Gaz de Bose en dimension deux : modes collectifs, superfluidité et piège annulaire

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Gaz de Bose en dimension deux : modes collectifs, superfluidité et piège annulaire

Camilla de Rossi

To cite this version:

Camilla de Rossi. Gaz de Bose en dimension deux : modes collectifs, superfluidité et piège annulaire.

Physique [physics]. Laboratoire de Physique des Lasers, Université Paris 13, 2016. Français. �tel-

01420085�

UNIVERSIT´ E PARIS 13, SORBONNE PARIS CIT´ E INSTITUT GALILEE

LABORATOIRE DE PHYSIQUE DES LASERS

Th` ese pr´ esent´ ee par

Camilla De Rossi

Pour obtenir le grade de

Docteur de l’Universit´ e Paris 13, Sorbonne Paris Cit´ e

Sujet :

Gaz de Bose en dimension deux : modes collectifs, superfluidit´ e et pi` ege annulaire

Soutenue le 24 novembre 2016 devant le jury compos´ e de : M. Thomas BOURDEL Rapporteur

M. Jean-Claude GARREAU Rapporteur Mme Anne AMY KLEIN Examinatrice Mme Agn` es MAITRE Examinatrice M. J´ erˆ ome BEUGNON Examinateur

Mme H´ el` ene PERRIN Directrice de th` ese

Table des mati` eres

Remerciements 7

Introduction 9

1 Gaz de Bose en dimension deux 15

1.1 La condensation de Bose-Einstein . . . . 16

1.1.1 Crit` eres pour la condensation . . . . 16

1.1.2 Gaz parfait bidimensionnel . . . . 18

1.1.3 Prise en compte des interactions . . . . 21

1.2 R´ ealisation exp´ erimentale et r´ egime quasi 2-D . . . . 21

1.2.1 Potentiel delta . . . . 22

1.2.2 Invariance d’´ echelle de l’´ equation d’´ etat . . . . 22

1.3 Description en champ moyen du condensat . . . . 23

1.3.1 Equation de Gross-Pitaevskii stationnaire ´ . . . . 24

1.3.2 GPE d´ ependant du temps . . . . 27

1.3.3 M´ ethode de Bogoliubov . . . . 28

1.4 Modes collectifs . . . . 29

1.4.1 Pi` ege isotrope et modes collectifs quantifi´ es . . . . 29

1.4.2 Pi` ege ` a sym´ etrie cylindrique . . . . 30

1.5 Transition BKT . . . . 31

1.5.1 Saut universel de la densit´ e superfluide . . . . 31

1.5.2 Crit` ere de Landau pour la superfluidit´ e . . . . 32

1.6 Gaz en rotation dans un anneau . . . . 32

1.6.1 Atome unique dans un anneau . . . . 33

1.6.2 Deux crit` eres de superfluidit´ e . . . . 34

1.6.3 Quantification de la circulation et mesures de l . . . . 35

2 Production du gaz 2D 39 2.1 Syst` eme des lasers . . . . 39

2.1.1 Laser doubl´ e . . . . 40

2.1.2 Laser ` a cavit´ e ´ etendue . . . . 40

4 TABLE DES MATI` ERES

2.1.3 Diodes laser . . . . 40

2.1.4 Laser Azur Light System . . . . 42

2.1.5 Laser Verdi . . . . 42

2.2 S´ equence exp´ erimentale . . . . 42

2.2.1 Pi` ege magn´ eto-optique 2D . . . . 42

2.2.2 Pi` ege magn´ eto-optique 3D . . . . 43

2.2.3 Transport magn´ etique . . . . 44

2.2.4 Pi` ege quadrupolaire bouch´ e . . . . 45

2.2.5 Evaporation radio-fr´ ´ equence . . . . 46

2.2.6 Pi` ege habill´ e . . . . 47

2.2.7 Compression . . . . 52

2.2.8 D´ etection du nuage . . . . 53

2.3 Syst` eme d’imagerie horizontale . . . . 53

2.4 Syst` eme d’imagerie verticale . . . . 53

2.5 Fr´ equences d’oscillation dans le pi` ege habill´ e . . . . 55

2.5.1 Fr´ equences horizontales . . . . 55

2.5.2 Fr´ equence verticale . . . . 55

2.5.3 Mesure de la fr´ equence de Rabi . . . . 56

3 Modes collectifs d’un gaz 2D 57 3.1 Introduction . . . . 57

3.2 Analyse en composantes principales . . . . 58

3.2.1 Principe de la m´ ethode . . . . 58

3.3 Pr´ eparation du gaz . . . . 60

3.3.1 Analyse du bruit . . . . 60

3.3.2 Excitation du nuage et analyse des modes . . . . 60

3.3.3 Oscillations des poids de chaque PC . . . . 62

3.4 Composantes principales et modes de Bogoliubov . . . . 64

3.5 Simulations num´ eriques . . . . 67

3.6 Conclusion . . . . 69

3.7 Annexe : simulations num´ eriques . . . . 69

4 Mode ciseaux et superfluidit´ e 71 4.1 Introduction . . . . 71

4.2 Pi` ege anisotrope et mode ciseaux . . . . 72

4.2.1 Oscillation de la fraction superfluide . . . . 72

4.2.2 Oscillation de la fraction normale . . . . 73

4.3 Le mod` ele adopt´ e dans notre exp´ erience . . . . 74

4.4 R´ ealisation exp´ erimentale . . . . 75

4.4.1 Excitation du mode ciseaux . . . . 76

4.4.2 R´ egime quasi-2D . . . . 76

4.4.3 Potentiel chimique r´ eduit . . . . 77

4.4.4 Potentiel chimique et temp´ erature avant excitation . . . . 77

4.4.5 Excitation du nuage et prise des images . . . . 77

4.5 Analyse des donn´ ees . . . . 78

TABLE DES MATI` ERES 5

4.5.1 Calcul de la moyenne et m´ ethode d’ajustement . . . . 78

4.5.2 Moyenne calcul´ ee sur le nuage entier . . . . 79

4.5.3 Analyse de la moyenne locale . . . . 81

4.5.4 Comparaison avec l’exp´ erience de Desbuquois et al. . . . . 87

4.6 Conclusions . . . . 88

