, il suffit de construire des bissectrices successives (en partant de l’angle plat π ).

L3 – Algèbre 2 2013–2014 : DM 1

Devoir Maison I

Exercice 1. (Constructibilité de polygones réguliers)

1. Pour construire ζ 2

, il suffit de construire des bissectrices successives (en partant de l’angle plat π ).

2. Soit n et m premiers entre eux. On peut trouver une relation de Bézout : u n + v m = 1. Si ζ m et ζ n sont constructibles, il en va alors de même de ζ m n = ζ ^{u n} _{m n} ζ _{m n} ^{v n} = ζ ^u _m ζ _n ^v .

Réciproquement, si ζ m n est constructible, alors ζ n = ζ ^m _{m n} et ζ n = ζ ⁿ _{m n} le sont aussi.

3. Par définition, un nombre premier de Fermat peut se mettre sous la forme p = 2 ^r + 1. Écri- vons r = r ₀ r ₁ , où r ₀ est une puissance de 2 et r ₁ est un nombre impair. Alors

p = 2 ^r

^r

+ 1 = ( 2 ^r

) ^r

+ 1 = ( 2 ^r

+ 1 )(( 2 ^r

) ^r

⁻¹ − ( 2 ^r

) ^r

⁻² + · · · − 2 ^r

+ 1 ) . La primalité de p entraîne donc r ₁ = 1, et r = r ₀ est une puissance de 2.

Les premiers nombres premiers de Fermat sont

F ₀ = 2 ²

+ 1 = 3, F ₁ = 2 ²

+ 1 = 5, F ₂ = 2 ²

+ 1 = 17, F ₃ = 2 ²

+ 1 = 257 et 2 ²

+ 1 = 65 537 et poussèrent apparemment Fermat (à partir de 1640) à croire que F _m = 2 ²

+ 1 était tou- jours un nombre premier. Non seulement c’est déjà faux pour F ₅ = 4 294 967 297 = 641 · 6 700 417 (Euler, 1732), mais on ne connaît à l’heure aucun autre nombre premier de Fer- mat.

4. La racine de l’unité ζ p est annulé par le p -ième polynôme cyclotomique Φ p = X ^p − 1

X − 1 = X ^p−1 + X ^p−2 + · · · + X + 1,

qui est irréductible (cf. TD 1, Exercice 1, question 5). Ainsi, ζ p est un algébrique de degré p −1. Si ce nombre est constructible, son degré doit être une puissance de 2, et p doit donc être un nombre de Fermat.

5. (a) i. Remarquons d’abord que Q (ζ n ) est, par définition, le plus petit sous-corps de C contenant à la fois Q et ζ n . Supposons que φ et ψ soient deux automorphismes de Q (ζ p ) envoyant ζ p sur ζ _p ^u .

De manière générale, si φ et ψ sont deux morphismes de corps K → K ⁰ , on montre directement que

n x ∈ K

φ( x ) = ψ( x ) o est un sous-corps de K.

Dans notre cas, φ et ψ coïncident par hypothèse sur ζ p . Ils ne peuvent pas faire autrement que coïncider sur Q (un morphisme de corps doit envoyer 1 sur 1, donc il doit coïncider avec l’identité sur le sous-corps premier, c’est-à-dire le sous-corps engendré par 1, qui est isomorphe à Q en caractéristique nulle et à F _p en caracté- ristique p ). Ils coïncident donc bien sur Q (ζ n ) , et l’unicité est démontrée.

Pour démontrer l’existence d’un tel morphisme, on procède en deux étapes :

– On commence par construire un morphisme Q (ζ p ) → C vérifiant l’hypothèse, sans se préoccuper de son image.

Puisque X ^p−1 + · · · + X + 1 est le polynôme minimal de ζ p , le corps Q(ζ p ) est iso- morphe à Q [ X ]/( X ^p−1 + · · · + X + 1 ) . Plus précisément, le morphisme d’évaluation

φ e _ζ

= ´ev _ζ

: Q [ X ] → C P(X) 7→ P(ζ p )

est un morphisme d’anneaux dont l’image est exactement Q [ζ p ] = Q (ζ p ) et dont le noyau est (X ^p−1 + · · · + X + 1) (c’est la définition du polynôme minimal) donc il induit un isomorphisme

φ _ζ

: Q[X]/(X ^p−1 + · · · + X + 1) → Q(ζ p ) [ X ] 7→ ζ p

.

Mais les racines de ce polynôme ¹ sont précisément les racines p -ièmes de l’unité différentes de 1, c’est-à-dire les (ζ ^k _p ) ^p−1 _{k =1} . On peut donc faire exactement la même construction que précédemment et obtenir un isomorphisme

φ _ζ

: Q [ X ]/( X ^p−1 + · · · + X + 1 ) → Q (ζ ^u _p ) [ X ] 7→ ζ ^u _p .

