Concours de l’Association Mathématique du Québec Niveau collégial
Le jeudi 28 février 2013
SOLUTIONNAIRE
1. Le triangle ennemi
Jacqueline se casse la tête avec un triangleN M I, rectangle enI, dont elle doit calcu- ler l’aire. Sa seule information est que les médianesM DetN E se croisent enO de telle sorte que la longueur deODest de 3 et celle deOE est de 4. Aidez-la à trouver l’aire de ce triangle.
Solution:
Le point de rencontre des médianes d’un triangle se situe au tiers de celles-ci, à partir du point milieu d’un côté. On sait donc queOMmesure 6 et queON mesure 8.
À partir du triangleN I E, on obtient : mN I2+mI E2=122 (1)
De même, à partir du triangleM I D, on a : mI D2+mI M2=92
⇒(12mN I)2+(2mI E)2=92 (2)
À partir des équations (1) et (2), on obtient facilementmN I=2p
33 etmI E=2p 3.
Il suit que :
Ai r e=b×h2 =2mI E×mN I2 =12p 11
2. Le résultat mystère
Simon vous propose un jeu où vous choisissez au hasard deux nombres réels posi- tifs. Il vous demande ensuite de calculer le carré de la somme des deux nombres et de diviser le tout par le produit des deux nombres. Il affirme alors que le résultat mys- tère que vous avez obtenu est plus grand ou égal à quatre. Montrer que Simon ne se trompera jamais avec cette affirmation.
Solution 1:
On peut supposer, sans perte de généralité, queb>a.
Selon le dessin : (a+b)2=4ab+(b−a)2 En divisant parab: (a+b)ab 2=4+(b−a)ab 2
Alors, comme le dernier terme est positif : (a+b)ab 2 ≥4 Solution 2:
Tout nombre carré étant positif : (a−b)2≥0 En développant : a2−2ab+b2≥0
En additionnant 4ab: a2+2ab+b2≥4ab En factorisant : (a+b)2≥4ab
En divisant parab: (a+b)ab 2≥4
Remarque : Il est aussi possible de démontrer le résultat en utilisant la dérivée.
3. Unπcoincé
Montrer que pour tous les polygones réguliers dont l’arête mesure 2 unités, l’aire de l’anneau délimité par le cercle circonscrit au polygone et le cercle inscrit dans le polygone sera toujours égale àπ.
Solution:
Peu importe le nombre de côtés de la figure régulière, on peut toujours construire le triangle rectangle suivant oùr est le rayon du cercle inscrit et Rcelui du cercle circonscrit (le petit côté du triangle étant la demi-longueur d’un côté du polygone).
Voici une illustration avec un pentagone régulier :
On a donc queR2=r2+1⇒R2−r2=1
On cherche l’aire de l’anneau compris entre les deux cercles soit : πR2−πr2=π(R2−r2)=π∗1=π
4. Deux dragons qui font boom !
Dans un jeu vidéo, deux dragons magiques volent dans un espace en trois dimen- sions.P1(t) etP2(t) donnent les positions (x,y,z) des dragons au momentt, oùtest en secondes.
P1(t)=¡
t8t, 2 sin2¡πt
2
¢,¥
t3−4t2+5t¦¢
etP2(t)=¡
301−t,176 −t,t−13¢
Est-ce que les deux dragons entreront en collision ? Si oui, donner le nombre total de collisions et le momenttcorrespondant à chacune des collisions.
Remarque :bxcreprésente le plus grand entier inférieur ou égal àx.
Solution:
Soit (x,y,z) la position de la collision au tempst. Selon la coordonnée enyil faut que 2 sin2¡πt
2
¢=176 −t.
Or, l’image de la fonction sin(x) étant entre -1 et 1, l’image de la fonction 2 sin2(x) sera entre 0 et 2.
Cela signifie que176 −tse situe entre 0 et 2 et ainsi toutes les valeurs possibles detse retrouvent dans l’intervalle£5
6,176¤ .
Selon la coordonnée enzil faut quet−13soit entier à cause de la partie entière dans P2. Donctest de la forme3n+13 pour un certain entiern.
Selonyetz, les seules valeurs detpossibles de la forme3n+13 dans l’intervalle£5
6,176¤ sont43et73.
Calculons donc les positions pour ces deux temps possibles : P1¡4
3
¢= Ã
¡4
3
¢8
³4 3
´
, 2sin2 Ãπ³4
3
´
2
! ,j¡4
3
¢3
−4¡4
3
¢2
+5¡4
3
¢k
!
