EPFL
Algèbre linéaire 1ère année 2006-2007
Corrigé de la série 13
On note Ei,j la matrice élémentaire de permutation (notéeIi,j en cours) ; Di,λ la matrice élémentaire de dilatation (notée IIi,λ en cours) ;
etTi,j,λ la matrice élémentaire de transvection (notée IIIi,j,λ en cours).
Correction exercice 1
On utilise l’algorithme de Gauss-Jordan pour calculer l’inverse de la matrice.
0 3 −1 1 0 0 3 −7 9 0 1 0
2 1 4 0 0 1
E1,3
−−→
2 1 4 0 0 1
3 −7 9 0 1 0 0 3 −1 1 0 0
D1,1
−−−→2
1 12 2 0 0 12 3 −7 9 0 1 0 0 3 −1 1 0 0
T2,1,−3
−−−−→
1 12 2 0 0 12 0 −172 3 0 1 −32 0 3 −1 1 0 0
D3,1
−−−→3
1 12 2 0 0 12 0 −172 3 0 1 −32 0 1 −13 13 0 0
E2,3
−−→
1 12 2 0 0 12 0 1 −13 13 0 0 0 −172 3 0 1 −32
T3,2,17
−−−−→2
1 12 2 0 0 12 0 1 −13 13 0 0 0 0 16 176 1 −32
D3,6
−−→
1 12 2 0 0 12 0 1 −13 13 0 0 0 0 1 17 6 −9
T2,3,1
−−−→3
1 12 2 0 0 12 0 1 0 6 2 −3 0 0 1 17 6 −9
T1,3,−2
−−−−→
1 12 0 −34 −12 372
0 1 0 6 2 −3
0 0 1 17 6 −9
T1,2,−1
−−−−→2
1 0 0 −37 −13 20
0 1 0 6 2 −3
0 0 1 17 6 −9
Correction exercice 2
On utilise l’algorithme de Gauss-Jordan.
A1,1 1
A2,2 1
. .. . ..
An,n 1
Supposons qu’il existe i tel que Ai,i = 0, en multipliant à droite et à gauche la matrice A par la matrice élémentaire de permutation Ei,n (ce qui revient à inverser les colonnes i et n et les lignes i et n et donne la matrice
A1,1
A2,2 . ..
An,n . ..
Ai,i = 0
1
Dans ce cas, la matrice A étant sous forme échelonnée (non-réduite, mais il suffit de multiplier par des matrices de dilatations pour la mettre sous forme réduite), ayant une dernière ligne n’ayant que des zéros, on déduit que la matrice A n’est pas inversible. (La dernière ligne de la partie droite de la matrice globale étant non-nulle) (Ceci montre, par contraposée, le sens direct de l’équivalence de l’énoncé).
Si pour tout i, Ai,i 6= 0, en multipliant à gauche successivement par les matrices élémentaires de dilatation Di, 1
Ai,i pour 1≤i≤n, on obtient :
1 A1
1,1
1 A1
. .. 2,2 . ..
1 A1
n,n
Par conséquent A est inversible et A−1 =
1 A1,1
1 A2,2
. . .
1 An,n
Correction exercice 3
On utilise l’algorithme de Gauss-Jordan.
A1,1 A1,2 . . . A1,n 1 0 A2,2 A2,n 1
. .. ... . ..
0 An,n 1
La matrice est cette fois encore sous forme échelonnée (non-réduite), par conséquent, s’il existe i tel que Ai,i = 0 l’algorithme de Gauss-Jordan aboutit à une matrice ayant une dernière ligne de zéros pour A et une dernière ligne non-nulle à droite, et dans ce cas A n’est pas inversible.
Dans le cas contraire, on obtient que rg(A) = n (pour avoir la forme échelonnée réduite de la matrice il suffit de multiplier par les matrices élémentaires de dilatation, comme à l’exercice précédent.) On en déduit que A est inversible.
Correction exercice 4
1. Les inversions deσ sont :(1,2)et(1,3). DoncN I(σ) = 2 etσ est une permutation paire.
2. Les inversions deσsont :(1,2), (3,4)et(5,6). DoncN I(σ) = 3etσest une permutation impaire.
Correction exercice 5
Pour les matrices élémentaires de M at(2,2,F) on a :
det E1,2 = det
0 1 1 0
=−1
det D1,λ= det
λ 0 0 1
=λ et det D2,λ= det
1 0 0 λ
=λ
det T1,2,λ = det
1 λ 0 1
= 1 et det T2,1,λ = det
1 0 λ 1
= 1
2
Pour les matrices élémentaires de M at(n, n,F) les calculs de det D1,λ et det T1,2,λ faits précé- demment se généralisent facilement (on a des matrices triangulaires et on peut utiliser l’exercice 3). Pour les matrices élémentaires de permutation Ei,j, en développant successivement le dé- terminant selon les colonnes en utilisant les cofacteurs, on se ramène à la matrice E1,2 de M at(2,2,F). D’où det Ei,j =−1.
