Ecrit 2 CAPES Mathémat iques
G. Julia, 2012 / 2013 1
Les urnes des époux Ehrenfest. Indications et réponses éparses.
Le cas M = 3.
1 et 2.
n
an
× +
= 9
1 4 3 4
1
4.1. On montre que :
19683
; 1372 2187
; 196 243
; 28 27
; 4 3 1
5 4
3 2
1= p = p = p = p =
p .
Calculez les rapports
i i
p p+1
4.3 et 4.4.
Soit vous utilisez un logiciel de calcul formel.
Soit vous considérez la série entière de référence :
∑
≥
= + + +
− = 0
2 ..
1 1 1
n
xn
x
x x ainsi que la série dérivée.
Le cas M = 4.
1.
n n
an
× +
=
+
= −
4 1 2 1 8 1 4
1 1 8
1 1
et 1 1
4 1 4 5
−
+ = n − n
n a a
a
2. Les premières valeurs des pi sont 1/4, 3/32, 9/128, 63/1024, 225/4096.
La relation de récurrence attendue est : 1 1 32
3 −
+ = n − n
n p p
p .
Elle se démontre par une récurrence forte (supposez qu’elle soit vérifiée pour tous les rangs depuis le rang 2 jusqu’au rang n−1 (où n est un entier au moins égal à 3)
Puis considérez pn+1=an+1−
(
anp1+an−1p2 +...a1pn)
, en appliquant d’une part la formule de récurrence sur an+1 et d’autre part l’hypothèse de récurrence sur les pi.Les coordonnées de la suite (pn) dans la base des suites des puissances sont
80 10 8
; 1 80
10 8
1− = +
= µ
λ (à
l’ordre près).
4. et 5.
Soit vous utilisez un logiciel de calcul formel
Soit vous considérez la série entière de référence :
∑
≥
= + + +
− = 0
2 ..
1 1 1
n
xn
x
x x ainsi que la série dérivée.
Le cas M = 5
1. La matrice de transition est :
=
13 6 0
12 17 20
0 2 5 25
T 1 . Ses valeurs propres sont 1, 9/25 et 1/25.
n n
an
+
+
= 25
1 8 5 25
9 16
5 16
1
Ecrit 2 CAPES Mathémat iques
G. Julia, 2012 / 2013 2
2.5. Un calcul explicite de
− +
− − −
+1 1 2
625 9 625
259 5
7
n n
n
n a a a
a à l’aide d’un logiciel de calcul formel me
paraît une bonne solution.
3. Les premiers pi sont 1/5, 13/125, 241/3125, 5293/78125, 125761/1953125.
La relation de récurrence attendue est 1 1 625 149 5
6 −
+ = n − n
n p p
p . Elle se démontre (mais c’est un peu plus difficile que lorsque M = 4) par une récurrence forte.
La suite
( )
pn n≥2 appartient à l’ensemble S des suites( )
un n≥2dont les termes sont liés par une relation de récurrence double. L’équation caractéristique associée à cette relation est l’équation 0625 149 5
2 −6x+ =
x ,
équation qui a deux solutions réelles,
25 19 2 15
1
= +
r et
25 19 2 15
2
= −
r . Les suites des puissances de ces deux réels engendrent S, il s’agit de calculer les coordonnées de
( )
pn n≥2 quand on choisit cette base.On peut calculer ces coordonnées explicitement ou on peut les exprimer en fonction de r1 et de r2 sans les expliciter. Dans ce dernier cas, pour le calcul de la somme des probabilités et de l’espérance, on s’attachera à faire apparaître des fonctions symétriques des racines (somme, produit, …)
4 et 5. Ici plus qu’ailleurs, un logiciel de calcul formel est un auxiliaire décisif.