= µ
¡4
3
¢24, 2³p3
2
´2
,¥64
27−649 +203¦
¶
=
¡64
3,32, 1¢ [P1¡7
3
¢= Ã
¡7
3
¢8
³7 3
´
, 2sin2 Ãπ³7
3
´
2
! ,j
¡7
3
¢3
−4¡7
3
¢2
+5¡7
3
¢k
!
=³
¡7
3
¢27, 2¡−1
2
¢2
,¥343
27 −1969 +353¦´
=
¡896
3 ,12, 2¢ P2¡4
3
¢=¡
301−¡4
3
¢,176 −¡4
3
¢,¡4
3
¢−13¢
=¡899
3 ,32, 1¢ P2¡7
3
¢=¡
301−¡7
3
¢,176 −¡7
3
¢,¡7
3
¢−13¢
=¡896
3 ,12, 2¢
Donc il n’y a qu’une seule intersection au momentt=73secondes.
5. Remonter à la racine du symbole
Vous devez déchiffrer un code vous donnant la valeur du nombreΞvérifiant l’égalité Ξ=
¯
¯
¯
pΛ−p1Λ
¯
¯
¯
Les informations que vous avez pu accumuler vous ont permis de savoir que p3
Λ+p31
Λ=3 Quelle est donc la valeur du nombreΞ?
Solution: Posonsa=p3
Λon sait alors quea+a1=3⇒a2a+1=3⇒ a2+1=3a pΛ=¡
Λ1/3¢3/2
=a3/2donc
³p
Λ−p1Λ´2
=³
a3/2−a13/2
´2
=³
a3−1 a3/2
´2
=((a−1)(a2+a+1))2
a3 =((a−1)(3aa3 +a))2 =(a−1)a2316a2
=16(a2−2a+1)
a =16(3aa−2a)=16 Donc si³p
Λ−p1Λ´2
=16⇒p
Λ−p1Λ= ±4 et, finalement, Ξ=
¯
¯
¯
pΛ−p1Λ
¯
¯
¯=4
6. Les polynômes de l’année
Un polynôme de l’année est un polynôme de degré inférieur ou égal à 2013, dont le coefficient du terme avec le plus haut degré est 1 et dont tous les zéros sont entiers.
Combien y a-t-il de polynômes de l’année dont le produit des zéros (distincts ou non) est 2013 ?
Solution:
La décomposition en facteurs premiers de 2013 est 3∗11∗61. Un polynôme de degré n≥3 ayant 2013 comme produit des zéros sera donc de l’une des formes suivantes : p1(x)=(x±1)n−3(x±3)(x±11)(x±61)
p2(x)=(x±1)n−2(x±3∗11)(x±61) p3(x)=(x±1)n−2(x±3∗61)(x±11) p4(x)=(x±1)n−2(x±11∗61)(x±3) p5(x)=(x±1)n−1(x±2013)
Lorsqu’un polynôme contientmfois le terme (x±1), on peut choisir entre 0 etm termes comme étant (x+1), les autres étant (x−1), ce qui nous donne (m+1) pos- sibilités. Les termes suivants mènent chacun à 2 possibilités, (x+r) et (x−r), à l’ex- ception du dernier dont le signe est fixé de façon à obtenir un produit positif des zéros.
On a donc :
Pourp1(x) :(n−3+1)∗2∗2∗1=4n−8 possibilités
Pourp2(x),p3(x) etp4(x) :(n−2+1)∗2∗1=2n−2 possibilités Pourp5(x) :(n−1+1)∗1=npossibilités
Au total, pour les polynômes de degrén≤3, on a donc : (4n−8)+3∗(2n−2)+n=11n−14 possibilités
Pour les polynômes de degré 1, seule la formep5(x) est valable, menant à la seule possibilité (x−2013).
Pour les polynômes de degré 2, toutes les formes saufp1(x) sont valides, menant à : 3∗(2n−2)+n=7n−6=7∗2−6=8 possibilités
Le nombre de possibilités total,t, est donc : t=1+8+P2013
n=3(11n−14)=9+11P2013
n=3n−14P2013 n=31
=9+11∗(P2013 n=1n−P2
n=1n)−14∗2011
=9+11∗(2013∗22014−2∗23)−14∗2011
=22269823