5 R´ ealisation d’un pi` ege annulaire 89 5.1 Description du pi` ege . . . . 90

5.1.1 Transfert des atomes dans l’anneau . . . . 90

5.1.2 Rayon de l’anneau . . . . 91

5.1.3 Fr´ equences d’oscillation . . . . 92

5.1.4 Dimensions restreintes . . . . 92

5.2 La double nappe de lumi` ere . . . . 93

5.2.1 Mod´ elisation de la nappe . . . . 94

5.2.2 Proc´ edure d’alignement . . . . 98

5.3 Focalisation de la nappe . . . 101

5.4 Mise en rotation des atomes . . . 101

5.4.1 Touillette laser . . . 103

5.4.2 Impression de phase : l’h´ elice d’intensit´ e . . . 104

5.4.3 Transfert Raman de moment cin´ etique orbital . . . 105

5.5 Le SLM . . . 106

5.5.1 G´ en´ eralit´ es sur le SLM ` a cristaux liquides . . . 106

5.5.2 Caract´ erisation technique du SLM . . . 108

5.5.3 Mise en forme d’un faisceau Laguerre-Gauss . . . 113

5.5.4 R´ eduction de la r´ esolution . . . 115

5.5.5 Regularit´ e au sommet d’un LG . . . 115

5.5.6 Fabrication de l’h´ elice d’intensit´ e . . . 115

5.6 Conclusions . . . 120

Conclusion 123 Annexes A D´ etection du nuage 125 A.1 Introduction . . . 125

A.1.1 Imagerie par absorption d’un nuage dilu´ e . . . 126

A.1.2 Imagerie par absorption d’un nuage dense . . . 126

A.2 Imagerie par absorption avec une cam´ era CCD . . . 128

A.2.1 Calibration du grandissement . . . 130

A.2.2 Mise au point de la cam´ era selon l’axe vertical . . . 131

A.2.3 Calibration de la conversion photons/coup . . . 131

A.2.4 Calibration du param` etre alpha . . . 133

A.2.5 Conditions pour l’impulsion sonde . . . 136

6 TABLE DES MATI` ERES

Bibliographie 139

Remerciements

Les r´ esultats pr´ esent´ es dans cette th` ese sont en premier le fruit d’un travail d’´ equipe, mais aussi des interactions avec les autres coll` egues, les amis et la famille, que je souhaite ici remercier.

Je commence par remercier ma directrice de th` ese H´ el` ene Perrin, pour m’avoir ac- cueillie dans son ´ equipe en tant que doctorante. En plus qu’une brillante chercheuse, elle poss` ede des capacit´ es p´ edagogiques remarquables, beaucoup de patience, une m´ e- moire d’´ el´ ephant et une rigueur incomparables. Je suis pleine de gratitude envers elle pour son encouragement dans les moments d’h´ esitation et pour son regard toujours bienveillant envers moi.

Je remercie Jean-Claude Garreau et Thomas Bourdel, pour avoir accept´ e d’ˆ etre rap- porteurs de ce manuscrit, ainsi que Anne Amy-Klein, Ang` es Maˆıtre et Jerˆ ome Beugnon pour leur pr´ esence en tant qu’examinateurs. En particulier je tiens ` a exprimer ma gra- titude Agn` es, qui ´ etait responsable du Master 2 que j’ai fait, pour son humanit´ e, sa disponibilit´ e et son suivi lors du choix des th` eses.

C’´ etait un vrai plaisir de partager ces trois ans avec tous les autres membres de l’´ equipe. Merci ` a Laurent Longchambon pour son temps pass´ e avec moi sur l’exp´ e- rience, pour sa patience, ses qualit´ es p´ edagogiques et sa capacit´ e de mettre la bonne ambiance ` a table. ` A Thomas Badr, qui s’est souvent inqui´ et´ e pour moi, pour sa dis- ponibilit´ e, sa rigueur et sa pr´ ecieuse contribution en manip. Un merci et une bonne continuation ` a Mathieu de Go¨er, qui a pris le relais sur l’exp´erience ` a une vitesse sur- prenante, et qui est toujours prˆ et ` a s’embarquer dans des grandes discussions. Romain Dubessy m´ eriterait mˆ eme plus que des remerciements, pour sa contribution significa- tive ` a l’exp´ erience, toutes les id´ ees qu’il a apport´ ees, son efficacit´ e...et pour ses blagues ! Enfin un grand merci aussi ` a Aur´ elien Perrin, pour sa contribution ` a l’exp´ erience et pour les nombreuses conversations ` a table, toujours enrichissantes, pour son ouverture d’esprit, sa bienveillance et son savoir ´ ecouter. Je souhaite enfin une tr` es bonne ann´ ee

`

a Avinash, nouveau arriv´ e en tant que post-doctorant dans l’´ equipe.

Ces r´ esultats ont ´ et´ e ´ egalement le produit de la collaboration fructueuse de notre

´

equipe avec Maxim Olshanii et Barry Garraway, que je souhaite ici remercier.

Au del` a des membres l’´ equipe, je tiens ` a exprimer ma gratitude ` a tous les membres

du laboratoire, aux techniciens, en particulier ` a Fabrice Wiotte, avec qui j’ai le plus

8 Remerciements

eu occasion d’interagir, pour sa disponibilit´ e et ses comp´ etences en ´ electronique, au personnel administratif, Solen Guezennec, Maryse Medina et Carole Grangier, dont le soutien a ´ et´ e indispensable, et au directeur Olivier Gorceix pour son implication. Je souhaite ´ egalement remercier les personnes que j’ai pu cˆ otoyer conf´ erences, s´ eminaires et pots, Bruno, Franck, Paolo et les autres doctorants et permanents.

