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Super-algèbres non associatives avec des structures homogènes

Imen Ayadi

To cite this version:

Imen Ayadi. Super-algèbres non associatives avec des structures homogènes. Anneaux et algèbres [math.RA]. Université Paul Verlaine-Metz, 2011. Français. �NNT : 2011METZ002S�. �tel-01752964v2�

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Universit´ e Paul Verlaine-Metz

Laboratoire LMAM, CNRS UMR 7122 Ecole doctorale IAEM Lorraine

D´ epartement de Math´ ematiques

TH` ESE soumise en vue de l’obtention du

DOCTORAT DE L’UNIVERSIT´ E PAUL VERLAINE-METZ

par

Imen AYADI

Super-alg` ebres non associatives avec des structures homog` enes

Soutenue le 10 Mars 2011 devant le Jury compos´e de

Helena Albuquerque Universit´e de Coimbra (Portugal) Ignacio Bajo Universit´e de Vigo (Espagne)

Sa¨ıd Benayadi Université Paul Verlaine-Metz, Directeur de thèse Michel Goze Université de Haute Alsace-Mulhouse

Richard Kerner Universit´e Pierre et Marie Curie (Paris VI) Salah Mehdi Universit´e Paul Verlaine-Metz

Angela Pasquale Universit´e Paul Verlaine-Metz

Rapporteurs : Alberto Elduque Universit´e de Zaragoza (Espagne)

Michel Goze Universit´e de Haute Alsace-Mulhouse

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Table des mati` eres

1 Généralités 6

1.1 Super-alg`ebres associatives. . . 8

1.1.1 Classification des super-alg`ebres associatives simples . . . 9

1.2 Super-alg`ebres non associatives . . . 16

1.3 Super-alg`ebres avec des structures homog`enes . . . 19

2 Super-algèbres de Novikov symétriques 22 2.1 Propriétés des super-algèbres de Novikov symétriques . . . 22

2.2 Exemples de super-alg`ebres de Novikov sym´etriques . . . 25

2.3 Structures et description inductive des super-alg`ebres de Novikov sym´etriques . . 29

2.3.1 Quelques extensions de super-alg`ebres de Novikov sym´etriques . . . 30

2.3.2 Description inductive des super-alg`ebres de Novikov sym´etriques . . . 33

3 Super-algèbres associatives symétriques homogènes 37 3.1 Incompatibilité des structures symétriques paires et des structures symétriques impaires . . . 37

3.1.1 Caractérisations des super-algèbres associatives symétriques homogènes . 38 3.2 Super-algèbres associatives symétriques homogènes simples . . . 40

3.3 Super-algèbres associativesA=A^¯⁰⊕ A^¯¹symétriques homogènes telles que leurs parties paires sont desA^¯⁰-bimodules semi-simples. . . 43

3.3.1 Super-alg`ebres associatives sym´etriques impaires telles que leurs parties paires sont des bimodules semi-simples. . . 44

3.3.2 Super-alg`ebres associatives sym´etriques paires telles que leurs parties paires sont des bimodules semi-simples . . . 49

3.4 Descriptions inductives des super-algèbres associatives symétriques homogènes . 53 3.4.1 Structures et description inductive des super-algèbres associatives symétriques paires . . . 54

3.4.2 Description inductive des super-algèbres associatives symétriques paires . 56 3.4.3 Structures et description inductive des super-algèbres associatives symétriques impaires . . . 58

4 Super-algèbres associatives super-commutatives avec des structures homogènes 62 4.1 Super-algèbres associatives super-commutatives symplectiques homogènes . . . . 63

4.1.1 Super-alg`ebres associatives super-commutatives symplectiques paires . . . 63

4.1.2 Super-algèbres associatives super-commutatives symplectiques impaires . 66 4.2 Super-algèbres associatives super-commutatives symétriques homogènes symplectiques homogènes . . . 68

4.2.1 Super-algèbres associatives super-commutatives symétriques paires avec des structures symplectiques homogènes . . . 69

4.2.2 Super-algèbres associatives super-commutatives symétriques impaires avec des structures symplectiques homogènes . . . 77 5 Super-algèbres de Lie avec des structures homogènes 85

i

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5.1 La compatibilité et l’incompatibilité de certaines structures homogènes . . . 85

5.2 Super-alg`ebres de Lie symplectiques homog`enes . . . 89

5.2.1 Super-alg`ebres de Lie symplectiques paires . . . 89

5.2.2 Super-alg`ebres de Lie symplectiques impaires . . . 92

5.3 Super-algèbres de Lie quadratiques homogènes symplectiques homogènes. . . 94

5.3.1 Super-alg`ebres de Lie quadratiques impaires avec des structures symplectiques homog`enes . . . 95

5.3.2 Super-alg`ebres de Lie quadratiques paires avec des structures symplectiques homog`enes . . . 102

5.4 Super-algèbres de Lie quadratiques homogènes symplectiques homogènes et les super-algèbres de Manin homogènes . . . 106

5.4.1 Description inductive des super-alg`ebres de Manin impaires symplectiques impaires sp´eciales. . . 107

5.4.2 Description inductive des super-alg`ebres de Manin paires (resp. impaires) symplectiques impaires (resp. paires) sp´eciales. . . 109

6 Super-algèbres Poisson-admissibles avec des structures homogènes 111 6.1 Super-algèbres Poisson-admissibles symplectiques homogènes . . . 111

6.1.1 Super-alg`ebres Poisson-admissibles symplectiques paires . . . 111

6.1.2 Super-alg`ebres Poisson-admissibles symplectiques impaires. . . 116

6.2 Super-alg`ebres Poisson-admissibles quadratiques homog`enes . . . 119

6.2.1 Construction des super-algèbres de Lie quaratiques homogènes à partir des super-algèbres Poisson-admissibles quadratiques homogènes . . . 119

6.2.2 Double extensions généralisées des super-algèbres Poisson-admissibles quadratiques homogènes . . . 121

6.3 Super-algèbres Poisson-admissibles quadratiques homogènes symplectiques ho- mogènes . . . 130

6.3.1 Super-alg`ebres Poisson-admissibles quadratiques paires symplectiques paires132 6.3.2 Super-alg`ebres Poisson-admissibles quadratiques impaires symplectiques impaires . . . 134

6.3.3 Super-alg`ebres Poisson-admissibles quadratiques paires (resp. quadratiques impaires) symplectiques impaires (resp. symplectiques paires) . . . 135

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Introduction

La théorie des super-algèbres non associatives munies des formes bilinéaires est une branche intéressante des mathématiques. Nous trouvons des applications de cette théorie dans différentes disciplines [3], [21], [24], [36].

Les super-algèbres non associatives envisagées dans cette thèse sont les super-algèbres de Lie et les super-algèbres associatives. Rappelons que la terminologie ”super-algèbres non associatives”

signifie super-alg`ebres non n´ecessairement associatives.

Nous nous intéressons à des super-algèbres non associatives quadratiques homogènes et/ou symplectiques homogènes.

• Une super-algèbre non associative (A, .) est dite quadratique homogène paire (resp. impaire) si elle est munie d’une forme bilinéaire B homogène paire (resp. impaire), super-symétrique, non-dégénérée et invariante (c’est à direB(x.y, z) =B(x, y.z), ∀x, y, z∈ A.).

