´e.
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5
−0.5
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8
−0.2
La pente de la tangente en A ( a, Q ( a )) est proportion- nelle `a Q(a), quelque soit le r´eel a
bA
✍. dite ´equation diff´erentielle
www.seneclasses.com
FONCTIONS
PUISSANCE
1
La fonction puissance
Table des matières
1 Fonction puissance 2
1.1 Définition . . . . 2 1.2 Propriétés . . . . 2 1.3 Exercices . . . . 2
2 Etude de la fonction puissance 3
2.1 Variation . . . . 3 2.2 Limite en l’infini . . . . 4 2.3 Tableau de variation et courbe . . . . 4 2.4 Étude d’une fonction . . . . 4 2.5 Étude d’une fonction classique . . . . 6
3 La racine n-ieme 8
3.1 Définition . . . . 8 3.2 Simplification et résolutions . . . . 8
4 Croissance comparée 9
4.1 En + l’infini . . . . 9
4.2 En moins l’infini . . . . 9
4.3 Application : exo type BAC . . . 10
2
1 FONCTION PUISSANCE1 Fonction puissance
1.1 Définition
Définition 1 : On appelle fonction puissance d’un réel a positif, la fonction f
adéfinie sur R par :
a > 0 f
a( x ) = a
xavec a
x= e
xlnxExemple : 3
√2= e
√2 ln 3et 5
−12= e
−12ln 5Remarque : Il s’agit de la généralisation de la fonction puissance avec les entiers relatifs. Cependant cette généralisation se fait au détriment de la puissance d’un nombre négatif qui était possible pour les entiers relatifs mais qui à cause de ln a devient impossible pour une puissance réel.
( − 3 )
5est possible mais ( − 3 )
√2n’existe pas !
Conséquence La fonction puissance est strictement positive du fait de sa notation exponenetielle.
∀ x ∈ R a
x> 0
1.2 Propriétés
On retrouve les mêmes propriétés de la fonction exponentielle avec la fonction puissance :
Propriété 1 : Pour tous réels positifs a et b, on a les égalités suivantes pour x et y réels :
ln a
x= x ln a
a
x+y= a
x× a
yet a
x−y= a
x