En particulier, le morphisme σ u : φ _ζ

◦ φ _ζ ⁻¹

: Q (ζ p ) → Q (ζ ^u _p ) ⊂ C convient.

(Évidemment, on vient ici de refaire la preuve, vue en cours, de l’unicité du corps de rupture d’un polynôme irréductible.)

– Il faut maintenant expliquer pourquoi le morphisme σ u : Q (ζ p ) → C que l’on vient de construire est en fait un automorphisme du corps Q(ζ p ). Déjà, σ u (ζ p ) = ζ _p ^u appartient à Q (ζ p ) . Puisque σ u (ζ p ) ∈ Q (ζ p ) , il en va de même pour tous les σ u ( x ) , x ∈ Q (ζ p ) : en effet, un tel élément x peut s’écrire

x = Q(ζ p ) = ζ ⁿ _p + q _n−1 ζ ⁿ⁻¹ _p + · · · + q ₀ . On a donc (en se souvenant que ∀ q ∈ Q, σ u ( q ) = q) :

σ u ( x ) = σ u

€ ζ ⁿ _p + q _n−1 ζ ⁿ⁻¹ _p + · · · + q ₀ Š

= (ζ ^u _p ) ⁿ + q _n−1 (ζ ^u _p ) ⁿ⁻¹ + · · · + q ₀ = Q (ζ ^u _p ) , donc σ u ( x ) = Q (ζ ^u _p ) ∈ Q (ζ p ) .

Le morphisme σ u est donc bien un morphisme de Q(ζ p ) dans lui-même. Cela entraîne directement que c’est un automorphisme : il est injectif et Q-linéaire comme tout morphisme de corps ² ; comme Q (ζ p ) est un Q-espace vectoriel de dimension finie, cela entraîne bien σ u ∈ Au t Q(ζ p ).

Remarque. La première partie du raisonnement (qui construit des morphismes Q (α) → C envoyant α sur un de ses conjugués) est extrêmement générale. Pour la seconde (qui montre que ce morphisme envoie bien Q(α) sur lui-même), nous n’avons utilisé qu’un seul argument spécifique au cas α = ζ p , à savoir que σ u (ζ p ) ∈ Q (ζ p ) . Le lecteur se convaincra facilement que, de même, si φ(α) ∈ Q (α) , alors φ est un automorphisme de Q(α). Cependant, cette condition n’est pas automa- tique. On pourra vérifier, par exemple qu’il existe un unique morphisme de corps Q ( p

2 ) → C envoyant p

2 sur e ^{2i π/3} p

2, mais que celui-ci n’envoie pas Q ( p

2 ) sur lui-même.

1. Les autres racines du polynôme minimal d’un élément algébrique x sont appelés les conjugués de x, ce qui généralise le cas de l’extension C/R, où un élément z ∈ C \ R a pour polynôme minimal sur R le polynôme X

− 2(ℜ z )X+

| z |

, et donc pour conjugué... le nombre complexe conjugué z .

2. Il vaudrait mieux dire tout morphisme de corps de caractéristique nulle. Un morphisme de corps en caractéris-

tique p est F

-linéaire.

ii. C’est évident car ζ ⁿ _p ne dépend que de la classe de n modulo p .

iii. De manière générale, on vérifie immédiatement que l’ensemble des points fixes d’un automorphisme de corps est un sous-corps.

(b) i. Le polynôme annulateur de ζ p est X ^p−1 +· · ·+ X + 1, de degré p − 1. On en déduit donc que la famille (1, ζ p , . . . , ζ ^p p ⁻² ) est une Q-base de Q(ζ p ). Il nous sera plus commode d’en choisit une autre, légèrement différente. Déjà, l’égalité

1 + ζ p + · · · + ζ ^p−1 _p = 0

exprime 1 comme combinaison linéaire des (ζ ^k _p ) ^p−1 _{k =1} et, réciproquement, exprime ζ ^p−1 p comme combinaison linéaire des (ζ ^k _p ) ^p−2 _{k =0} . La famille (ζ p , ζ ² _p , . . . , ζ ^p−1 p ) est donc également une Q-base de Q (ζ p ) . Pour simplifier encore la rédaction, on peut même choisir de permuter ces vecteurs de base : au lieu de numéroter les (ζ ^k _p ) ^p−1 _k=1 (ce qui revient à numéroter les éléments k du groupe cyclique ( Z / p Z ) ^× ) par k croissant, on utilise l’élément u ∈ Z dont la classe modulo p engendre (Z/ p Z) ^× . Ainsi, on a

¦ u, u ² , . . . , u ^p−1 ©

=

1, 2, . . . , p − 1 = (Z/ p Z) ^× donc

¦ ζ ^u _p , ζ ^u _p

, . . . , ζ ^u _p

©

= ¦

ζ p , ζ ² _p , . . . , ζ ^p−1 _p © et l’on peut utiliser la Q-base €

ζ ^u _p , ζ ^u _p

, . . . , ζ _p ^u

Š .