•Une super-algèbre non associative (A, .) est dite symplectique homogène paire (resp. impaire) si elle est munie d’une forme bilinéaireωhomogène paire (resp. impaire), super-anti-symétrique, non-dégénérée qui satisfait

(−1)^|z||x|ω(x, y.z)+(−1)^|x||y|ω(y, z.x)+(−1)^|y||z|ω(z, x.y) = 0, ∀x∈ A|x|, y∈ A|y| et z∈ A|z|.

Les super-algèbres de Lie quadratiques homogènes ont été beaucoup étudiées ([?], [1], [9], [13], [14], [28], [33], [34]). Les algèbres de Lie semi-simples, les super-algèbres de Lie classiques basiques et plusieurs super-algèbres de Lie résolubles sont des super-algèbres de Lie quadratiques paires.

En revanche, les super-algèbresd(n)/KI2n, n≥3, sont des super-algèbres de Lie quadratiques impaires. Dans [33], A. Medina et Ph. Revoy ont introduit le concept de la double extension des algèbres de Lie quadratiques et ils ont utilisé ce concept pour donner une classification inductive des algèbres de Lie quadratiques. D’autres descriptions des algèbres de Lie quadratiques ont été données dans [18], [30]. Dans [13], une généralisation de la double extension introduite par A.

Medina et Ph. Revoy dans le cas des super-algèbres quadratiques paires a été faite. À l’aide de cette nouvelle notion de double extension, une description inductive des super-algèbres de Lie quadratiques paires g=g¯0⊕g¯1 telle que dimg¯1 = 2 a été obtenue dans [13]. La question suivante a été posée dans [13] : ” Soit (g, B) une super-algèbre de Lie quadratique paire B- irréductible non simple. Peut-on obtenirgpar doubles extensions ?” Une réponse affirmative a cette question a été donnée dans [14] dans le cas des super-algèbres de Lie quadratiques paires

1

(6)

g=g¯0⊕g¯1telle que l’action deg¯0 surg¯1 est complètement réductible. De plus, en introduisant une notion particulière de la double extension des super-algèbres de Lie quadratiques paires dans [14], S. Benayadi a donné une description inductive des super-algèbres de Lie quadratiques paires g = g¯0⊕g¯1 telle que g¯0 est une algèbre de Lie réductive et l’action de g¯0 sur g¯1 est complètement réductible. Dans le but de donner une description inductive des super-algèbres de Lie quadratiques paires, en particulier celles qui satisfontz(g)∩g¯0={0}, les auteurs de [9]

ont introduit la notion de la double extension généralisée des super-algèbres de Lie quadratiques paires. En particulier, ils ont montré que toute super-algèbre de Lie quadratique paire résoluble est obtenue par une série finie de doubles extensions généralisées par une super-algèbre de Lie de dimension 1. La notion de la double extension généralisée a permis aussi aux auteurs de [1], de donner une description inductive des super-algèbres de Lie quadratiques paires g=g¯0⊕g¯1

telle que g¯0 est une algèbre de Lie réductive. Plus précisément, le travail fait dans [1] est une amélioration de l’étude des super-algèbres de Lie quadratiques pairesg=g¯0⊕g¯1telle queg¯0 est une algèbre de Lie réductive et l’action deg¯0 surg¯1est complètement réductible faite dans [14].

Dans un travail récent [2] , H. Albuquerque, E. Barreiro et S. Benayadi ont développé l’étude des super-algèbres de Lie quadratiques impaires en donnant deux descriptions des super-algèbres de Lie quadratiques impaires telles que leurs parties paires soient des algèbres de Lie réductives. La première description est obtenue au moyen de la notion de la double extension généralisée des super-algèbres de Lie quadratiques impaires. En revanche, la seconde description n’utilise pas la notion de la double extension.

D’autres travaux intéressants ont été consacrés à l’étude des super-algèbres de Lie quadratiques homogènes avec en plus des structures symplectiques homogènes [4], [10] et [12]. En particulier, dans [4], A. Aubert a donné une description inductive des algèbres de Lie quadratiques symplectiques en moyen du concept de la double extension symplectique. Dans [10], nous trouvons deux autres descriptions inductives de ces algèbres. La première description a été obtenue à l’aide de la double extension quadratique. Ensuite, en remarquent que toute algèbre de Lie quadratique symplectique est une algèbre de Manin, les auteurs de [10] ont donné une deuxième description inductive de ces algèbres à l’aide de la double extension des algèbres de Manin [32]. Récemment, une généralisation aux cas des super-algèbres de Lie quadratiques paires symplectiques paires de ces deux descriptions a été faite dans [12]. Suite au travail fait dans [12] deux questions naturelles se posent :

1. Existe-t-il d’autres super-algèbres de Lie quadratiques homogènes symplectiques homogènes que celles considérées dans [12] ?

2. Si la réponse à la question ci-dessus est positive, peut-on donner une description inductive de ces super-algèbres à l’aide des techniques de doubles extensions ?

Dans cette thèse, nous donnons une réponse positive à la première question. Ensuite, nous

étudions les super-algèbres de Lie quadratiques homogènes symplectiques homogènes. En particulier, nous développons certains concepts de doubles extensions.

L’autre classe des super-algèbres que nous avons étudié est celles des super-algèbres associatives symétriques homogènes et/ou symplectiques homogènes. Dans la cas nonZ2-gradué, en utilisant le concept de la double extension d’une algèbre associative symétrique par une algèbre associative,

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Introduction 3 une description inductive des algèbres associatives symétriques a été obtenue dans [4]. Dans [11], nous trouvons une étude de la structure des algèbres associatives commutatives symétriques symplectiques qui utilise laT^∗-extension introduite par M. Bordemann [18] et la double extension des algèbres associatives symétriques utilisée dans [4]. Dans cette thèse, nous généralisons la double extension faite dans [4] aux cas des super-algèbres associatives symétriques homogènes. Dans un premier temps, nous utilisons la double extension généralisée des super-algèbres associatives symétriques paires par une super-algèbre associative de dimension 1 à produit nul, pour étudier la structure des super-algèbres de Novikov symétriques paires. Ces super-algèbres sont des super- algèbres associatives symétriques paires avec une condition supplémentaire. En particulier, nous donnons une description inductive de ces super-algèbres. Ensuite, nous montrons que, contrairement au cas Lie [28] et [34], toutes les super-algèbres associatives simples possèdent des structures symétriques homogènes. Plus précisément, nous donnons explicitement sur chaque super-algèbre associative simple une structure symétrique homogène. Finalement, nous obtenons une description inductive complète des super-algèbres associatives symétriques homogènes. Ces résultats sur les super-algèbres associatives symétriques homogènes sont publiés dans [5] et [6]. Nous obtenons d’autres résultats sur les super-algèbres associatives super-commutatives symétriques homogènes symplectiques homogènes qui nous permettent d’étudier les super-algèbres Poisson-admissibles quadratiques homogènes symplectiques homogènes.

