Bien qu'elles soient disjointes, ces deux courbes semblent se couper à angle droit lorsqu'un observateur les regarde depuis certains points.

(1)

MPSI B 29 juin 2019

Énoncé

L'objet de ce problème ¹ est une illusion d'optique attachée à deux courbes dans l'espace.

Bien qu'elles soient disjointes, ces deux courbes semblent se couper à angle droit lorsqu'un observateur les regarde depuis certains points.

On dira que deux courbes P et R dans un espace euclidien orienté font illusion lorsqu'elles sont disjointes et que, pour tout P ∈ P , pour tout R ∈ R , pour tout vecteur directeur − → p de la tangente en P à P et tout vecteur directeur − → r de la tangente en R à R ,

le vecteur −→

P R n'est colinéaire ni à − → p ni à − → r les vecteurs − → p 1 et − → r 1 sont orthogonaux avec

−

→ p ₁ = − → p ∧ −→

P R, − → r ₁ = − → r ∧ −→

P R

Pour se rendre compte de l'illusion d'optique, imaginons un observateur placé sur la droite (P R) , hors du segment [P, R] , et regardant vers P et R .

Son oeil étant aligné avec P et R , ces points distincts lui semblent confondus. Son oeil est aussi à fortiori dans le plan passant par P et dirigé par − → p et −→

P R) . Il verra donc la droite (P R) comme un point mais il confondra toutes les autres droites de ce plan avec la droite passant par P et dirigée par − → p c'est à dire la tangente en P à P . L'illusion est analogue avec la tangente en R à R . Comme − → p 1 et − → r 1 sont orthogonaux, ces deux tangentes lui semblent orthogonales et les courbes semblent se couper à angle droit.

Un repère orthonormé direct est xé. Les fonctions coordonnées dans ce repère sont notés x , y , z . On considère la droite ∆ dénie par le système d'équations x = −3 et z = 0 et les points F et S repectivement de coordonnées (1, 0, 0) et (−1, 0, 0) .

1. a. Former un système d'équations de la courbe P constituée des points du plan Oxy à égale distance de F et de ∆ . Quelle est la nature de P et que représentent S , F , ∆ pour cette courbe.

b. Montrer que P est le support de la courbe paramétrée

f :

( R → E

t 7→ f (t) = O + (2t ² − 1) − → i + 4t − →

j 2. Soit R le support de la courbe paramétrée

g :

( R → E

u 7→ g(u) = O + (1 − 2u ² ) − → i + 4u − →

k

1

d'après Concours centrale supélec maths 2 TSI 2012

Montrer que R est une parabole dans le plan Oxz dont on précisera le foyer, le sommet et la directrice.

3. Montrer que R se déduit de P par une symétrie orthogonale par rapport à une droite à préciser.

4. Pour t et u réels, on pose P = f (t) et R = g(u) .

a. Calculer un vecteur directeur − → p de la tangente en P à P et un vecteur directeur

−

→ r de la tangente en R à R . b. Calculer − → p 1 = − → p ∧ −→

P R et − → r 1 = − → r ∧ −→

P R . L'un de ces vecteurs peut-il être nul ? c. Montrer que P et R font illusion.

5. On dira que M est un point d'illusion lorsqu'il existe P = f (t) ∈ P et R = g(u) ∈ R tels que M soit sur la droite (P R) en dehors du segment [P, R] . Il doit alors exister un µ réel tel que M = P + µ −→

P R .

Dans les questions a. et b., M est un tel point.

a. Exprimer u et t en fonction des coordonnées de M et de µ . Que doit vérier µ pour que M soit en dehors du segment ?

b. Exprimer avec y(M ) et z(M ) uniquement une fonction ϕ telle que x(M ) = ϕ(µ) . c. En utilisant des propriétés de ϕ , montrer que tous les points de l'espace qui n'appartiennent ni à P ni à R ni à un certain segment (à préciser) de l'axe Ox sont des points d'illusion.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1

Rémy Nicolai Aillus

(2)

MPSI B 29 juin 2019

Corrigé

1. a. Soit M un point de coordonnées (x, y, z) . On a M ∈ P si et seulement si M ∈ Oxy

d(M, F ) = d(M, ∆) ie

z = 0

(x − 1) ² + y ² = (x + 3) ² . On obtient après sim- plication le système d'équation :

z = 0

y ² = 8(x + 1)

Par dénition, dans le plan Oxy , P est la parabole de foyer F et de directrice ∆ . Le point S est le sommet de P .

b. Avec les notations de la questions précédentes et en posant t = ^y ₄ on a que M ∈ P si et seulement si z = 0 et x = 2t ² − 1 . On obtient bien le résultat cherché.