Correction exercice 6 On rappelle que
det A := X
σ∈Sn
(−1)N I(σ)(A)1,σ(1)(A)2,σ(2). . .(A)n,σ(n)
– (2) Supposons que A est triangulaire supérieure (i.e. Ai,j = 0 si i > j).
Si σ : {1, . . . , n} → {1, . . . , n} n’est pas l’identité, il existe i tel que σ(i) 6= i. Soit i le plus grand entier tel que σ(i) 6= i alors σ(i) < i (puisque σ(k) = k pour k < i et σ est une bijection) par conséquent (A)i,σ(i) = 0. On en déduit que, pour tout σ 6= Id le produit (A)1,σ(1)(A)2,σ(2). . .(A)n,σ(n) est nul. Par conséquent, le seul terme non-nul de la somme est celui obtenu pour σ =Id. On trouve alors :
det A = (A)1,1(A)2,2. . .(A)n,n.
– (3)
det(aA) = X
σ∈Sn
(−1)N I(σ)(aA)1,σ(1)(aA)2,σ(2). . .(aA)n,σ(n)
=an X
σ∈Sn
(−1)N I(σ)(A)1,σ(1)(A)2,σ(2). . .(A)n,σ(n)=andet A
– (4) Si A a une ligne de zéros (par exemple la ligne i), alors pour tout σ ∈Sn (A)i,σ(i) = 0 et donc le produit (A)1,σ(1)(A)2,σ(2). . .(A)n,σ(n) est nul. Par conséquent, tous les facteurs de la somme définissant le déterminant de A sont nuls et det A = 0.
SiAa une colonne de zéros, par exemple la colonnej, commeσest une bijection de{1, . . . , n}
on a l’existence de k ∈ {1, . . . , n} tel que σ(k) = j. Par conséquent (A)k,σ(k) = 0. On conclut comme précédemment.
– (6) Supposons que A0 est obtenue en remplaçant la ligne i de a par λ fois cette ligne. Alors
(A0)i,j =λ(A)i,j ∀j
et
(A0)k,j = (A)k,j pour k 6=i par conséquent,
det A0 = X
σ∈Sn
(−1)N I(σ)(A0)1,σ(1)(A0)2,σ(2). . .(A0)i,σ(i). . .(A0)n,σ(n)
= X
σ∈Sn
(−1)N I(σ)(A)1,σ(1)(A)2,σ(2). . . λ(A)i,σ(i). . .(A)n,σ(n) =λ det A
– (7) Soit A0 la matrice obtenue en permutant les i-ème et j-ième lignes (pour i < j). On a
det A0 = X
σ∈Sn
(−1)N I(σ)(A0)1,σ(1)(A0)2,σ(2). . .(A0)i,σ(i). . .(A0)j,σ(j). . .(A0)n,σ(n)
= X
σ∈Sn
(−1)N I(σ)(A)1,σ(1)(A)2,σ(2). . .(A)j,σ(i). . .(A)i,σ(j). . .(A)n,σ(n).
3
En notant τi,j la permutation de i et j dans Sn, on a.
= X
σ∈Sn
(−1)N I(σ)(A)1,σ◦τi,j(1)(A)2,σ◦τi,j(2). . .(A)j,σ◦τi,j(j). . .(A)i,σ◦τi,j(i). . .(A)n,σ◦τi,j(n).
On laisse le soin au lecteur de vérifier que
(−1)N I(σ◦τi,j) = (−1)(−1)N I(σ) (On pourra utiliser le fait que
(−1)N I(σ) = Π{k,p}∈P2(n)
σ(k)−σ(p) k−p où P2(n) est l’ensemble des paires de {1, . . . n}, pour montrer que
(−1)N I(σ◦α)= (−1)N I(σ)(−1)N I(α)
et montrer que pour τi,j on a
N I(τi,j) = 2(j−i)−1.)
En utilisant le fait que l’application f :Sn→Sn définie par f(σ) = σ◦τi,j est une bijection, on obtient que :
det A0 = X
σ∈Sn
−(−1)N I(σ)(A)1,σ(1)(A)2,σ(2). . .(A)i,σ(i). . .(A)n,σ(n).
4