Dans la dernière partie de cette thèse, nous étudions les super-algèbres de Poisson quadratiques homogènes symplectiques homogènes. Une super-algèbre de Poisson est un espace vectorielZ2- gradué A muni de deux lois ” [,] ” et ”◦” tel que (A,[,]) est une super-algèbre de Lie, (A,◦) est une super-algèbre associative super-commutative et les super-dérivations intérieures pour la structure de Lie sont des super-dérivations pour la structure associative super-commutative. Une description d’une algèbre de Poisson à l’aide qu’une seule opération bilinéaire a été donnée dans [17], [25] et [31]. Ce point de vue a permis aux auteurs de [25] d’étudier les algèbres de Poisson en tant qu’algèbres non associatives. Plus précisément, ils ont étudié leurs propriétés algébriques et cohomologiques, déterminé leurs déformations en tant qu’algèbres non associatives et donné leurs classifications en petites dimensions. Dans [17], S. Benayadi a donné une autre description des algèbres de Poisson à l’aide d’une seule opération bilinéaire équivalente à celle donnée dans [25].

Ensuite, il a donné explicitement toutes les structures de Poisson sur des classes intéressantes d’algèbres de Lie. Dans [16], il est montré comment on peut construire des algèbres de Lie quadratiques de dimensions plus grandes à partir des algèbres de Poisson quadratiques.

Cette thèse est constituée de six chapitres qui sont organisés de la manière suivante.

Dans le premier chapitre, nous donnons les définitions des super-algèbres étudiées dans cette thèse et nous rappelons les différents résultats intéressants liés à ces super-algèbres. Dans la première section de ce chapitre, nous rappelons la classification des super-algèbres associatives simples sur un corps K de caractéristique différente de 2 [29]. Cette classification est dû à C.

Wall [35]. Ensuite, nous déduisons la liste des super-algèbres associatives simples sur un corps Kalgébriquement clos. Cette liste co¨ıncide avec celle citée dans [22]. Dans la deuxième section, nous donnons une description d’une super-algèbre de Poisson à l’aide d’une seule opération bi- linéaire. Cette description généralise celle donnée dans le cas des algèbres de Poisson dans [17].

Finalement, la troisième section de ce chapitre consiste à regrouper quelques résultats sur les

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super-algèbres qui sont munies de structures quadratiques homogènes et/ou de structures symplectiques homogènes.

Dans le deuxième chapitre, nous étudions les super-algèbres de Novikov gauches et les super- algèbres de Novikov droites qui sont munies de structures symétriques paires. Nous montrons dans la première section que dans une super-algèbre munie d’une forme bilinéaire paire, super- symétrique, associative et non-dégénérée, les notions de super-algèbre de Novikov gauche et de super-algèbre de Novikov droite co¨ıncident. Par conséquent, nous parlerons simplement de super- algèbre de Novikov munie d’une forme bilinéaire paire, super-symétrique, associative et non- dégénérée. D’après la description d’une super-algèbre de Poisson à l’aide d’une seule opération bilinéaire faite dans le chapitre précédent, nous déduisons que les super-algèbres de Novikov symétriques paires sont des super-algèbres Poisson-admissibles quadratiques paires. Les algèbres de Novikov sont apparues dans [7], [8], [19], [20] et [37]. En particulier dans [37], il a été démontré que les algèbres de Novikov symétriques de dimension≤4 sont commutatives. De plus, un exemple d’algèbre de Novikov symétrique non-commutative de dimension 6 a été présenté dans [37]. Dans la deuxième section de ce chapitre, nous donnons plusieurs exemples de super- algèbres de Novikov symétriques paires non-super-commutatives et nous obtenons des résultats intéressants sur la structure des super-algèbres de Novikov symétriques paires. En particulier, nous montrons que toutes les algèbres de Novikov symétriques de dimension 5 sont commutatives. La classification des super-algèbres de Novikov symétriques paires (à isomorphismes près) semble très difficile. Néanmoins, nous pouvons donner une description inductive de ces super- algèbres. Dans la troisième section, nous introduisons quelques notions de doubles extensions de super-algèbres de Novikov symétriques paires. Plus explicitement, nous montrons que toute super-algèbre de Novikov symétrique paire de dimension n >1 peut être obtenue à partir de {0}, Kou l’algèbre de dimension 1 à produit nul par une série finie de double extensions.

Le troisième chapitre est réservé à l’étude des super-algèbres associatives symétriques homogènes.

Dans la première section, nous montrons que toute super-algèbre associative à produit non-nul ne peut pas posséder simultanément une structure symétrique paire et une structure symétrique impaire. En particulier, dans la deuxième section, nous montrons que contrairement aux super- algèbres de Lie simples ([28], [34]), toutes les super-algèbres associatives simples possèdent des structures symétriques homogènes en donnant explicitement dans chaque cas la structure symétrique homogène. Dans la troisième section de ce chapitre, nous donnons une description inductive des super-algèbres associatives A := A^¯0⊕ A^¯1 avec des structures symétriques ho- mogènes telles que leurs parties paires sont desA^¯⁰-bimodules semi-simples. En particulier, dans le cas des super-algèbres associatives symétriques impaires dont les parties paires sont desA^¯0- bimodules semi-simples, nous donnons une description intéressante de ces super-algèbres sans utiliser les techniques de doubles extensions. Finalement, nous terminons ce chapitre par intro- duire la notion de la double extension généralisée des super-algèbres symétriques paires et celle des super-algèbres symétriques impaires dans le but de donner des descriptions inductives de ces deux types de super-algèbres.

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Introduction 5 Le quatrième chapitre consiste à étudier les super-algèbres associatives super-commutatives symétriques homogènes symplectiques homogènes. La double extension généralisée d’une super- algèbre associative super-commutative symétrique homogène par une super-algèbre de dimension 1 à produit nul est un cas particulier de la double extension généralisée d’une super-algèbre associative symétrique homogène introduite dans le chapitre précédent. Ce cas particulier va être très utile dans ce chapitre. Dans la première section, nous généralisons la double extension symplectique d’une algèbre associative commutative symplectique par l’algèbre de dimension 1 à produit nul introduite dans [11]. Ensuite, nous introduisons la double extension généralisée d’une super-algèbre associative super-commutative symplectique impaire par une super-algèbre de dimension 1 à produit nul. Nous utilisons ces doubles extensions afin de donner une description inductive des super-algèbres associatives super-commutatives symplectiques homogènes nilpotentes. Dans la deuxième section, nous nous intéressons à l’étude des super-algèbres associatives super-commutatives qui sont munies simultanément des structures symétriques homogènes et des structures symplectiques homogènes. Nous utilisons les résultats obtenus dans [11] et nous développons d’autres concepts de doubles extensions dans le but de donner une description inductive pour ce type de super-algèbres.

Nous étudions dans le cinquième chapitre les super-algèbres de Lie quadratiques homogènes symplectiques homogènes. Ce chapitre est constitué de trois sections. Dans la première section nous montrons que les seules super-algèbres de Lie qui possèdent simultanément des structures quadratiques paires et des structures quadratiques impaires sont les super-algèbres de Lie abéliennes.

Ensuite, nous donnons des contre-exemples qui montrent qu’il existe des super-algèbres de Lie non-abéliennes qui possèdent à la fois des structures symplectiques paires et des structures symplectiques impaires. Dans la deuxième section, nous généralisons au cas des super-algèbres de Lie symplectiques paires la double extension symplectique faite dans [4]. Ensuite nous introduisons le double extension (généralisée) symplectique impaire des super-algèbres de Lie symplectiques impaires dans le but de donner une description inductive des super-algèbres de Lie symplectiques homogènes nilpotentes. Finalement, dans la troixième section nous complétons l’étude des super- algèbres de Lie quadratiques homogènes symplectiques homogènes commencée dans [12].