2. R est l'ensemble des points de coordonnées (x, 0, z) avec z = 4u et x = 1 − 2u ² pour u ∈ R c'est-à-dire l'ensemble d'équation

y = 0

z ² = 8(1 − x)

C'est la parabole, incluse dans le plan Oxz , de foyer le point S , de directrice ∆ ⁰ de système d'équations

x = 3

y = 0 et de sommet F .

3. On a M (x, y, z) ∈ P si et seulement si M ⁰ (−x, z, y) ∈ R . On vérie que M ⁰ est le symétrique de M par rapport à la droite D passant par O et dirigée par le vecteur de coordonnées (0, 1, 1) . En eet, H , le projeté orthogonal de M sur D , a pour coordonnées (0, ^y+z ₂ , ^y+z ₂ ) et on a M ⁰ = M + 2 −−→

M H .

R se déduit donc de P par symétrie orthogonal par rapport à D .

4. a. Les arcs paramétrés considérés sont réguliers, on peut donc prendre p ~ de coor- données f ⁰ (t) = (4t, 4, 0) et ~ r de coordonnées g ⁰ (t) = (−4u, 0, 4) .

b. −→

P R a pour coordonnées (2(1 − u ² − t ² ), −4t, 4u) . D'où p ~ 1 de coordonnées (16u, −16ut, 8(u ² − t ² − 1)) et r ~ 1 de coordonnées (16t, 8(u ² − t ² + 1), 16ut) . En considérant les coordonnées de p ~ 1 et r ~ 1 , on voit qu'aucun des deux vecteurs ne peux être nul.

c. P et R disjointes

Le vecteur p ~ 1 (resp. r ~ 1 ) est non nul, les vecteurs ~ p et −→

P R (resp. les vecteurs ~ r et −→

P R ) ne sont donc pas colinéaires.

On a ( p ~ 1 | r ~ 1 ) = 16 ² ut − 16 · 8ut(u ² − t ² + 1) + 16 · 8ut(u ² − t ² − 1) = 0 , les vecteurs p ~ 1 et r ~ 1 sont donc orthogonaux.

On en déduit que les courbes P et Q font illusion.

5. a. On a M de coordonnées (x(M ), y(M ), z(M )) = (1 − µ)(2t ² − 1, 4t, 0) + µ(1 − 2u ² , 0, 4u) , donc u = ^z(M) _4µ et t = _4(1−µ) ^y(M ⁾ .

M est le barycentre de (P, 1 − µ) et (R, µ) , il est en dehors du segment si et seulement si µ / ∈ [0, 1] .

b. x(M ) = (1 − µ)(2t ² − 1) + µ(1 − 2u ² ) = (1 − µ)

2 _y(M ₎

4(1−µ)

2 − 1

+ µ

1 − 2 _z(M ₎

4µ

2 . Après simplication on trouve x(M ) = ϕ(µ) avec ϕ : (

R \ [0, 1] → R

µ 7→ 2µ − 1 + _8(1−µ) ^y(M)

²

− ^z(M _8µ ⁾

²

c. Soit M un point ni sur P , ni sur Q , ni sur l'axe Ox . M n'est pas sur Ox donc (y(M ), z(M )) 6= (0, 0) Si y(M ) 6= 0 , lim

+∞ ϕ = +∞ et lim

1

⁺

ϕ = −∞ . Sinon, z(M ) 6= 0 , et lim

−∞ ϕ = −∞ et lim

0

⁻

ϕ = +∞ . De plus, ϕ est continue, donc elle est surjective.

Posons u = ^z(M _4µ ⁾ et t = _4(1−µ) ^y(M ⁾ . Introduisons les points P de coordonnées f (t) et Q de coordonnées g(u) . D'après la surjectivité de ϕ , on peut trouver µ ∈ R \ [0, 1] tel que x(M ) = ϕ(µ) . Le point M fait donc illusion (associées aux point P et Q ).

Soit M un point de l'axe Ox qui n'est ni sur P , ni sur Q . Alors (y(M ), z(M )) = (0, 0) et ϕ : µ 7→ 2µ−1 d'où ϕ( R \[0, 1]) = R \[−1, 1] . Par un même raisonnement que dans le point précédent, on montre que tout point de l'axe Ox privé P , Q et du segment d'extrémités les points de coordonnées (−1, 0, 0) et (1, 0, 0) fait illusion.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

2

Rémy Nicolai Aillus

Bien qu'elles soient disjointes, ces deux courbes semblent se couper à angle droit lorsqu'un observateur les regarde depuis certains points.

MPSI B 29 juin 2019

Énoncé

L'objet de ce problème 1 est une illusion d'optique attachée à deux courbes dans l'espace.