Enfin je tiens ` a remercier ma famille, ma sœur Tullia et mon fr` ere Guido, et tous mes amis. ` A Giulia, pour ces cinq ann´ ees de soutien et sorties, ` a Rita pour se bons plans et pour nous avoir appris la couture, ` a Joseba, le bon-vivant, ` a qui je souhaite bonne chance pour demain, ` a l’esprit libre et ` a la trompette de Lolli et Dudo, ` a Roberto et Annasilvia qui me font sentir ` a la maison, ` a Louise pour les sorties culturelles, ` a Marco qui fait une super bonne (et graisse) cuisine, au coloc Mattia pour ne pas encore avoir tu´ e l’ortie g´ eante qui pousse dans la salle ` a manger, et ` a tous ceux qui sont partis de Paris avant moi, Nico, Marzia, Fede, Martino, Vito, Valerio, Giulio e Silvia. Merci

´

egalement aux amis du M2, ceux de La Sapienza, et ceux de toujours, Nicola, Enrica,

et Rosa and her sisters en particulier, pour toutes ces ann´ ees d’´ ecoute et de partage !

Enfin merci a Fred, pour tous les jours qu’on a pass´ e ensemble, et pour son soutien ces

derni` eres semaines !

Introduction

Les gaz quantiques constituent un domaine de la physique qui a connu un important d´ eveloppement ces vingt derni` eres ann´ ees, ` a partir du moment o` u les condensats de Bose-Einstein ont ´ et´ e observ´ es pour la premi` ere fois, en 1995 [1, 2].

Le param` etre pertinent pour donner une d´ efinition de gaz quantique est la lon- gueur d’onde de de Broglie λ

, proportionnelle ` a T

. Les premiers effets quantiques apparaissent lorsque λ

devient plus grande que la port´ ee des interactions r

, tout en restant petite par rapport ` a la distance interatomique n

. Les collisions entre atomes doivent ˆ etre trait´ ees d’un point de vue quantique et des effets li´ es ` a l’indiscernabilit´ e des particules commencent ` a apparaˆıtre. La situation o` u λ

devient beaucoup plus grande que n

avait ´ et´ e consid´ er´ ee d´ ej` a en 1924 par Einstein. En ´ elargissant aux atomes la mani` ere de compter les ´ etats microscopiques qui correspondent ` a un ´ etat macrosco- pique donn´ e, introduite par Bose dans le cas des photons, il pr´ edit qu’en dessous d’une certaine temp´ erature critique T

un nombre macroscopique d’atomes occupent l’´ etat fondamental du r´ ecipient qui les contient. Le calcul d’Einstein montra que la condition T < T

est ´ equivalente ` a λ

> n

.

Le travail d’Einstein fut invoqu´ e en 1937 par London [3] pour interpr´ eter la tran- sition de phase de l’h´ elium liquide vers l’´ etat superfluide, en dessous de 2.17 K. Il remarqua que cette temp´ erature est tr` es proche de la temp´ erature critique de conden- sation d’un gaz parfait de mˆ eme densit´ e, ce qui sugg´ era que les deux ph´ enom` enes sont li´ es.

Le d´ eveloppement des techniques de refroidissement laser, en premier sur des ions [4, 5], plus tard sur des atomes neutres [6], qui s’est fait en parall` ele avec le d´ eveloppement des techniques de pi´ egeage magn´ etique [7], puis optique [8], ont abouti ` a la r´ ealisation du pi` ege magn´ eto-optique [9]. Cela a valu le prix Nobel de physique en 1997 ` a Claude Cohen Tannoudji, Steven Chu et William D. Phillips et a jou´ e un rˆ ole d´ ecisif dans la quˆ ete de la condensation, qui a ´ et´ e observ´ ee pour la premi` ere fois dans des syst` emes gazeux en 1995 [1, 2]. Le prix Nobel pour la realisation des premiers condensats de Bose-Einstein a ´ et´ e remis en 2001 ` a W. Ketterle, E. Cornell et C. Wieman.

A partir de ce moment, le domaine des atomes froids a connu un important d´ ` e-

veloppement. Dans les ann´ ees qui ont suivi ont ´ et´ e ´ etudi´ es les propri´ et´ es statiques et

dynamiques, leur degr´ e de coh´ erence et l’importance des interactions a ´ et´ e mise en ´ evi-

10 Introduction

dence [10]. L’utilisation de potentiels de pi´ egeage modul´ es spatialement et contrˆ olables a permis d’explorer des mod` eles tr` es vari´ es. Par exemple les r´ eseaux optiques [11], cr´ e´ es par des ondes stationnaires form´ ees avec des faisceaux tr` es d´ esaccord´ es selon une ou plusieurs direction de l’espace, qui contraignent les atomes ` a se r´ epartir de fa¸con p´ erio- dique, comme les ´ electrons dans un solide, ont permis la r´ ealisation exp´ erimentale d’un mod` ele fondamental dans la physique de l’´ etat solide : le hamiltonien de Hubbard [12].

Cette correspondance entre les atomes dans un potentiel optique et les ´ electrons dans un solide repr´ esente la r´ ealisation du concept de simulateur quantique, introduit par Feynman en 1982 [13]. Un simulateur quantique est un syst` eme simple qui r´ ealise un hamiltonien tr` es difficile ` a calculer, et qui fournit les grandeurs d’int´ erˆ et ` a travers une simple mesure, permettant ainsi de mieux comprendre des ph´ enom` enes de physique ` a N corps, comme par exemple la supraconductivit´ e ` a haute temp´ erature, ` a travers l’´ etude de la superfluidit´ e, ou l’effet Hall quantique fractionnaire. Il est ´ egalement possible de r´ ealiser l’analogue d’un SQUID [14, 15, 16] (Superconducting QUantum Interference Device. Dans la physique de l’´ etat solide, il s’agit d’un magn´ etom` etre utilis´ e pour me- surer des champs magn´ etiques tr` es faibles, constitu´ e de deux jonctions Josephson en parall` ele dans une boucle supraconductrice).