Dans le sixième chapitre nous exploitons toutes les techniques de double extensions introduites dans les chapitres précédents afin de définir des double extensions généralisées des super-algèbres Poisson-admissibles quadratiques homogènes et/ou symplectiques homogènes. En utilisant ces nouvelles notions de double extensions, nous obtenons des descriptions inductives des super- algèbres Poisson-admissibles quadratiques homogènes symplectiques homogènes.

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Chapitre 1

G´ en´ eralit´ es

Dans ce chapitre, on regroupe quelques définitions et résultats sur les super-algèbres non associatives. Dans cette thèse, toutes les super-algèbres envisagées sont de dimensions finies sur un corpsKalgébriquement clos de caractéristique zéro.

Définition 1. UnK-espace vectoriel Γ-graduéV (où Γ représente l’anneau des entiers relatifs Zou l’anneau des entiers relatifs modulo 2,Z2=Z/2Z) est un espace vectoriel qui possède une famille (V^γ)_γ∈Γ de sous-espaces deV telle que

V =M

γ∈ΓV^γ.

Un élément v ∈ Vγ est dit homogène de degréγ. Dans la cas où V est un espace vectoriel Z2- gradué, les éléments deV^¯0 (resp. deV^¯1) sont dits pairs (resp. impairs).

Définition 2. Soient V et W deux K-espaces vectoriels Γ-gradués. Une application linéaire f :V −→ W est dite homogène de degréα(oùα∈Γ) si

f(V^γ)⊆ W^α+γ, ∀γ∈Γ.

f est dite aussi un homomorphisme homogène d’espaces vectoriels Γ-gradués de degré α et l’ensemble des homomorphismes homogènes deV dansW de degréαest notée (Hom(V,W))_α. Dans le cas où V=W,f est dite un endomorphisme homogène deV de degréα.

En particulier, si W = K, où K¯0 := K et K¯1 := {0}, alors V^∗ := Hom(V,K) est un espace vectorielZ2-gradué. Plus précisément,

Vα^∗:={f :V −→K; f(Vα+¯1) ={0}}, ∀α∈Z2.

Dans certains cas, on a besoin de changer la graduation d’un espace vectorielZ2-gradué. D’où la définition suivante.

6

(11)

Chapitre 1. Généralités 7 Définition 3. Soit V = V^¯0⊕ V^¯1 un espace vectoriel Z2-gradué. On note P(A) := W^¯0⊕ W^¯1

l’espace vectorielZ2-gradu´e tel que P(V) =V en tant qu’espaces vectorielsZ2-gradu´es et W^¯0:=V^¯1 et W^¯1:=V^¯0.

De plus, si l’on consid`ereV^∗ l’espace dual deV, alorsP(V^∗) =V^∗ en tant qu’espaces vectoriels Z2-gradu´es avec

W^¯0^∗=V^¯1^∗ et W^¯1^∗=V^¯0^∗.

Définition 4. ([34]) UneK-algèbre (A, .) est dite une algèbre Γ-gradué si l’espace vectoriel sous- jacent àAest un espace vectoriel Γ-gradué (c’est à direA=L

γ∈ΓA^γ, oùA^γ est un sous-espace vectoriel deA, ∀γ∈Γ) tel que Aα.Aβ ⊆ A^α+β, ∀α, β∈Γ. Une algèbreZ2-gradué est dite une super-algèbre.

Dans la suite, on considère A une super-algèbre. Un élément x∈ A est dit homogène si x ∈ A^¯0∪A^¯1. Les éléments considérés dans la suite seront homogènes. Dans le cas contraire, la mention non homogène sera spécifiée. Pour un élément homogènex, on utilise la notation standard|x|∈

Z2={¯0,¯1}pour indiquer son degré. Pour un élément homogènexdeA, on considère les deux applicationsLx etRxqui sont définies respectivement par

Lx(y) :=x.y et Rx:= (−1)^|x||y|y.x, ∀y∈ A^|y|

et qui sont appel´ees respectivement la multiplication gauche et la multiplication droite par x dansA.

Définition 5. Soient (A, .) une super-algèbre etHun sous-espace vectoriel deA. (i) Hest dit un sous-espace vectoriel gradué deAsiH= (H ∩ A^¯0)⊕(H ∩ A^¯1).

(ii) H est dit une sous-super-algèbre de A (où une sous-algèbre gradué de A) si H est un sous-espace vectoriel gradué tel que H.H ⊆ H.

(iii) Hest dit un idéal bilatère gradué deAsiHest un sous-espace vectoriel graduéAtel que H.A ⊆ H etA.H ⊆ H.

D´efinition 6. Soit (A, .) une super-alg`ebre.

(i) L’ensemble Ann(A) :=V ect{x∈ A, x.y=y.x= 0, ∀y∈ A} est un idéal bilatère gradué deAappelé l’annulateur deA.

(ii) L’ensemble [A,A] :=nP

f inie[x, y], x, y∈ Ao

, où [x, y] :=x.y−(−1)^|x||y|y.x, est un idéal bilatère gradué deA⁻ appelé l’algèbre de commutateur de A.

Définition 7. Soient (A, .) et (B,∗) deux super-algèbres. Un homomorphisme de super-algèbres f :A −→ B est un homomorphisme d’espaces vectorielsZ2-gradués de degré zéro qui satisfait

f(x.y) =f(x)∗f(y), ∀x, y∈ A.

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En outre, un isomorphisme de super-alg`ebres est un homomorphisme de super-alg`ebres bijectif.

1.1 Super-alg` ebres associatives

Définition 8. Soit (A, .) une algèbre associative. (A, .) est dite une algèbre associativeZ2-gradué (ou une super-algèbre associative) si l’espace vectoriel sous-jacent àAest un espace vectorielZ2- gradué tel queAα.Aβ⊆ A^α+β,∀α, β∈Z2. Remarquons que contrairement à une super-algèbre de Lie [34], une super-algèbre associative est une algèbre associative.

Exemple 1.1.1. Soient V =V^¯0⊕ V^¯1 un espace vectoriel Z2-gradu´e et Hom(V) l’ensemble de tous lesK-endomorphismes deV. Muni de laZ2-graduation d´efinie par

Hom(V)

α={f ∈Hom(V); f(Vβ)⊆ V^α+β, ∀β∈Z2}, ∀α∈Z2, Hom(V) est une super-alg`ebre associative.

Définition 9. Soient (A,∗) une super-algèbre associative,V un espace vectorielZ2-gradué etφ etψ deux applications bilinéaires définies par

φ:A × V −→ V ; φ(x, v) :=x.v et ψ:V × A −→ V ; ψ(v, x) :=v.x.

AlorsV est dit un bimodule deA(ou unA-bimodule) si

(x∗y).v =x.(y.v), (x.v).y=x.(v.y), (v.x).y=v.(x∗y), ∀x, y∈ A, v∈ V

Définition 10. Une représentation d’une super-algèbre associative (A,∗) dans un espace vec- torielZ2-graduéV est un couple (l, r) d’applications linéaires homogènes de degré zérol:A −→

End(V) etr:A −→End(V) tel que

l(x∗y) =l(x)l(y), r(x∗y) = (−1)^|x||y|r(y)r(x), l(x)r(y) = (−1)^|x||y|r(y)l(x), ∀x∈ A|x|, y∈ A|y|.