Bien qu'elles soient disjointes, ces deux courbes semblent se couper à angle droit lorsqu'un observateur les regarde depuis certains points.

On dira que deux courbes P et R dans un espace euclidien orienté font illusion lorsqu'elles sont disjointes et que, pour tout P ∈ P , pour tout R ∈ R , pour tout vecteur directeur − → p de la tangente en P à P et tout vecteur directeur − → r de la tangente en R à R ,

le vecteur −→

P R n'est colinéaire ni à − → p ni à − → r les vecteurs − → p 1 et − → r 1 sont orthogonaux avec

−

→ p 1 = − → p ∧ −→

P R, − → r 1 = − → r ∧ −→

P R

Pour se rendre compte de l'illusion d'optique, imaginons un observateur placé sur la droite (P R) , hors du segment [P, R] , et regardant vers P et R .

Son oeil étant aligné avec P et R , ces points distincts lui semblent confondus. Son oeil est aussi à fortiori dans le plan passant par P et dirigé par − → p et −→

Un repère orthonormé direct est xé. Les fonctions coordonnées dans ce repère sont notés x , y , z . On considère la droite ∆ dénie par le système d'équations x = −3 et z = 0 et les points F et S repectivement de coordonnées (1, 0, 0) et (−1, 0, 0) .

1. a. Former un système d'équations de la courbe P constituée des points du plan Oxy à égale distance de F et de ∆ . Quelle est la nature de P et que représentent S , F , ∆ pour cette courbe.

b. Montrer que P est le support de la courbe paramétrée

f :

( R → E

t 7→ f (t) = O + (2t 2 − 1) − → i + 4t − →

j 2. Soit R le support de la courbe paramétrée

g :

( R → E

u 7→ g(u) = O + (1 − 2u 2 ) − → i + 4u − →

k

d'après Concours centrale supélec maths 2 TSI 2012

Montrer que R est une parabole dans le plan Oxz dont on précisera le foyer, le sommet et la directrice.

3. Montrer que R se déduit de P par une symétrie orthogonale par rapport à une droite à préciser.

4. Pour t et u réels, on pose P = f (t) et R = g(u) .

a. Calculer un vecteur directeur − → p de la tangente en P à P et un vecteur directeur

−

→ r de la tangente en R à R . b. Calculer − → p 1 = − → p ∧ −→

P R et − → r 1 = − → r ∧ −→

P R . L'un de ces vecteurs peut-il être nul ? c. Montrer que P et R font illusion.

5. On dira que M est un point d'illusion lorsqu'il existe P = f (t) ∈ P et R = g(u) ∈ R tels que M soit sur la droite (P R) en dehors du segment [P, R] . Il doit alors exister un µ réel tel que M = P + µ −→

P R .

Dans les questions a. et b., M est un tel point.

a. Exprimer u et t en fonction des coordonnées de M et de µ . Que doit vérier µ pour que M soit en dehors du segment ?

b. Exprimer avec y(M ) et z(M ) uniquement une fonction ϕ telle que x(M ) = ϕ(µ) . c. En utilisant des propriétés de ϕ , montrer que tous les points de l'espace qui n'appartiennent ni à P ni à R ni à un certain segment (à préciser) de l'axe Ox sont des points d'illusion.

1

MPSI B 29 juin 2019

Corrigé

1. a. Soit M un point de coordonnées (x, y, z) . On a M ∈ P si et seulement si M ∈ Oxy

d(M, F ) = d(M, ∆) ie

z = 0

(x − 1) 2 + y 2 = (x + 3) 2 . On obtient après sim- plication le système d'équation :

z = 0

y 2 = 8(x + 1)

Par dénition, dans le plan Oxy , P est la parabole de foyer F et de directrice ∆ . Le point S est le sommet de P .

b. Avec les notations de la questions précédentes et en posant t = y 4 on a que M ∈ P si et seulement si z = 0 et x = 2t 2 − 1 . On obtient bien le résultat cherché.

2. R est l'ensemble des points de coordonnées (x, 0, z) avec z = 4u et x = 1 − 2u 2 pour u ∈ R c'est-à-dire l'ensemble d'équation

y = 0

z 2 = 8(1 − x)

C'est la parabole, incluse dans le plan Oxz , de foyer le point S , de directrice ∆ 0 de système d'équations

x = 3

y = 0 et de sommet F .

M H .

R se déduit donc de P par symétrie orthogonal par rapport à D .