Dans l’´ etude des condensats gazeux un probl` eme important concerne la prise en compte des interactions entre particules. Les syst` emes dilu´ es sont naturellement fai- blement interagissant, et cela se prˆ ete bien ` a une description de champ moyen. Avec une approche variationnelle il est possible de trouver la fonction d’onde qui approxime le mieux l’´ etat fondamental de N atomes comme produit de N fonctions d’onde iden- tiques ` a une particule. Chacune de ces fonctions d’onde ob´ eit ` a une ´ equation de type Schr¨ odinger, appel´ ee ´ equation de Gross-Pitaevskii, d´ ecrivant l’´ evolution de chaque atome dans le champ moyen cr´ e´ e par les N − 1 autres atomes. Cette ´ equation per- met de d´ ecrire de nombreuses propri´ et´ es du condensat et prend une forme simple dans la limite de Thomas-Fermi.

Les premi` eres exp´ eriences avec des condensats se sont faites dans le cadre de l’ap- proximation de champ moyen et ont eu pour objectif la d´ emonstration de la nature ondulatoire du condensat, ` a travers des exp´ eriences d’interf´ erence [17], et de la coh´ e- rence ` a longue port´ ee [18], qui a men´ e ` a la r´ ealisation d’un laser ` a atomes [19, 20, 21].

La formulation d´ ependant du temps de l’´ equation de Gross-Pitaevskii peut se r´ e´ ecrire sous la forme d’´ equations hydrodynamiques pour un superfluide. Cela permet de d´ e- crire les excitations ´ el´ ementaires sous la forme de modes normaux de vibration, dont l’´ energie varie de mani` ere continue. Les premi` eres ´ etudes sur des modes collectifs ont commenc´ e en 1996 dans les ´ equipes de Cornell [22] et Ketterle [23], o` u ils ont mesur´ e les oscillations de taille d’un condensat en forme de disque et de cigare respectivement, obtenant des r´ esultats coh´ erents avec les pr´ edictions hydrodynamiques des superfluides.

Plus tard l’´ equipe de Ketterle a montr´ e une diff´ erence de la r´ eponse aux excitations collectives d’un gaz thermique par rapport ` a un condensat [24]. L’observation du mode ciseaux a permis de mettre en ´ evidence le caract` ere superfluide d’un condensat tridi- mensionnel [25, 26].

Pour aller au-del` a de la description de l’´ etat fondamental, la m´ ethode de Bogoliubov

fournit une description plus ´ elabor´ ee pour un gaz d’atomes en interactions faibles. Elle

Introduction 11

permet de trouver l’´ etat fondamental et les premiers ´ etats excit´ es. L’´ energie de ces excitations est quantifi´ ee et la connaissance de leur spectre permet de comprendre par exemple le comportement superfluide du gaz. En effet le spectre peut ˆ etre tel qu’une perturbation externe qui se d´ eplace dans le gaz ne peut pas cr´ eer une excitation ´ el´ emen- taire, parce que les conditions de conservation de l’´ energie et de l’impulsion ne sont pas satisfaites. L’impossibilit´ e d’un tel transfert d’excitation d´ efinit le crit` ere de Landau et explique des propri´ et´ es de superfluidit´ e. Un premier exemple qui illustre cette propri´ et´ e est l’absence de chauffage lorsque une impuret´ e mobile traverse un gaz homog` ene avec une vitesse inf´ erieure ` a la vitesse du son. Aucun frottement n’est pr´ esent entre le d´ e- faut et le fluide : ce dernier a une viscosit´ e nulle. Un autre exemple peut ˆ etre donn´ e en consid´ erant un condensat dans un r´ ecipient en rotation avec une vitesse angulaire Ω. Si Ω est inf´ erieure ` a une certaine vitesse critique Ω

aucune excitation ´ el´ ementaire ne peut ˆ etre cr´ e´ ee par les parois du r´ ecipient. Le condensat reste au repos et aucun moment cin´ etique ne lui est communiqu´ e. Le caract` ere superfluide d’un condensat a ´ et´ e prouv´ e en dimension trois ` a travers l’existence d’une vitesse critique [27] et ` a travers l’observation de vortex quantifi´ es [28, 29], puis de leur arrangement dans un r´ eseau d’Abrikosov [30].

Pour ´ etudier la superfluidit´ e d’un gaz quantique une g´ eom´ etrie « naturelle » est la g´ eom´ etrie annulaire. Comme dans un vortex la densit´ e s’annule au centre et en par- courant l’anneau le moment cin´ etique de la fonction d’onde est quantifi´ ee en unit´ es de

~ sur chaque tour. Le supercourant qui en r´ esulte a ´ et´ e observ´ e dans des supraconduc- teurs [31], dans l’h´ elium liquide [32, 33], et dans des gaz ultrafroids [34, 35, 36]. Sa m´ e- tastabilit´ e et les effets de la dissipation ont ´ et´ e ´ etudi´ es par le groupe de Hadzibabic [36]

et de Campbell [37]. Les supercourants dans un condensat peuvent ˆ etre cr´ e´ es de ma- ni` ere d´ eterministe en faisant tourner un d´ efaut [16] ou en communiquant du moment cin´ etique aux atomes ` a l’aide d’un laser [34, 36, 38]. Dans une exp´ erience r´ ecente [39, 40]

la charge et la direction d’un supercourant ont ´ et´ e mesur´ ees par interf´ erence entre l’an- neau et un disque central de r´ ef´ erence. Un tel syst` eme pourrait ˆ etre utilis´ e pour r´ ealiser un gyrom` etre [38] et l’id´ eal serait de pouvoir ajuster le rayon de l’anneau [41, 42]. En effet un anneau de grand diam` etre [43, 44, 45] est souhaitable pour mener des exp´ e- riences de mesure interf´ erom´ etriques de rotation [46], la sensibilit´ e de l’interf´ erom` etre

´

etant proportionnelle ` a son aire. Un anneau de petit diam` etre est plus adapt´ e ` a l’ob- servation de vortex de charge multiple [34] et facilite le maintien de la coh´ erence tout autour.

