Ecrit 2-2013 CAPES Mathémat iques
G. Julia 1
Questions pour un champion en ligne, indications et réponses éparses.
1. Etude de deux exemples (n = 2 et 3).
2. [ 3 1] [ 2 1] [ 1][ 3 1]
2 =
×
=
=
= P X P = X
X
P X
[ ][ 2] [ 1] [ ][ 2] ]
2 [ ] 2
[ 3 2 2 3 2 1 3
2
2 = + = × =
×
=
=
= P X P = X P X P = X
X
P X X
[ ][ 3] ]
2 [ ] 3
[ 3 2 2 3
2 =
×
=
=
= P X P = X
X
P X . Relations analogues à propos de X4 .
[ ][ 1] [ 2] [ ][ 2] ]
1
[ 2 1 3 2 2 3
3 =P X = ×P 2= X = +P X = ×P 2= X =
p X X
[ ][ 1] [ 2] [ ][ 2] [ 3] ]
1
[ 3 1 4 3 2 4 3
4 =P X = ×P 3= X = +P X = ×P 3= X = +P X =
p X X
3. Etude du cas général.
1.
(
k =1)
= 1k−1X n
P . Puis : 2.
( ) ( ) ( )
1
1 ...
1
−
+
−
×
×
= −
= k
k n
k n k n
X
P pour 2≤k≤n
3. Arriver à la relation :
( ) ( ) ( )
n j j n
X n P j j X P j X
P k k k 1
1 1
1
+
× −
−
= +
×
=
=
= − − (R1)
4. X3 prend les valeurs 1, 2 et 3 avec respectivement les probabilités :
( ) ( )( )
2 2
2
2
; 1 1
; 3 1
n n n n
n n
−
−
−
5. L’évènement « tirer une boule noire à l’instant k » est la réunion disjointe des évènements :
[ ] [ ]
(
Xk−1= j ∩ Xk = j)
pour j=1,...,k −1. La probabilité pk s’exprime par :∑
−( )
= − = ×
= 1
1 1 k
j k
k n
j j X P
p .
Raisonner par récurrence, en supposant vérifiée la relation au rang k.
( ) ( ( ) ) ( ) ( )
n k n n
k n n
n j j n
X n P
n n n
j j n
X P
q k
k j k k
k j
k k
× − +
−
×
× + −
= × −
− +
×
− =
×
=
= − −
− =
+
∑
=∑
1 11 2 1
1
1 ...
1 1
1
Appliquer (R1) à chaque terme de la somme intermédiaire puis regrouper en une seule somme (quitte à effectuer un changement d’indice) les deux sommes qui apparaissent. Le premier terme de l’une et le dernier terme de l’autre ne font pas partie du regroupement.
Il reste à exprimer la somme regroupée et à s’occuper des termes restés en rade.
Vous devez arriver à :
( )
= × −
= −
∑
−= −
+
1 1
1 1
1 k
j k
k n
j j n
X n P
q n .
6. La relation :
( ) ( )
1
1
−
− −
= k
k
k n
n n X
E est vérifiée pour les premières valeurs de k. Procéder par récurrence en supposant la relation vérifiée au rang k−1. Démarche analogue à celle de la question précédente.
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Au final, on aboutit à la relation :
( ) ∑− ( )
= × − =
+ −
= 1
1
1
1 1
k
j
k
k P X j
n jn X
E
4. Etude lorsque k > n.
Lorsque k>n, la variable aléatoire Xk prend uniquement les valeurs 1, 2, …, n.
On obtient lorsque j=n la relation :
( ) ( ) ( )
n n X P n X P n X
P k k k 1
1 1
1= + = − ×
=
= − −
L’expression de qk devient
∑
−( )
= − = × −
= 1
1
1 n
j k
k n
j j n
X P
q puisque si Xn =n il n’y a plus de boule blanche dans l’urne.
Il n’y a pas lieu de changer quoi que ce soit au raisonnement.
Côté espérance, pour la valeur n :
( ) ( )
1
1
−
− −
= n n
n n
n n X
E . Et pour k > n :
(
X)
j P(
X j)
n P(
X n)
E k
n
j
k
k = − × = + × − =
= −
−
∑
11 1
1
1 tandis que :
( ) ( ) ( ( ) )
× =
+
=
=
×
=
∑ ∑
− =
=
n
j k k n
j
k
k j P X j
n j X P j X
E
1 2 1
1
En conclusion, il n’y a rien à modifier du tout.
5. Question pour un champion en ligne.
Les boules blanches représentent les quiz non joués et les boules noires les quiz déjà joués. Chaque fois que l’internaute archive un nouveau quiz qu’il ne connaissait pas, il remplace une boule blanche par une noire.
La valeur de n étant suffisamment grande, il est légitime d’utiliser des équivalents.
On remarque que :
( )
−
−
=
k
k n n
X
E 1
1
1 est une expression plus pratique de l’espérance puis on utilise
un équivalent de
k
n
−1
1 lorsque k = n/2 puis n puis 2n.
Ce graphique est le résultat d’une simulation avec n=1000 et k=1000. Le « joueur » a participé à autant de « face à face » qu’il y a de questionnaires.
Le nuage de points bleus représente
graphiquement le nombre de questionnaires différents rencontrés lors des 1000 « face à face ». La courbe rouge représente l’espérance théorique de la variable Xk en fonction de k.
On observe une assez bonne superposition du nuage sur la courbe.