Soient A une super-algèbre associative et V un espace vectoriel Z2-gradué. Si (l, r) est une représentation de A dans V, alors on vérifie facilement que V est un A-bimodule, où φ : A × V −→ V définie par x.v =l(x)(v) et ψ: V × A −→ V définie parv.x = (−1)^|x||v|r(x)(v).

Réciproquement, si V est un A-bimodule, alors le couple (l, r) défini par l : A −→ End(V) ; l(x)(v) =x.v etr:A −→End(V) ;r(x)(v) = (−1)^|x||v|v.xest une représentation deAdansV.

Exemple 1.1.2. Soit (A,∗) une super-alg`ebre associative etA^∗ son espace dual.

(i) Aposs`ede une structure deA-bimodule au moyen de (L, R), o`u L:A −→End(A) ; L(x)(y) :=Lx(y) =x∗y,

R:A −→End(A) ; R(x)(y) :=Rx(y) = (−1)^|x||y|y∗x, ∀x∈ A^|x|, y∈ A^|y|.

(13)

Chapitre 1. Généralités 9 (ii) A^∗ possède une structure deA-bimodule au moyen de (L^∗, R^∗) où

L^∗:A −→End(A^∗) ; L^∗(x)(f) = (−1)^|f||x|f◦Rx,

R^∗:A −→End(A^∗) ; R^∗(x)(f) =f◦Lx, ∀x∈ A^|x|, f ∈ A^∗^|f|.

Définition 11. SoientA une super-algèbre associative etV et W deuxA-bimodules. Un morphisme deA-bimodules est une application linéaire Φ :V −→ W qui satisfait

Φ(v.x) = Φ(v).x et Φ(x.v) =x.Φ(v), ∀x∈ A, v∈ V.

1.1.1 Classification des super-alg` ebres associatives simples

Dans ce paragraphe, on rappelle la classification des super-algèbres associatives simples sur un corpsKde caractéristique différente de 2 obtenue dans [35]. Ensuite, on déduit la liste suivante des super-algèbres associatives simples sur un corps K algébriquement clos de caractéristique zéro qui a été donnée aussi dans [22].

(a)A=Mn(K), l’alg`ebre des matrices carr´ees d’ordrensurKtelle que : A^¯0=

( a 0 0 b

!

:a∈Mr(K), b∈Ms(K) )

,A^¯1=

( 0 c d 0

!

:c∈Mr×s(K), d∈Ms×r(K) )

, où r≥1,s≥0 etr+s=n. Cette super-algèbre est notéeMr,s(K).

(b) La sous super-alg`ebreA=A^¯0⊕ A^¯1 deMn,n(K) telle que : A^¯0=

(

˜

a:= a 0 0 a

!

:a∈Mn(K) )

,A^¯1= (

¯b:= 0 b b 0

!

:b∈Mn(K) )

. Cette super-alg`ebre est not´eeQn(K).

Définition 12. SoitAune super-algèbre associative etSun sous-espace vectoriel gradué deA. Le centralisateur deS dansAnoté par ˆCA(S) est la sous-super-algèbre deAdéfinie par

CˆA(S) :=V ectn

x∈ A|x|, xs= (−1)^|x||s|sx,∀s∈S_|s|o .

Si S∩ A^¯¹ = {0}, alors ˆCA(S) = CA(S), o`u CA(S) :=V ect{x∈ A, x.s=s.x, ∀s∈S} est le centralisateur deS dansAdans le sens usuel (non-gradu´e).

D´efinition 13. SoitAune K-super-alg`ebre associative.

(i) Aest dite centrale sur Ksi ˆZ(A) := ˆCA(A) =K.

(ii) Aest dite centrale simple surKsiAest centrale surKtelle que les seuls idéaux bilatères gradués deAsont{0}et A.

Il est clair que ˆZ(A) est différent de Z(A) := CA(A), le centre de A en tant qu’algèbre non- graduée. Cependant,Z(A) est aussi une sous-super-algèbre de Atelle que (Z(A))¯0= ( ˆZ(A))¯0.

(14)

On remarque que siA=A^¯0, alors on a ˆZ(A) =Z(A). Par conséquent, dans ce cas, les notions de super-algèbre centrale, super-algèbre simple et de super-algèbre centrale simple co¨ıncident respectivement avec les notions d’algèbre centrale, algèbre simple et algèbre centrale simple.

Définition 14. Soient (A, .) et (B,∗) deuxK-super-algèbres associatives. Le produit tensoriel graduéA⊗Bˆ deAetBest une super-algèbre associative telle que

(A⊗Bˆ )¯0:=A^¯0⊗Bˆ ^¯0⊕ A^¯1⊗Bˆ ^¯1, (A⊗Bˆ )¯1:=A^¯0⊗Bˆ ^¯1⊕ A^¯1⊗Bˆ ^¯0

(a⊗b)(a^′⊗b^′) = (−1)^|b||a

′|

a.a^′⊗b∗b^′, ∀a∈ A, a^′∈ A|a^′|, b∈ B|b|, b^′∈ B.

Théorème 1.1.3. ([29]) Soient (A, .) et (B,∗) deuxK-super-algèbres associatives et A^′ et B^′ deux sous-super-algèbres deAet Brespectivement, alors

(i) ˆC_A⊗Bˆ (A^′⊗Bˆ ^′) = ˆCA(A^′) ˆ⊗CˆB(B^′). En particulier, si A et B sont centrales sur K, alors A⊗Bˆ est centrale sur K.

(ii) SiAest centrale simple surKet Best simple, alorsA⊗Bˆ est simple.

(iii) SiAetBsont centrales simples surK, alorsA⊗Bˆ est centrale simple surK.

Preuve. On montre (i) par double inclusion. L’inclusion ” ⊇” est directe. Réciproquement, soient e un élément homogène de ˆC_A⊗Bˆ (A^′⊗Bˆ ^′) et {bi}1≤i≤n2 une base homogène de B. Par conséquent, on a :e=Pn2

i=1ai⊗bi, où aiest un élément homogène deAtel que

|ai|+|bi|≡|e| (mod 2), ∀i∈ {1,· · ·, n2}. (1.1) Par d´efinition dee, on a (a^′⊗1)e= (−1)^|e||a

′|

e(a^′⊗1) pour touta^′ élément homogène de A^′. En utilisant la condition (1.1), on obtient que a^′ai = (−1)^|a^′^||aⁱ^|aia^′, ∀i ∈ {1,· · ·, n2}. D’où, ai ∈ CÂ(A^′) et il s’ensuit que e ∈ CÂ(A^′) ˆ⊗B. Si maintenant on suppose que {αi}1≤i≤m est une base homogène de ˆCA(A^′), alorse=Pm

i=1αi⊗βi, où{βi}1≤i≤mest une famille d’éléments homogènes deB^′. En raisonnement de la même manière que ci-dessus, on déduit queβi∈CˆB(B^′) et par conséquent,e∈CÂ(A^′) ˆ⊗CˆB(B^′). D’où le résultat.

(ii) On suppose queIest un idéal bilatère gradué non-nul deA⊗Bˆ et on montre que 1_A⊗Bˆ ∈I.