L’utilisation de potentiels de pi´ egeage qui compriment tr` es fortement le gaz dans une ou plusieurs directions (i, j) permet d’explorer la physique des dimensions r´ eduites.

Les degr´ es de libert´ e i (et j) sont alors gel´ es et la fonction d’onde du condensat s’´ ecrit comme le produit de l’´ etat fondamental selon la direction i (et j) par une fonction d’onde Thomas-Fermi dans la ou les autres directions, avec un param` etre d’interaction g renormalis´ e.

A trois dimensions la superfluidit´ ` e et la condensation de Bose-Einstein sont stric-

tement li´ ees, mais cela n’est pas le cas en dimensions restreintes. En effet, stricto

sensu, la condensation de Bose-Einstein n’apparaˆıt pas en dimension 1 ou 2, dans

un syst` eme homog` ene et ` a la limite thermodynamique. En revanche, V. Bagnato et

12 Introduction

D. Kleppner ont montr´ e en 1991 [47] que l’on retrouve le ph´ enom` ene de condensation si les atomes sont confin´ es dans un pi` ege harmonique. Cependant, la physique est no- tablement diff´ erente en dimensions restreintes. Par exemple la pr´ esence d’interactions dans un syst` eme bidimensionnel fait apparaˆıtre une transition vers l’´ etat superfluide, mˆ eme en l’absence de condensation. La th´ eorie de cette transition a ´ et´ e d´ evelopp´ ee par Kosterlitz et Thouless [48], qui ont re¸cu cette ann´ ee 2016 le prix Nobel de physique, et Berezinskii [49]. Les premiers syst` emes poss´ edant une fraction superfluide non nulle qui ont ´ et´ e ´ etudi´ es sont les film d’h´ elium [50]. En 1978 Rudnick [51] donna une premi` ere estimation du saut de la densit´ e superfluide ` a la transition BKT, suivie d’une mesure sur un syst` eme de films d’h´ elium 2D adsorb´ es sur un substrat plastique oscillant r´ eali- s´ ee par Bishop et Reppy [52]. Dans les gaz froids la premi` ere observation exp´ erimentale a ´ et´ e faite par le groupe de Dalibard en 2006 [53]. En faisant interf´ erer deux nuages quasi-2D ils ont montr´ e que la prolif´ eration de vortex libres et l’extinction d’ordre ` a quasi-longue port´ ee apparaissent au-dessus d’une mˆ eme temp´ erature critique. Des me- sures de la coh´ erence autour de la transition BKT ont ´ et´ e rapport´ ees par plusieurs

´

equipes, par interf´ erence [53, 54, 55] et apr` es temps de vol [56]. Une observation de la superfluidit´ e en termes de r´ esistance ` a la mise en mouvement a ´ et´ e rapport´ ee en 2012 par l’´ equipe de J. Dalibard en faisant tourner un d´ efaut localis´ e dans le nuage [57].

Ce manuscrit porte essentiellement sur l’´ etude des modes collectifs dans un gaz de bosons en dimension deux et sur la r´ ealisation d’un montage pour pi´ eger les atomes dans une g´ eom´ etrie annulaire. Une ´ etude des modes collectifs, avait d´ ej` a ´ et´ e effectu´ e dans le cadre la th` ese de K. Merloti, soutenue en 2013 [58], mais nous introduisons ici une nouvelle m´ ethode d’analyse, appel´ ee Principal Component Analysis. Ensuite je me focaliserai sur un mode propre en particulier, le mode ciseaux, d´ ej` a utilis´ e auparavant pour sonder le caract` ere superfluide d’un gaz en dimension trois [25, 59, 26]. En effet la r´ eponse du gaz ` a une excitation de type ciseau change suivant la nature du gaz, et un changement de la fr´ equence de ce mode peut ˆ etre utilis´ e pour sonder la transition de la phase normale ` a la phase superfluide. L’´ etude des m´ ecanismes de mise en place et dissipation d’un supercourant dans un anneau est l’un des objectifs principaux de notre exp´ erience. Pour cela la r´ ealisation d’un pi` ege en anneau repr´ esente l’autre partie de mon travail de th` ese.

Le plan de ce manuscrit s’articule de la mani` ere suivante.

— Dans le premier chapitre j’introduis les outils th´ eoriques n´ ecessaires pour la com- pr´ ehension des travaux de cette th` ese. Je traite la condensation de Bose-Einstein d’un gaz confin´ e en dimensions deux, suivie de la description en champ moyen du syst` eme dilu´ e en pr´ esence d’interactions par l’´ equation de Gross-Pitaevskii.

Cette description est reli´ ee aux ´ equations hydrodynamiques d’un superfluide et la notion de vortex est introduite. Je traite ensuite du r´ egime quasi-2D d’un gaz tr` es confin´ e dans une direction de l’espace et de la transition BKT qui peut se produire dans ce gaz vers le r´ egime superfluide. Apr` es avoir caract´ eris´ e cette tran- sition, je discute de la possibilit´ e de la d´ etecter par l’´ etude des modes collectifs dans un gaz d´ eg´ en´ er´ e en dimension deux.