Soit x ∈ Q(ζ p ) un élément fixe par τ 0 . Décomposons-le dans la base que nous avons choisie : x = a ₁ ζ _p ^u + a ₂ ζ ^u _p

· · · + a _p−1 ζ ^u _p

, avec des rationnels a _i .

Puisque τ 0 = σ u vérifie τ 0 (ζ p ) = ζ _p ^u , on a τ 0

€ ζ ^u _p

Š

= τ 0 (ζ p ) ^u

= € ζ ^u _p Š u

= ζ ^u _p

donc

τ 0 ( x ) = a _p−1 ζ ^u _p + a ₁ ζ ^u _p

+ · · · + a _{p −2} ζ ^u _p

.

Ainsi, si τ 0 ( x ) = x , on a ∀ k ∈ { 1, p − 1 } , a _k = a ₁ , donc x est un multiple rationnel de ζ _p ^u + · · · + ζ ^u _p

= ζ ¹ _p + · · · + ζ ^p−1 p = − 1 et appartient à Q.

ii. La première question est évidente, il suffit de le vérifier pour ζ p .

Pour la deuxième question, on va démontrer que si ϕ : L → L est un automorphisme involutif (i.e. tel que ϕ ² = i d ) d’un corps de caractéristique nulle, le sous-corps fixe

K = n x ∈ L

ϕ( x ) = x o

est tel que L / K est une extension de degré 1 (dans le cas où ϕ = i d _L ) ou 2. Il suffira ensuite d’appliquer ce résultat à L = K _{m + 1} et ϕ = τ m (ce qui entraîne K = K _m ).

Le morphisme ϕ : L → L, vu comme application K-linéaire, est diagonalisable (il

est annulé par X ² − 1 qui est scindé à racines simples, car la caractéristique n’est

pas 2) de spectre inclus dans {± 1 } . L’espace propre associé à la valeur propre 1 est

K. Supposons qu’il existe z ∈ L non nul tel que ϕ( z ) = − z . Tout autre z ⁰ ∈ L tel que

ϕ( z ⁰ ) = − z ⁰ vérifie alors ϕ( z ⁰ / z ) = ϕ( z ⁰ )/ϕ( z ) = z ⁰ / z , c’est-à-dire z ⁰ / z ∈ K. On a

donc montré que l’espace propre associé à la valeur propre − 1, s’il existe, est une

droite. Au final, on a bien dim _K L ∈ { 1, 2 } .

iii. Puisque p est un nombre premier de Fermat, p = 2 ^N + 1, et u ²

≡ 1 ( mod p ) , donc τ N = i d . Ainsi, Q (ζ p ) = K _N , et d’après la question précédente, ceci prouve que ζ p

est constructible.

6. Si Φ p

est irréductible, c’est le polynôme minimal de ζ p

. Il s’ensuit que ζ p

est algébrique de degré φ( p ⁱ ) , le nombre de k ∈ { 1, n } premiers avec p ⁱ , qui est également le cardinal de (Z/p ⁱ Z) ^× . Mais on sait (ou l’on vérifie) que φ(p ⁱ ) = p ⁱ − p ⁱ⁻¹ = p ⁱ⁻¹ (p − 1). Ainsi, si i ≥ 2, φ( p ⁱ ) est divisible par p et ne peut pas être une puissance de 2, ce qui entraîne que ζ p

n’est pas constructible.

7. (a) Les racines ζ ^k _n du polynôme cyclotomique sont exactement les racines primitives n - ièmes de l’unité, c’est-à-dire les racines n-ièmes de l’unité qui ne sont pas des racines d -ièmes pour un d divisant strictement n.

Quand n = p est un nombre premier, ce sont toutes les racines de l’unité non triviales, c’est-à-dire différentes de 1. On a donc

Φ p ( X ) = Q p

k = 1 (X − ζ ^k _p )

X − 1 = X ^p − 1

X − 1 = X ^p−1 + X ^p−2 + · · · + X + 1, dont on a déjà montré à la question 4 qu’il était irréductible.

Si n = p ² , les racines n-ièmes de l’unité non primitives sont les racines p -ièmes. On a donc

Φ p

(X) = X ^p

− 1

X ^p − 1 = Φ p (X ^p ) = X ^p(p−1) + X ^{p(p −2)} + · · · + X ^p + 1.

(b) On a déjà utilisé ce fait dans la question 2 : si ζ m n est constructible, il en va de même de ζ n = ζ ^m _{m n} . Ainsi, la constructibilité de ζ p

entraîne celle de ζ p

(c’est le cas n = p ² , m = p ⁱ⁻² ) et, par contraposée, il va bien nous suffire de démontrer la non-constructibilité de ζ p

.

