2
nde: correction du TD sur les vecteurs (relation de Chasles et somme)
I
Simplifier les expressions suivantes en utilisant la relation de Chasles : 1. −→AB−−→AC−−→C B=−→AB+C A−−→−−→C B=C A−−→+−→AB−−→C B=C B−→−C B−→= →−
0 . 2. −→BC−−→B A+−−→B D−−→BC=−→AB+−−→B D= −−→AD
3. −→
AB−−→
AC+−→
BC−−→
B A=−→
AB+−→
BC−−→
AC−−→
B A=−→
AC−−→
AC−−→
B A= −−→
B A= AB
II
En utilisant la relation de Chasles, compléter les égalités suivantes : a) −→
AC=−→
AB+−→
BC b) −→
F E=−−→
FU+−−→
UE c) −−→
OU+−→
R S+−−→
U R=−−→
OU+−−→
U R+−→
R S=−−→ OR+−→
R S= −→
OS d) −→RT=−RI→+−→IT
e) −−→X Y =−−→XM+−−→MN+−−→N Y
III
Dans un triangle ABC, on note A’, B’ et C’ les milieux respectifs des segments [BC], [CA] et [AB].
Le point K vérifie−−→
A′K=−−→
B B′ 1. Figure :
bA
bB
bC
bA′
bB′
bC′
bK
2. Par construction,−−→
A′K=−−→
B B′donc A’KB’B est un parallélogramme.
3. A’ est le milieu de [BC] donc−−→
B A′=−−→
A′C. 4. A’KB’B est un parallélogramme, donc−−→
B A′=−−→
B′K; or−−→
B A′=−−→
A′C. On en déduit que :−−→
B′K=−−→
A′C. On en déduit que A’CKB’ est un parallélogramme.
5. On a par exemple :
−−→C K =−−−→ A′B′=−−→
A′C+−−→
C B′=1 2
−→BC+1 2
−−→ C A=1
2
−→B A=−−→
C′A. On en déduit que :−−→C K=−−→
C′Adonc CKAC’ est un parallélogramme.
IV
ABCD est un carré de centre O ; I, J, K et L sont les milieux des côtés [AB], [BC], [CD] et [DA].
bA bB
bC
bD
bI
bJ
bK
bL O
Compléter, en utilisant uniquement des points de la figure :
• −→
LK+−−→ OB=−→
LD+−−→
DK+−−→ OB=−→
AL+−→
LO+−−→ OB=−−→
AO+−−→ OB=−→
AB
• −−→ O A+−−→
OB=2−→
O I=−→
K I
• −→
OL+−−→
OK=2−−→
OD=−−→
B D
• −→AB+−→AL=−A J→(diagonale du parallélogramme)
• −−→ OC+−→
LI+−−→
B K=−−→ OC+−−→
DO+−−→
B K=−−→
DO+−−→ OC+−−→
DK =−−→
DC+−−→
B K =−→
AB+−−→
B K=−−→
AK
• −−→
DK+−−→ C O+−→
JO=−−→
DK+−→
K L+−−→ C O=−→
DL+−−→ C O=−−→
C O+−→
O I=−→ C I