Il est clair que tout élément homogènez deIest de la forme Xr

i=1

ai⊗bi, tel que pour touti on a ai∈ A|ai|, bi∈ B|bi| et |ai|+|bi|≡|z| (mod 2). (1.2)

Parmi les éléments homogènes non-nuls de I, on considère l’élément z qui satisfait l’équation (1.2) tel querest le plus petit entier possible. D’où, il s’ensuit que∀i∈ {1,· · ·, r},aiet bi sont des éléments non-nuls. D’abord, on a la famille{a1,· · · , ar} est linéairement indépendante car s’il existeki ∈Ktel que a1 =Ps

i=2kiai, où a1,· · ·, as sont des éléments homogènes de même degré, on obtient quez=Pr

i=1ai⊗bi =Ps

i=2ai⊗(kib1+bi) +Pr

i=s+1ai⊗bi. Ceci implique quezest un élément homogène non-nul deIqui est la somme der−1 termes. Ce qui contredit

(15)

Chapitre 1. Généralités 11 le choix de r. En appliquant le même raisonnement, on déduit que {b1,· · · , br} est aussi une famille linéairement indépendante. Ensuite, on cherche à trouver un élément homogène non-nul deI tel quea1⊗b1= 1⊗1. On vérifie facilement queAa1Aest un idéal bilatère gradué non-nul deA. CommeAest simple en tant qu’algèbre graduée, alors on aAa1A=A. Par conséquent, il existecj ∈ A|cj| etdj∈ A|dj|, oùj∈ {1,· · ·, n1}avecn1=dimA, tels que :Pn1

j=1cja1dj= 1.

cjzdj =cj( Xr i=1

ai⊗bi)dj = (cj⊗1)(

Xr i=1

ai⊗bi)(dj⊗1) = Xr i=1

(−1)^|d^j^||bⁱ^|cjaidj⊗bi, ∀j∈ {1,· · ·, n1}.

D’o`u

n1

X

j=1

(−1)^|b¹^||d^j^|cjzdj = 1⊗b1+ Xr i=2

a^′_i⊗bi,

o`u a^′_i := Pn1

j=1(−1)^|d^j^|(|bⁱ^|+|b¹^|)cjaidj. Si on notez1 := Pn1

j=1(−1)^|b¹^||d^j^|cjzdj, alors on déduit quez1est un élément homogène non-nul deItel quea1= 1. L’hors du passage dezàz1la famille {b1,· · · , br}n’a pas changé. Donc, en répétant le même procédure, on obtient un élémentz2ho- mogène non-nul deItel quez2:= 1⊗1 +Pr

i=2a^′_i⊗b^′_i. Maintenant, soita∈ A^|a|. Il est clair que az2−z2aest un élément homogène deI. D’autre part,az2−z2a=Pr

i=2(aa^′_i−(−1)^|a||b

′ i|

a^′_ia)⊗b^′_i. Par conséquent, on déduit que az2 =z2a, ∀a∈ A^|a|. Ceci implique que aa^′_i = (−1)^|a||a^′ⁱ^|a^′_iaet donca^′_i ∈Zˆ(A), pour touti. Le fait queAest centrale surK, implique quea^′_iest un scalaire pour tout i. Comme la famille {1, a^′₂,· · ·, a^′_r} est linéairement indépendante, on conclut que r = 1.

Ce qui ach`eve la d´emonstration de l’assertion (ii).

(iii) d´ecoule imm´ediatement de l’assertion (i) et l’assertion (ii).

Théorème 1.1.4. ([29]) SoientAet B deux super-algèbres associatives. S’il existez ∈ Z(A^¯0) tel quez²= 1 et zx=−xz ∀x∈ A^¯1, alors A⊗Bˆ et A ⊗ B sont isomorphes en tant qu’algèbres graduées.

Preuve. SoitB^′ = 1 ˆ⊗B^¯0+z⊗Bˆ ^¯1. Il est clair queB^′ est une sous-super-algèbre deA⊗Bˆ qui est isomorphe en tant qu’algèbre graduée àB au moyen deϕ:B −→ B^′ défini par

ϕ(b¯0+b¯1) = 1⊗b¯0+z⊗b¯1, ∀b¯0∈ B^¯0, b¯1∈ B^¯1.

D’autre part, à l’aide d’un calcul simple, on vérifie facilement queA ⊆Cˆ_A⊗Bˆ (B^′). Par conséquent, il s’ensuit que l’application linéaireφ:A ⊗ B −→ A⊗Bˆ ^′ définie parφ(a⊗b) := aϕ(b),∀a∈ A et b∈ B, est un homomorphisme de super-algèbres associatives. En outre,φ|A¯0⊗B¯0 =id|A¯0⊗B¯0, φ|A¯1⊗B¯0 =id|A¯1⊗B¯0, φ|A¯0⊗B¯1 =Lz|A¯0⊗B¯1 et φ|A¯1⊗B¯1 =−Lz|A¯1⊗B¯1. Comme Lz est une bijec- tion, on conclut queφest un isomorphisme de super-algèbres associatives.

Les exemples de super-algèbres associatives centrales simples donnés dans la suite, vont être très utiles dans la classification de ces super-algèbres.

Exemple 1 :Toute algèbre associativeAcentrale simple surKest une super-algèbre associative centrale simple surKnotée par (A), où (A)¯0=Aet (A)¯1={0}.

Exemple 2 :L’alg`ebre des matricesMn(K) est une super-alg`ebre centrale simple surK.

(16)

Rappelons que siLest une extension quadratique de K, alors il existea∈K\ {0}qui n’admet pas de racine carr´ee dansKtel que Lest isomorphe `a K(√a).

Exemple 3 : Soit L := K⊕zK, où z² = a ∈ K\ {0} une extension quadratique de K. En posant, L¯0 =Ket L¯1=zK, on vérifie facilement queL possède une structure de super-algèbre associative. De plus, le fait queLest un corps commutative, il s’ensuit queLest une super-algèbre associative centrale simple. En tant qu’une algèbre graduéeLest notée parK<√a >.

Soient a, b ∈K\ {0}. On définit l’algèbre des quaternions A= (â,b_K) sur Kcomme l’algèbre à deux générateursiet j avec les relations suivantes

i²=a, j²=b, ij =−ji.

Si on posek=ij, alors, on obtient quek² =−ab∈K\ {0}, ik=−kiet kj =−jk. Avec ces multiplications, il est clair que A= (^a,b_K ) est engendr´ee par{1, i, j, k} et que {1, i, j, k} est une base deA.

Exemple 4 : Toute algèbre des quaternions A = (â,b_K ) sur K est une super-algèbre centrale simple. En effet, considérons A^¯0 := K⊕kK et A^¯1 := iK⊕jK, on vérifie que A possède une structure de super-algèbre associative. En tant qu’algèbre graduée, A est notée par < â,b_K >.

Ensuite, on consid`ereB:=K⊕iKetC:=K⊕jK. Le fait queAet Bsoient isomorphes respectivement `aK<√a >etK<√

b >, il s’ensuit queAetBsont deux super-alg`ebres associatives centrales simples. Finalement, comme A ∼=B⊗Cˆ , on conclut queAest une super-alg`ebre associative centrale simple.

Lemme 1.1.5. ([29]) SoitAune super-algèbre associative simple telle queA^¯16={0}, alorsA^¯0= A²¯1. En outre, siIest un idéal bilatère non-nul deA^¯0, alorsA^¯0=I+A^¯1IA^¯1etA^¯1=IA^¯1+A^¯1I.

Preuve. La preuve consiste `a v´erifier queA^¯12

⊕ A^¯1 et (I+A^¯1IA^¯1)⊕(IA^¯1+A^¯1I) sont deux idéaux bilatères gradués non-nuls deA. D’où le résultat d’après la simplicité deA.

