Programme colle math Semaine 4 du 07/10/19 au 12/10/19 MPSI B Hoche
Techniques fondamentales de calcul en analyse
A - Inégalités dans R
Relation d’ordre sur R. Compatibilité avec les opéra- Exemple de majoration et de minoration de sommes, de
tions produit et de quotient.
Parties positive et négative d’un réel. Valeur absolue. Notationsx+,x−. Inégalité triangulaire.
Intervalles deR. Interprétation sur la droite réelle d’inégalités du type
|x−a| ≤b.
Parties majorées, minorées, bornées. Le « plus simple des encadrements »(terminologie lo-
Majorant, minorant, maximum (ou plus grand élément),
cale) :
nmin(x1,· · ·, xn)≤
n
X
i=1
xi≤nmax(x1,· · ·, xn) minimum (ou plus petit élémént). Les notions de borne supérieure ou inférieure ne seront
introduites que lors du cours de présentation axioma- tique deR.
Exemples. Inégalité de Cauchy-Schwarz. Preuve de la divergence
de la série harmonique avec des puissances de 2 et le plus simple des encadrements.
B - Fonction de la variable réelle à valeurs réelles ou complexes
a) Généralités sur les fonctions
Ensemble de définition
Représentation graphique d’une fonctionfà valeurs réelles. Graphes des fonctions x 7→ f(x) +a, x 7→ f(x+a), x7→f(a−x),x7→f(ax),x7→af(x).
Résolution graphique d’équations et d’inéquations du typef(x) =λetf(x)≥λ.
Parité, imparité, périodicité. Interprétation géométrique de ces propriétés.
Somme, produit, composée.
Monotonie (large et stricte).
Fonctions majorées, minorées, bornées. Traduction géométrique de ces propriétés.
Une fonction est bornée si et seulement si|f|est majo- rée.
b) Dérivation
Équation de la tangente en un point.
Dérivée d’une combinaison linéaire, d’un produit, d’un Ces résultats sont admis à ce stade.
quotient, d’une composée. SI : étude cinématique.
PC : exemples de calculs de dérivées partielles.
À ce stade, toute théorie sur les fonctions de plusieurs variables est hors programme.
Caractérisation des fonctions dérivables constantes, mo- Résultat admis à ce stade. Les étudiants doivent savoir notones, strictement monotones sur un intervalle. introduire des fonctions pour établir des inégalités.
Tableau de variation.
Graphe d’une réciproque.
Dérivée d’une réciproque. Interprétation géométrique de la dérivabilité et du calcul de la dérivée d’une bijection réciproque.
Dérivées d’ordre supérieur.
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l’Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
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c) Étude d’une fonction
Détermination des symétries et des périodicités afin de Application à la recherche d’extrémums et à l’obtention réduire le domaine d’étude, tableau de variations, asymp- d’inégalités.
totes verticales et horizontales, tracé du graphe.
d) Fonctions usuelles
Fonctions exponentielle, logarithme népérien, puissances. Dérivée, variation et graphe.
Les fonctions puissances sont définies surR∗+et prolon- gées en 0 le cas échéant. Seules les fonctions puissances entières sont en outre défines surR∗−.
SI : logarithme décimal pour la représentation des diagrammes de Bode.
Relations (xy)α=xαyα,xα+β=xαxβ, (xα)β=xαβ. Croissances comparées des fonctions logarithme, puis- sances et exponentielle.
Fonction sinus, cosinus, tangente. PC et SI
Fonctions circulaires réciproques. Notation arcsin, arccos, arctan.
Fonctions hyperboliques. Notations sh, ch, th.
Seule relation de trigonométrie hyperbolique exigible : ch2x−sh2x= 1.
Les fonctions hyperboliques réciproques sont hors pro- grammes.
Questions de cours
Inégalité de Cauchy-Schwarz. Preuve de la divergence de la série harmonique avec des puissances de 2 et le plus simple des encadrements. Énoncé du théorème de dérivabilité d’une bijection réciproque. Fonctions réciproques en trigonométrie circulaire : définition, dérivées. Graphe de arcsin◦sin.
Prochain programme Primitives et équations différentielles linéaires.
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