quelques indications et réponses éparses

Ecrit CAPES M athémat iques

G. Julia, 2012/2013 1

Ecrit 1, problème 2. Statistiques et probabilités.

Indications.

Partie A : Deux indicateurs de dispersion

L’un a un lien avec la moyenne, l’autre avec la médiane.

1.

( ) ∑ ∑

=

=

+











− 

= ⁿ

i i n

i

i x

x x x n x G

1 2 1

2 2 .

2. L est une fonction continue sur R comme somme de fonctions continues, et dérivable sur R sauf aux points xi. Lorsque x appartient à l’intervalle ouvert

]

x_i ; x_i+1

[

,

( ) ∑ ( ) ∑

⁼

( )

=

−

=

=

− +

−

= ^{j n}

i j

i i

j

j

i x x

x x x

L

1

1

et de ce fait :

( ) (

^{x i}

) (

^{i n}

) ( )

^{i n}

L' = −2 + − =2 −1 −

Partie B : Théorie de l’information, le cas discret

1 et 2. Réponses ci-contre

3.1 Par récurrence.

3.2. La dérivée seconde de la fonction xaxlnx étant la fonction

xa x1 …

Ecrit CAPES M athémat iques

G. Julia, 2012/2013 2

3.3. On considère la fonction ci-dessus ainsi que le n-uplet

(

p₁,p₂,...,pn

)

pondéré par le n-uplet 



 



 n n

,...,1

1 .

L’inégalité de convexité donne :

( )

k

n k n

k

k f p

n n

f

∑

p

∑

=

=

≤













1 1

1 .

Or d’une part :

n n n

n f n

n f p

n k

k 1 ln

1ln 1

1

−

=



 



= 



 



= 













∑

=

Et d’autre part :

( )

^H

( )

^A

p n n p

p nf

n k

k k k

n k

ln 1 1

1

1 1

−

=











= 

∑

∑

=

=

.

Partie C : Théorie de l’information, le cas continu

1.1 et 3.1. Quelques résultats à propos de g (la ligne concernant une prétendue fonction h n’est pas à prendre en compte)

2.1. Soit y > 0 fixé. On définit sur

]

^0;+∞

[

la fonction sy par : ^sy

( )

^x =^xln^x+ ^y−^x−^xln^y et on étudie ses variations.

2.2. Voir tous les bons manuels d’analyse (question posée aussi dans un autre sujet 2013).

3.2. ^−ln

(

^g

( )

^x

)

^{= x}₂^{2 +ln}

( )

^{2π .}

3.3. En appliquant la question 2 aux réels ^f

( )

^{x et g}

( )

^x , pour tout réel x :

( )

^x

(

^f

( )

^x

)

^f

( )

^x

(

^g

( )

^x

) ( ) ( )

^{g x f x}

f ≤− + −

− ln ln

Par intégration : ^H

( )

^{f ≤H}

( )

^{g +}

∫

₋^+∞_∞^g

( )

^{x dx−}

∫

₋^+∞_∞^f

( )

^{x dx…}

Réciproquement, ^H

( )

^f =^H

( )

^g revient à dire que :

∫

₋^+∞_∞

[

^f

( )

^{x ln}

(

^f

( )

^x

) ( )

− ^{f x ln}

(

^g

( )

^x

) ( ) ( )

+^{g x} − ^{f x}

]

^dx=⁰ alors même que la fonction explicitée dans le crochet est une fonction continue et positive sur R.