— Le chapitre 2 contient une description g´ en´ erale du montage exp´ erimental. Je

pr´ esente d’abord les sources laser, ensuite les diff´ erents ´ el´ ements ` a partir de la

Introduction 13

source d’atomes, un pi` ege magn´ eto-optique 2D, puis l’enceinte octogonale, o` u l’on produit le pi` ege magn´ eto-optique 3D et la cellule science, o` u la condensation a lieu. Enfin, je parle des deux syst` emes d’imagerie par absorption des atomes qui permettent d’observer le nuage in situ ou apr` es temps de vol.

— Le chapitre 3 est d´ edi´ e ` a l’analyse des modes collectifs du gaz ` a travers une d´ ecomposition en composantes principales. Nous avons en effet montr´ e que ces derni` eres co¨ıncident avec les modes de Bogoliubov.

— Le chapitre 4 est consacr´ e ` a une analyse locale du mode ciseaux, utilis´ e pour sonder la transition vers l’´ etat superfluide dans le gaz.

— Le chapitre 5 est consacr´ e ` a la r´ ealisation d’un pi` ege en anneau, obtenu en su- perposant au pi` ege pr´ ec´ edemment d´ ecrit un potentiel optique en forme de double nappe.

Une conclusion g´ en´ erale et une discussion des perspectives clˆ oturent le manuscrit.

Chapitre 1

Gaz de Bose en dimension deux

Le but de ce chapitre est de rappeler les notions th´ eoriques n´ ecessaires pour com- prendre les enjeux de nos travaux, sans pr´ etention d’exhaustivit´ e. Un panorama des connaissances actuelles de la physique des gaz bidimensionnels (2D) est donn´ e dans la revue [60], et le cours de J. Dalibard tenu au coll` ege de France en 2016 [61] est consacr´ e enti` erement ` a l’´ etude des propri´ et´ es de coh´ erence et de superfluidit´ e des condensats de Bose-Einstein.

Les propri´ et´ es d’un syst` eme quantique d´ ependent fortement de sa dimensionnalit´ e.

Par exemple, dans un gaz id´ eal uniforme ` a la limite thermodynamique, la condensation de Bose-Einstein (BEC) a lieu ` a temp´ erature non nulle pour un gaz tridimensionnel, tandis qu’en deux dimensions il n’y a pas de transition de phase BEC stricto sensu pour un gaz homog` ene. N´ eanmoins, la taille finie du syst` eme peut faire apparaˆıtre la condensation ` a T 6= 0 aussi dans des syst` emes bidimensionnels. En incluant les interactions entre atomes, ` a 3D elles modifient quelques pr´ edictions quantitatives de la temp´ erature de transition BEC, mais la physique reste essentiellement la mˆ eme, tandis qu’en 2D elles rendent possible une transition de phase vers un ´ etat superfluide.

Une autre propri´ et´ e qui d´ epend de la dimensionnalit´ e du syst` eme est la superfluidit´ e.

En 3D elle se manifeste en parall` ele avec la condensation, alors qu’` a 2D une transition de phase, autre que la condensation, caract´ erise le passage entre phase normale et phase superfluide du gaz : la transition de Berezinskii-Kosterlitz-Thouless (BKT). Les vortex jouent un rˆ ole essentiel dans cette physique : en phase superfluide ils existent seulement sous forme de paires, au-dessus de la temp´ erature de transition les paires se brisent et la prolif´ eration de vortex libres d´ etruit le caract` ere superfluide du syst` eme.

Tandis que la condensation implique l’apparition d’une coh´ erence de phase sur tout

le syst` eme, et peut donc ˆ etre mise en ´ evidence par des exp´ eriences d’interf´ erence, la

superfluidit´ e apparaˆıt sans besoin qu’il y ait coh´ erence de phase sur tout le syst` eme et

elle ne peut pas ˆ etre d´ efinie avec un seul concept, via une seule ´ equation. Pour cela la

preuve du caract` ere superfluide d’un gaz n’est pas imm´ ediate. Elle est en effet carac-

t´ eris´ ee par un ensemble de propri´ et´ es, comme l’absence de chauffage si une impuret´ e

mobile traverse le gaz, l’existence de courants permanents m´ etastables ou la rigidit´ e

du fluide vis-` a-vis de la mise en rotation, pour une fr´ equence de rotation suffisamment

16 Gaz de Bose en dimension deux

petite. Ces deux derni` eres propri´ et´ es sugg` erent que la g´ eom´ etrie annulaire est naturelle pour observer la superfluidit´ e.

Ce premier chapitre est organis´ e en cinq sections. Dans la premi` ere 1.1 je rappelle les sp´ ecificit´ es de la condensation de Bose-Einstein d’un gaz ` a 2D. En particulier, pour un gaz id´ eal infini ` a trois dimensions la condensation a lieu si le nombre de particules pouvant occuper les ´ etats excit´ es est born´ e ; si la taille du syst` eme est finie, la saturation des niveaux excit´ es peut ne pas survivre ` a la limite thermodynamique, et ce crit` ere n’est plus pertinent. Un crit` ere plus g´ en´ eral pour la condensation, valable pour des gaz pi´ eg´ es et en pr´ esence d’interactions, est alors celui de Penrose et Onsager,

´

egalement introduit dans cette premi` ere section. Pour avoir une vision plus r´ ealiste du syst` eme je prends en compte ensuite le rˆ ole des interactions, en particulier des interactions faibles qui correspondent au cas de notre exp´ erience. Dans 1.2 je discute le r´ egime quasi-2D, dans lequel le gaz est consid´ er´ e comme bidimensionnel du point de vue de la statistique, mais tridimensionnel en ce qui concerne la dynamique des collisions entre atomes. Exp´ erimentalement on atteint ce r´ egime grˆ ace ` a un potentiel de pi´ egeage tr` es confinant suivant une direction (la direction verticale z dans notre cas).

