Programme colle math Semaine 5 du 14/10/19 au 19/10/19 MPSI B Hoche
Techniques fondamentales de calcul en analyse
B - Fonction de la variable réelle à valeurs réelles ou complexes (fin)
e) Dérivation d’une fonction complexe d’une variable réelle.
Dérivée d’une fonction à valeurs complexes. La dérivée est définie par ses parties réelle et imaginaire.
Dérivée d’une combinaison linéaire, d’un produit, d’un Brève extension des résultats sur les fonctions à valeurs
quotient. réelles.
Dérivée de exp(ϕ) oùϕest une fonction dérivable à va- PC et SI : électrocinétique.
leurs complexes.
Exemple de dérivation d’une fonction à valeurs com- Pour z ∈ C\R, fonction à valeurs complexes dont la
plexes. dérivée estt7→ t+z1 .
C - Primitives et équations différentielles linéaires
a) Calcul de primitives
Primitives d’une fonction définie sur un intervalle à va- Description de l’ensemble des primitives d’une fonction
leurs complexes sur un intervalle connaissant l’une d’entre elles.
Les étudiants doivent savoir utiliser les primitives de x7→ eλx pour calculer celles de x 7→ eaxcos(bx) et de x7→eaxsin(bx).
PC et SI : cinématique.
Primitives des fonctions puissances, trigonométriques et Les étudiants doivent savoir calculer les primitives des hyperboliques, exponentielle, logarithme,
x7→ 1
1 +x2, x7→ 1
√ 1−x2
fonctions du type
x7→ 1
ax2+bx+c
et reconnaître les dérivées de fonctions composées.
Dérivée dex7→Rx
x0f(t)dtoùf est continue. Résultat admis à ce stade.
Toute fonction continue admet des primitives.
Calcul d’une intégrale au moyen d’une primitive.
Intégration par parties pour des fonctions de classeC1. On définit à cette occasion la classeC1. Application au Changement de variable : siϕ est de classeC1 sur I et calcul de primitives.
sif est continue surϕ(I), alors, pour tousaetbdansI Z ϕ(b)
ϕ(a)
f(x)dx= Z b
a
f(ϕ(t))ϕ0(t)dt
b) Équations différentielles linéaires du premier ordre
Notion d’équation différentielle linéaire du premier ordre :
y0+a(x)y =b(x) Équation homogène associée.
où a et b sont des fonctions continues définies sur un Cas particulier où la fonctionaest constante.
intervalleIdeRà valeurs réelles ou complexes.
Résolution d’une équation homogène.
Forme des solutions : somme d’une solution particulière PC : régime libre, régime forcé ; régime transitoire, et de la solution générale de l’équation homogène. régime établi.
Principe de superposition.
Méthode de la variation de la constante.
Existence et unicité de la solution d’un problème de PC et SI : modélisation de circuits électriques RC,
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l’Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
1 Rémy Nicolai S5
Programme colle math Semaine 5 du 14/10/19 au 19/10/19 MPSI B Hoche
Cauchy. RL ou de systèmes mécaniques linéaires.
On reviendra sur le calcul de primitives au printemps.
Questions de cours Pourz∈C\R, fonction à valeurs complexes dont la dérivée estt7→ t+z1 .
Cette année, volontairement,je n’ai pas formulé de théorème pour le changement de variable. Mais les étudiants doivent savoir changer de variable pratiquement dans une intégrale.
méthodes
Savoir-faire : on constate qu’ils conduisent au résultat sans justification théorique.
— Primitive de l’inverse d’un trinôme
— Primitive d’un polynôme-exponentiel (avec des coefficients indéterminés)
— Intégration par parties très simple
— Changement de variable très très simple
— Equ. diff. lin ordre 1 à coeff. constant avec second membre polynôme-exponentiel démonstrations
— Ensemble des solutions d’une eq. dif. lin d’ordre 1 homogène.
— Existence d’une sol d’une eq. dif. lin d’ordre 1 (variation constante).
— Existence et unicité pour les pbs de Cauchy
Prochain programme Équations différentielle ordre 2.
Révision des techniques fondamentales de calcul algébrique, complexe, trigonométrique, en analyse.
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