Lemme 1.1.6. ([29]) SoitAune super-algèbre associative simple telle queA^¯16={0}. Supposons queJ est un idéal bilatère non-gradué propre deA, alors les deux projections π0:J −→ A^¯0et π1:J −→ A^¯¹sont deux isomorphismes deA^¯⁰-bimodules.

Preuve. Le fait que A = A^¯0⊕ A^¯1 est une somme direct de deux A^¯0-bimodules, il s’ensuit qu’il existe deux projectionsπ0 :A −→ A^¯0 et π1 :A −→ A^¯0 telles que π_i² =πi, où i∈ {0,1} π¯0+π¯1=idAetπ¯0◦π¯1= 0. Soientx0∈ A^¯0 ety=y0+y1un élément deA, alors

πi(x0y) =πi(x0(y0+y1)) =πi(x0y0+x0y1) =x0yi=x0πi(y), πi(yx0) =πi((y0+y1)x0) =πi(y0x0+y1x0) =yix0=πi(y)x0, ∀i∈ {¯0,¯1}.

D’où, on en déduit queπ0 et π1 sont deux morphismes deA^¯0-bimodules. PosonsI =J∩ A^¯0. On vérifie facilement que I est un idéal bilatère de A^¯0. De plus I est nul car sinon, d’après le Lemma 1.1.5, on obtient que 1 ∈ A^¯⁰ = I +A^¯¹IA^¯¹ ⊂ J ce qui contredit le fait que J est propre. D’autre part, Posons I^′ =π0(J). En utilisant le fait que π0 est un morphisme de

(17)

Chapitre 1. Généralités 13 A^¯0-bimodules, on vérifie facilement que I^′ est un idéal bilatère de A^¯0. Il est clair, d’après la simplicité de Aen tant qu’algèbre graduée, queπ¯0(J)6=J∩ A^¯⁰. D’où, il s’ensuit queI^′6={0}. En appliquant de nouveau le Lemme 1.1.5, on obtient que A^¯0 = I^′ +A^¯1I^′A^¯1. Le fait que A^¯1idA(J)A^¯1=A^¯1(π0(J) +π1(J))A^¯1⊆J, il s’ensuit queA^¯1π0(J)A^¯1⊆π0(J) et par conséquent, on en déduit que I^′ = A^¯0. D’où, on a I = {0} et I^′ =A^¯0. Il s’ensuit que π0 et π1 sont deux isomorphismes deA^¯0-bimodules.

Proposition 1.1. ([29]) Soit A une super-algèbre associative simple. Si A n’est pas simple en tant qu’algèbre non-graduée, alors A^¯⁰ est une algèbre associative simple et A^¯¹ = A^¯⁰u où u∈ Z(A)∩ A^¯1 tel queu²= 1.

Preuve. Soit J un idéal bilatère propre non-gradué deA. Comme A^¯1 6={0}, alors d’après le Lemme1.1.6, il existe un unique élément deJ de la forme 1 +u, oùu∈ A^¯1. Le fait queJ est un idéal bilatère deA, implique queu(1 +u) =u+u²est aussi dansJ. D’autre part, il est clair que π¯1(u+u²) =π¯1(u+ 1). Par conséquent d’après le Lemme1.1.6, on déduit queu²= 1. Mainte- nant, on montre queu∈ Z(A). Pour z∈ A^¯0 (resp.z ∈ A^¯1), on aπ0(z(1 +u)) =π0((1 +u)z) (resp.π1(z(1 +u)) =π1((1 +u)z)). D’où, en appliquant de nouveau le Lemme1.1.6, il obtient que zu = uz et par conséquent u ∈ Z(A)∩ A^¯1. Soit x ∈ A^¯1, alors x = x.1 = x.u² ∈ A^¯0u.

D’où, il s’ensuit que A^¯1 = A^¯0u. Reste maintenant à vérifier que A^¯0 est simple. Soit I un idéal bilatère non nul de A^¯⁰. D’après le Lemme 1.1.5, on obtient que A^¯⁰ = I+A^¯¹IA^¯¹. Or A^¯1IA^¯1=A^¯0uIA^¯0u⊆ A^¯0uIu⊆Iu²=I. D’où, on conclut queI=A^¯0 et par conséquentA^¯0 est simple.

Corollaire 1.1.7. SoitAune super-alg`ebre associative centrale simple surKtelle queA^¯16={0}. SiZ¹:=Z(A)∩ A^¯1 est non nul, alors il existez1∈ Z¹\ {0} tel quez₁²6= 0.

Théorème 1.1.8. ([29]) SoientAune super-algèbre associative centrale simple surKtelle que A^¯16={0}etZ(A) =K⊕ Z¹oùZ¹=Z(A)∩ A^¯1. Alors,

(i) Z¹ = {0} si et seulement siA est une algèbre centrale simple sur K (en tant qu’algèbre non graduée).

(ii) Z¹6={0}si et seulement siA^¯0 est une alg`ebre centrale simple surK.

Preuve. (i) Il est évident que si A est une algèbre centre simple sur K, alors Z¹ = {0}. Réciproquement, supposons queZ¹={0}. Il est clair queAest centrale. Si de plusAn’est pas simple, alors d’après la Proposition1.1, on a A^¯1={0}. D’où la contradiction.

(ii) Supposons que Z¹ 6={0}. Par cons´equent, en appliquant le Corollaire 1.1.7, il existe z1 ∈ Z¹\ {0}tel quez₁²=a∈K\ {0}. CommeA^¯1=A^¯1a=A^¯1z²₁⊆ A^¯0z1, il s’ensuit queA^¯1=A^¯0z1

et par cons´equent pourx∈ Z(A^¯0) on a

xA^¯1=xA^¯0z1=A^¯0xz1=A^¯0z1x=A^¯1x.

D’o`u, x∈ Z(A) et il s’ensuit que Z(A^¯0)⊆ Z(A)∩ A^¯0 =K. Par cons´equent, A^¯0 est centrale sur K. Finalement, en utilisant le Lemme 1.1.5 et le fait que A^¯1 = A^¯0z1, on conclut que A^¯0

(18)

est simple. Réciproquement, supposons que Z¹ ={0}. D’après l’assertion (i) de ce théorème, il s’ensuit que Aest une algèbre associative non-graduée centrale simple sur K. Par conséquent, d’après le Corollaire 1.7 page 82 [29], on a C := CA(A^¯0) est une algèbre associative centrale simple sur K telle que A ∼= A^¯0⊗C en tant qu’algèbre non-graduée. D’où, C = C¯0⊕C¯1, où C¯0=Ket C¯16={0}. En appliquant le Lemme1.1.5, on obtient queC¯1²=C¯0=K. C’est à dire, il existe u, v ∈ C¯1 tels queuv 6= 0. Par conséquent, on aC¯1 =C¯11 = C¯1uv ⊆C¯0v =Kv et il s’ensuit que C=K⊕Kv est une algèbre associative commutative. Ceci contredit le fait que C est une algèbre centrale simple surK.

Définition 15. Soit A une super-algèbre associative centrale simple sur K tel que Z(A) = K⊕ Z¹, oùZ¹=Z(A)∩ A^¯1. On dit queAest une super-algèbre associative centrale simple sur Kde type pair (resp. impair) siZ¹={0} (resp.Z¹6={0}).