Ensuite j’introduis au paragraphe 1.3 l’´ equation de Gross-Pitaevskii dans sa formulation hydrodynamique, particuli` erement adapt´ ee ` a l’´ etude de la dynamique superfluide, et la m´ ethode de Bogoliubov, qui permet de calculer le spectre d’excitation du superfluide.

La transition de phase normale-superfluide et sa mise en ´ evidence du point de vue exp´ erimental sont trait´ ees dans 1.5. Le dernier paragraphe 1.6 est consacr´ e au cas d’un gaz pi´ eg´ e en anneau et mis en rotation : les sp´ ecificit´ es li´ ees ` a la sym´ etrie et deux crit` eres de superfluidit´ e sont introduits.

1.1 La condensation de Bose-Einstein

1.1.1 Crit` eres pour la condensation

La saturation des ´ etats excit´ es

On consid` ere un gaz parfait, c’est ` a dire une assembl´ ee d’atomes sans interactions,

`

a l’´ equilibre thermodynamique ` a la temp´ erature T . On d´ ecrit la statistique des ´ etats dans l’ensemble grand canonique. Le potentiel chimique est µ et le taux d’occupation moyen d’un ´ etat j d’´ energie E

est donn´ e par la statistique de Bose-Einstein :

N

= 1

e

− 1 . (1.1)

Le nombre moyen total d’atomes est N =

∞

X

j=0

N

. (1.2)

Pour que tous les N

soient d´ efinis et positifs, le potentiel chimique µ doit ˆ etre inf´ erieur

`

a l’´ energie de l’´ etat fondamental, qu’on peut supposer nulle,

µ < E

= 0 . (1.3)

1.1 La condensation de Bose-Einstein 17

On peut d´ ecomposer (1.2) en deux contributions, la premi` ere ´ etant celle de l’´ etat fon- damental et la seconde celle des ´ etats excit´ es :

N = N

+ N

, N

= Z

1 − Z , N

=

∞

X

j=1

Z

e

− Z , (1.4) o` u on a introduit la fugacit´ e

Z = e

. (1.5)

Du fait que µ < 0, la fugacit´ e est un nombre compris entre 0 et 1 strictement, ce qui permet de donner une borne sup´ erieure ` a la population des ´ etats excit´ es :

N

< N

(T ) =

∞

X

j=1

1

e

− 1 . (1.6) Un des arguments pour la condensation de Bose-Einstein dans un gaz parfait est la saturation des ´ etats excit´ es ` a une particule ` a temp´ erature non nulle. Pour une temp´ e- rature donn´ ee, si

N

(T ) est fini

le nombre de bosons occupant l’ensemble des ´ etats excit´ es est born´ e. Toutes les parti- cules exc´ edant ce nombre N −N

(T ) vont alors s’accumuler dans l’´ etat fondamental de l’hamiltonien ` a une particule et conduisent ` a un ´ etat macroscopiquement peupl´ e et donc coh´ erent [62, 63]. N´ eanmoins, dans les exp´ eriences d’atomes froids les conditions ne correspondent quasiment jamais ` a celles d’un gaz id´ eal et les effets de taille finie ou les interactions jouent un rˆ ole non n´ egligeable. Ainsi la condensation est rendue possible mˆ eme en l’absence de saturation des ´ etats excit´ es. La condition que je viens de mentionner est donc une condition suffisante, mais pas n´ ecessaire, pour cela Penrose et Onsager en 1956 ont introduit un crit` ere autre que compter les atomes dans l’´ etat fondamental.

Le crit` ere de Penrose et Onsager

La longueur de corr´ elation l

permet de caract´ eriser le comportement d’un ensemble d’atomes. Elle est calcul´ ee ` a partir de l’´ echelle de longueur typique sur laquelle la fonction de corr´ elation ` a un corps g

(r,r

) d´ ecroˆıt, et si on consid` ere la fonction d’onde d’un atome ` a deux points diff´ erents (r,r

), cette longueur distingue les distances pour lesquelles les valeurs de la fonction d’onde sont corr´ el´ ees (|r − r

| < l

) et celles pour lesquelles il n’y a plus de corr´ elation (|r − r

| > l

).

Pour un gaz en interaction Penrose et Onsager [64] formul` erent le crit` ere qui associe la condensation de Bose-Einstein ` a l’existence d’une valeur propre macroscopique Π

, appel´ ee fraction condens´ ee, valeur propre de l’op´ erateur densit´ e ` a une particule ρ

:

g

(r,r

) = hr

|ρ

|ri . (1.7) On peut montrer que le crit` ere de condensation du paragraphe pr´ ec´ edent (1.6) est

´

equivalent, dans une boite 3D de taille L avec des conditions aux limites p´ eriodiques,

18 Gaz de Bose en dimension deux

`

a une limite finie non nulle Π

/L

pour g

(r,r

) lorsque |r − r

| → ∞, traduisant un ordre ` a longue port´ ee (LRO, pour l’anglais « long range order » ). La fonction g

(r,r

) repr´ esente la caract´ erisation la plus directe de l’ordre en phase qui peut apparaˆıtre entre deux points du fluide. Pour le gaz homog` ene elle ne d´ epend que de la distance

|r − r

| [61]. En pratique, dans la limite |r − r

| → ∞, on peut rencontrer trois types de situations :

— g

(r,r

) tend vers une limite finie non nulle : on est en pr´ esence d’un condensat.

Cela se produit pour un gaz de Bose ` a 3D, et si les atomes sont en interaction r´ epulsive le gaz est aussi superfluide.

— g

(r,r

) tend vers z´ ero mais avec une d´ ecroissance lente (alg´ ebrique) ; il n’y a pas d’´ echelle de longueur associ´ ee ` a cette d´ ecroissance. On parle de quasi-condensat avec un quasi-ordre ` a longue port´ ee. Cela se produit par exemple dans un gaz de Bose homog` ene ` a 2D et conduit ´ egalement ` a un ´ etat superfluide.