(c) Comme dans le cas de Φ p , Φ p

est irréductible si et seulement si Φ p

( X + 1 ) l’est. Or, Φ p

( X + 1 ) = Φ p (( X + 1 ) ^p )

= Φ p ( Y + 1 ) pour Y = X ^p + p

1

X ^p−1 + · · · + p

p − 1

X

= Y ^p−1 + p

1

Y ^p−2 + · · · + p

p − 2

X + p

p − 1

.

Comme Y est un polynôme unitaire et sans terme constant en X, le critère d’Eisenstein s’applique (Φ p

(X + 1) est congru à X ^{p ( p−1 )} modulo p , et son coefficient constant est

p p−1

= p ).

Le polynôme Φ p

est un polynôme irréductible qui annule ζ p

: c’en est donc le poly- nôme minimal. Il s’ensuit que ζ p

est un algébrique de degré deg Φ p

= p ( p − 1 ) , qui n’est pas une puissance de 2. Ce nombre n’est donc pas constructible.

8. En rassemblant les différents résultats que nous avons montrés, on obtient donc (en notant n = Q

p ^v

la décomposition en facteurs premiers de n) :

– que ζ n est constructible si et seulement si chacun des ζ p

l’est (exercice précédent, question 2) ;

– que ζ 2

est toujours constructible (exercice précédent, question 1) ;

– que, pour p impair, ζ p est constructible si et seulement si p est de Fermat (exercice pré- cédent) ;

– que, pour p impair et v _p ≥ 2, ζ p

n’est jamais constructible (question précédente).

En résumé, ζ n (ou le n-gone régulier, ou l’angle 2 π/ n) est constructible si et seulement si n est le produit d’une puissance de 2 et de nombres premiers de Fermat tous distincts ou, pour reprendre la fin des Disquitiones Arithmeticae de Gauß :

[ ... ] sive brevius, requiritur, ut N neque ullum factorem primum qui non est for- mae 2 ^m + 1, implicet, neque etiam ullum factorem primum formae 2 ^m + 1 pluries.

Huiusmodi valores ipsius N infra 300 reperiuntur hi 38 :

2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30, 32, 34, 40, 48, 51, 60, 64, 68, 80, 85, 96, 102, 120, 128, 136, 160, 170, 192, 204, 255, 256, 257, 272.

Ce résultat est parfois appelé théorème de Gauß-Wantzel (le fait que la condition soit suffi- sante étant due à Gauß (1801) et son aspect nécessaire découlant directement de la carac- térisation vue en cours des nombres constructibles, due à Pierre-Laurent Wantzel (1837)).

Cet énoncé ne doit pas cacher que, vu l’étendue de notre ignorance sur les nombres pre- miers de Fermat, il serait difficile de considérer le problème comme définitivement clos. Il est même assez frappant de constater que, bien qu’on ne sache pas construire à la règle et au compas plus de polygones réguliers que le jeune Gauß, on semble assez loin de pouvoir démontrer que son résultat est optimal...

9. On sait que ζ 5 + ζ ⁴ ₅ = 2 cos ( 2 π/ 5 ) et que ζ ² ₅ + ζ ³ ₅ = 2 cos ( 4 π/ 5 ) , et donc la formule ζ ² ₅ + ζ 5 + 1 + ζ ⁻¹ ₅ + ζ ⁻² ₅ = 0 implique que 2 cos(2π/5) + 2 cos(4π/5) + 1 = 0. De plus, le produit cos ( 2 π/ 5 ) cos ( 4 π/ 5 ) vaut ¹ ₂ ( cos ( 2 π/ 5 )+ cos ( 4 π/ 5 )) , donc cos ( 2 π/ 5 ) et cos ( 4 π/ 5 ) sont racines de X ² + X / 2 − 1 / 4. Si l’on remarque que cos ( 4 π/ 5 ) < 0 < cos ( 2 π/ 5 ) , on a donc cos ( 2 π/ 5 ) =

−1+ p 5

4 , que l’on écrira encore ¹ ₂ €

−1 2 + q ₅

4

Š . Cette écriture permet rapidement de construire le pentagone régulier à la règle et au compas.

O

A C B

M

Remarque. Les questions précédentes montrent que l’heptadécagone régulier est égale- ment constructible à la règle et au compas, un résultat dû à C. F. Gauß en 1796. ³ On a en fait la formule explicite :

cos

 2π 17

‹

= − 1 16 +

p 17 16 + 1

8 v t 17 − p

17

2 + 1

4 v u

t 17 + 3 p 17

4 − 1

2 v t 17 − p

17

2 − 1

2 v t 17 + p

17

2 ,

ce qui rend toute construction à la règle et au compas un peu plus délicate.

3. Notons que Gauß avait 19 ans.