Dans le Théorème suivant, on étudie les super-algèbres associatives centrales simples sur Kde type impairs.

Théorème 1.1.9. ([29]) SiAune super-algèbre associative centrale simple surKde type impair, alors

(i) Z(A) =CA(A^¯0) =K⊕zK, oùz∈ Z¹etz²=a∈K\{0}.zest unique à une multiplication près etZ(A)∼=K<√a >en tant qu’algèbres graduées.

(ii) A ∼= (A^¯0) ˆ⊗K<√a >∼= (A^¯0)⊗K<√a >en tant qu’alg`ebres gradu´ees.

(iii) Sia /∈K²\ {0}, alorsAest une algèbre centrale simple surZ(A)∼=K(√a). D’autre part, sia∈K²\ {0}, alorsZ(A)∼=K×Ket A ∼=A^¯0× A^¯0 en tant qu’algèbres non-graduées.

Preuve. CommeZ¹6={0}, alors d’après le Lemme1.1.7, il existez∈ Z¹\ {0}tel quez²=aet A^¯1=A^¯0z, oùa∈K\ {0}. Par conséquent, on vérifie facilement que Z(A) =CA(A^¯0). D’autre part, on aZ(A) =K⊕ Z¹. Pour montrer queZ(A) =K⊕zK, il suffit de montrer l’unicité dez

à une multiplication près. Soity ∈ Z¹. Comme yz⁻¹ ∈ Z(A)∩ A^¯0=K, oùz⁻¹ est l’inverse de z dansZ¹, alors on ay∈Kz. Par conséquent,Z(A) =CA(A^¯0) =K⊕zK, oùz²=a∈K\ {0} et il s’ensuit queZ(A)∼=K<√a >. Ce qui achève la preuve de (i).

(ii) CommeA=A^¯0⊕ A^¯0z etZ(A) =K⊕zK, alors il est clair queA^¯0etZ(A) engendrentAet dimA=dimA^¯0⊗ Z(A). De plus, le fait queA^¯0commute avecZ(A) implique que l’application linéaire Φ :A^¯0⊗Z(A)−→ Adéfinie par Φ(a⊗b) =abest un isomorphisme d’algèbres associatives graduées. D’où,

A ∼= (A^¯⁰)⊗K<√

a >∼= (A^¯⁰) ˆ⊗K<√ a > .

(iii) Supposons quea /∈K²\ {0}. CommeZ(A) est centrale simple surZ(A) etA^¯⁰ est centrale simple surKen tant qu’algèbres, alors on obtient queA^¯0⊗ Z(A) est une algèbre centrale simple surZ(A). Supposons maintenant quea∈K²\ {0}. Dans ce cas, il existea^′ ∈Ktel que a=a^′2 et par conséquent on peut choisir z^′ ∈ Z¹ tel que z^′2 = 1. On considère l’application linéaire suivante Ψ :K⊕zK−→K×Kdéfinie par Ψ(1) = (1,1) et Ψ(z) = (1,−1). On vérifie facilement que Ψ est un isomorphisme d’algèbres. Par conséquent,

Z(A) ∼= K⊕zK ∼= K×K,

(19)

Chapitre 1. Généralités 15 et il s’ensuit que

A ∼=A^¯⁰⊗(K×K) ∼= A^¯⁰× A^¯⁰, en tant qu’alg`ebres non-gradu´ees.

D’après le Théorème1.1.9ci-dessus, on déduit que pour toute super-algèbre associative centrale simple surKde type impair on a dimA^¯0=dimA^¯1= ¹₂dimA. Cette situation n’est pas vrai, en général, dans le cas des super-algèbres associatives centrales simples sur Kde type pairs. D’où la difficulté d’étudier cette classe de super-algèbres associatives. Néanmoins, dans le Théorème 1.1.10 suivant, on étudie les super-algèbres associatives centrales simples sur K de type pairs dans un cadre plus facile et qui nous permet de déduire la classification des super-algèbres associatives centrales simples sur un corps Kalgébriquement clos et de caractéristique zéro. Avant cette étude, common¸cons par rappeler la notion ”d’involution principale” d’une super-algèbre.

Définition 16. Soient A=A^¯0⊕ A^¯1 une super-algèbre etν :A −→ Aun homomorphisme de Adéfini parν(x0+x1) =x0−x1,∀x0 ∈ A^¯⁰ et x1A^¯¹. On vérifie facilement queν est un auto- morphisme de super-algèbres de d’ordre 2 (sauf si A^¯1 ={0}). ν est dite l’involution principale deAet elle est uniquement déterminée par la propriétéν|A¯0 =id|A¯0 etν|A¯1=−id|A¯1.

Théorème 1.1.10. ([29]) SoitAune super-algèbre associative centrale simple de type pair telle que A^¯1 6= {0}. On suppose que A est isomorphe à Mn(D), où D est une algèbre de division centrale simple surK. Alors

(i) Z(A^¯0) = CA(A^¯0) et il existe z ∈ Z(A^¯0) tel que Z(A^¯0) = K⊕zK et z² = a∈ K\ {0}. L’élémentz est unique à une multiplication près.

(ii) Sia∈K²\ {0}, alorsZ(A^¯⁰)∼=K×Ket il existe un espace vectorielZ2-graduéV =V^¯⁰⊕ V^¯¹ tel que A ∼=End(V) ˆ⊗(D) en tant qu’algèbres graduées (laZ2-graduation de End(V) est définie dans l’exemple1.1.1). De plus,A^¯0∼=Mr(D)×Ms(D), oùr=dimV^¯0 ets=dimV^¯1. Preuve. Comme Z¹ = {0}, alors d’après l’assertion (i) du Théorème 1.1.8, on a A est une algèbre associative centrale simple sur K. Par conséquent, d’après le Théorème de Skolem- Noether [29], tous les endomorphismes deAsont des automorphismes intérieurs. Soitν l’involution principale deA. D’où, il existe un élément homogènezdeAinversible tel queν(x) =z⁻¹xz,

∀x ∈ A. En utilisant la définition de ν et le fait que ν|A¯0 = id|A¯0, on déduit facilement que z ∈ Z(A^¯0) et que CA(z) = A^¯0. Maintenant, soit x ∈ A tel que xy = yx, ∀y ∈ A^¯0. Comme z ∈ A^¯0, alors on a en particulier,xz=zx. D’où, x∈CA(z) = A^¯0. Par conséquent, on conclut queCA(A^¯0) =Z(A^¯0). Dans la suite, on montre queZ(A^¯0) =K⊕zK. Comme ν²=idA, alors z²∈ Z(A) =K. Ensuite, le fait quezest inversible implique que z²=a∈K\ {0}.

1er cas : Supposons quea /∈K²\ {0}et considérons L:=K<√a >=K⊕zKune extension quadratique de K. Le fait que L est simple implique, d’après la Proposition 1.6 page 82 [29], queCA(CA(L)) =L. Or CA(L) = V ect{x∈ A, xz=zx}=A^¯0. D’où, L=CA(A^¯0) =Z(A^¯0).

Maintenant pour montrer l’unicit´e dez, on suppose qu’il existey∈ A^¯0tel que{1, y}engendreL et quey²∈K\{0}. Siy=α+βzo`uα∈Ketβ ∈K\{0}, alors on obtient quey²=α²+aβ²+αβz.

Par cons´equentα= 0 et on d´eduit quey=βz.