4. a. Les arcs paramétrés considérés sont réguliers, on peut donc prendre p ~ de coor- données f 0 (t) = (4t, 4, 0) et ~ r de coordonnées g 0 (t) = (−4u, 0, 4) .

b. −→

P R a pour coordonnées (2(1 − u 2 − t 2 ), −4t, 4u) . D'où p ~ 1 de coordonnées (16u, −16ut, 8(u 2 − t 2 − 1)) et r ~ 1 de coordonnées (16t, 8(u 2 − t 2 + 1), 16ut) . En considérant les coordonnées de p ~ 1 et r ~ 1 , on voit qu'aucun des deux vecteurs ne peux être nul.

c. P et R disjointes

Le vecteur p ~ 1 (resp. r ~ 1 ) est non nul, les vecteurs ~ p et −→

P R (resp. les vecteurs ~ r et −→

P R ) ne sont donc pas colinéaires.

On a ( p ~ 1 | r ~ 1 ) = 16 2 ut − 16 · 8ut(u 2 − t 2 + 1) + 16 · 8ut(u 2 − t 2 − 1) = 0 , les vecteurs p ~ 1 et r ~ 1 sont donc orthogonaux.

On en déduit que les courbes P et Q font illusion.

5. a. On a M de coordonnées (x(M ), y(M ), z(M )) = (1 − µ)(2t 2 − 1, 4t, 0) + µ(1 − 2u 2 , 0, 4u) , donc u = z(M) 4µ et t = 4(1−µ) y(M ) .

M est le barycentre de (P, 1 − µ) et (R, µ) , il est en dehors du segment si et seulement si µ / ∈ [0, 1] .

b. x(M ) = (1 − µ)(2t 2 − 1) + µ(1 − 2u 2 ) = (1 − µ)

2 y(M )

4(1−µ)

2

− 1

+ µ

1 − 2 z(M )

4µ

2

. Après simplication on trouve x(M ) = ϕ(µ) avec ϕ : (

R \ [0, 1] → R

L'objet de ce problème ¹ est une illusion d'optique attachée à deux courbes dans l'espace.

→ p ₁ = − → p ∧ −→

P R, − → r ₁ = − → r ∧ −→

t 7→ f (t) = O + (2t ² − 1) − → i + 4t − →

u 7→ g(u) = O + (1 − 2u ² ) − → i + 4u − →

(x − 1) ² + y ² = (x + 3) ² . On obtient après sim- plication le système d'équation :

y ² = 8(x + 1)

b. Avec les notations de la questions précédentes et en posant t = ^y ₄ on a que M ∈ P si et seulement si z = 0 et x = 2t ² − 1 . On obtient bien le résultat cherché.

2. R est l'ensemble des points de coordonnées (x, 0, z) avec z = 4u et x = 1 − 2u ² pour u ∈ R c'est-à-dire l'ensemble d'équation

z ² = 8(1 − x)

C'est la parabole, incluse dans le plan Oxz , de foyer le point S , de directrice ∆ ⁰ de système d'équations

4. a. Les arcs paramétrés considérés sont réguliers, on peut donc prendre p ~ de coor- données f ⁰ (t) = (4t, 4, 0) et ~ r de coordonnées g ⁰ (t) = (−4u, 0, 4) .

P R a pour coordonnées (2(1 − u ² − t ² ), −4t, 4u) . D'où p ~ 1 de coordonnées (16u, −16ut, 8(u ² − t ² − 1)) et r ~ 1 de coordonnées (16t, 8(u ² − t ² + 1), 16ut) . En considérant les coordonnées de p ~ 1 et r ~ 1 , on voit qu'aucun des deux vecteurs ne peux être nul.

On a ( p ~ 1 | r ~ 1 ) = 16 ² ut − 16 · 8ut(u ² − t ² + 1) + 16 · 8ut(u ² − t ² − 1) = 0 , les vecteurs p ~ 1 et r ~ 1 sont donc orthogonaux.

5. a. On a M de coordonnées (x(M ), y(M ), z(M )) = (1 − µ)(2t ² − 1, 4t, 0) + µ(1 − 2u ² , 0, 4u) , donc u = ^z(M) _4µ et t = _4(1−µ) ^y(M ⁾ .

b. x(M ) = (1 − µ)(2t ² − 1) + µ(1 − 2u ² ) = (1 − µ)

2 _y(M ₎

1 − 2 _z(M ₎

µ 7→ 2µ − 1 + _8(1−µ) ^y(M)

− ^z(M _8µ ⁾

Posons u = ^z(M _4µ ⁾ et t = _4(1−µ) ^y(M ⁾ . Introduisons les points P de coordonnées f (t) et Q de coordonnées g(u) . D'après la surjectivité de ϕ , on peut trouver µ ∈ R \ [0, 1] tel que x(M ) = ϕ(µ) . Le point M fait donc illusion (associées aux point P et Q ).