— g

(r,r

) tend vers z´ ero avec une d´ ecroissance rapide (exponentielle ou gaussienne), qui peut ˆ etre caract´ eris´ ee par une longueur de corr´ elation. On est en pr´ esence d’un fluide normal, non superfluide et non condens´ e.

Je vais ` a pr´ esent pr´ esenter la situation attendue pour un gaz bidimensionnel id´ eal, avant d’ajouter les interactions.

1.1.2 Gaz parfait bidimensionnel

Gaz homog` ene ` a la limite thermodynamique

Un gaz de Bose 2D homog` ene, c’est ` a dire non pi´ eg´ e ou pi´ eg´ e dans une boˆıte dont on ferait tendre la taille vers l’infini, contrairement ` a son ´ equivalent 3D, ne subit pas de transition de condensation de Bose-Einstein pour T 6= 0. Nous pouvons illustrer cette propri´ et´ e en consid´ erant N particules dans une boˆıte bidimensionnelle de cot´ e L,

`

a l’int´ erieur de laquelle le potentiel est nul. ` A la limite semi-classique (k

T

) on peut remplacer la somme discr` ete sur les ´ etats (1.4) par un int´ egrale

N

= Z

0

D()

e

− 1 d . (1.8)

La densit´ e d’´ etats est constante D() = mL

/2π ~

, d’o` u N

= − L

λ

ln (1 − e

) , (1.9)

o` u on a introduit la longueur d’onde de de Broglie thermique λ

=

BT

, m ´ etant la masse de l’atome. ` A la limite thermodynamique (N,L → ∞, avec n =

constant) N

peut devenir arbitrairement grand : il n’y a pas de saturation des ´ etats excit´ es et la condensation ne peut pas se produire. On peut aussi montrer que la densit´ e dans l’espace des phases vaut

D = nλ

= − ln(1 − e

) , (1.10)

1.1 La condensation de Bose-Einstein 19

qui repr´ esente l’´ equation d’´ etat du gaz. On voit ´ egalement que D diverge lorsque µ → 0.

Le mˆ eme r´ esultat se retrouve, selon le crit` ere de Penrose et Onsager, en regardant la d´ ecroissance de la fonction de corr´ elation ` a un corps. Pour un gaz 2D id´ eal et infini g

(r,0) = g

(r) d´ ecroˆıt exponentiellement g

(r) ∼ e

, avec la longueur de corr´ elation qui vaut l

=

4π

e

[60]. La d´ ecroissance rapide de g

(r) se traduit donc par l’absence d’un ordre ` a longue port´ ee ` a temp´ erature non nulle et, en accord avec le th´ eor` eme de Mermin-Wagner [65], aucun ´ etat ne peut ˆ etre macroscopiquement peupl´ e.

Syst` eme fini

Dans la plupart des exp´ eriences, et en particulier dans la nˆ otre, le gaz n’est pas homog` ene mais confin´ e dans un pi` ege. Les r´ esultats pr´ ec´ edents sont alors modifi´ es. En effet, bien qu’un syst` eme infini ne pr´ esente pas de ph´ enom` ene de condensation, dans le cas d’un gaz pi´ eg´ e les effets de taille finie affectent les propri´ et´ es du syst` eme en rendant la condensation possible.

— Boˆıte de taille L.

Pour un syst` eme homog` ene dans une boˆıte de taille finie L, on a vu que la longueur d’onde de corr´ elation l

croit exponentiellement avec D dans le r´ egime d´ eg´ en´ er´ e. Il existe ainsi une temp´ erature non nulle T telle que les corr´ elations de phase entre deux points quelconques du syst` eme sont non nulles : pour cette temp´ erature il y aura corr´ elation de phase entre deux points et, lorsque l

∼ L, la condensation se produit.

— Pi` ege harmonique.

Le potentiel de pi´ egeage le plus utilis´ e dans les exp´ eriences d’atomes froids est le potentiel harmonique. Dans ce type de pi` ege la condensation se produit aussi ` a la limite thermodynamique.

Si on consid` ere un potentiel harmonique, isotrope de pulsation ω V

(r) = 1

2 mω

r

, (1.11)

la densit´ e d’´ etats est D() = /( ~ ω)

et l’´ equation (1.8) montre que les niveaux excit´ es sont satur´ es ` a la valeur

N

= π

6

k

T

~ ω

. (1.12)

A ` N fix´ e, la condensation se produit ` a la temp´ erature k

T

= ~ ω

√ 6N

π . (1.13)

La saturation des niveaux excit´ es reste valable ` a la limite thermodynamique (N → ∞,

ω → 0, avec N ω

= constant), ce qui permet l’accumulation macroscopique des atomes

dans l’´ etat fondamental : le gaz de Bose id´ eal dans un pi` ege harmonique subit la

condensation de Bose-Einstein [47]. Il est ´ egalement possible d’´ etablir l’´ equation d’´ etat

pour le gaz en appliquant l’approximation de la densit´ e locale (abr´ eg´ e LDA, pour « local

20 Gaz de Bose en dimension deux

density approximation » ). Cela se fait sous l’hypoth` ese que la variation du potentiel de pi´ egeage est suffisamment lente pour pouvoir le consid´ erer constant sur une r´ egion o` u les particules se trouvent ` a l’´ equilibre thermodynamique. L’´ etat du fluide en un point r est alors celui d’un fluide homog` ene ` a la mˆ eme temp´ erature, mais avec un potentiel chimique r´ eduit

µ

= µ

− 1

2 mω

r

(1.14)

appel´ e potentiel chimique local, comme illustr´ e dans la figure 1.1. Notons que, du point

µ

= µ

−

mω

r

µ

V (r)

Figure 1.1 – Illustration du principe de la LDA. Le gaz en un point r du pi` ege peut ˆ etre trait´ e comme homog` ene, ` a condition d’utiliser un potentiel chimique r´ eduit obtenu par diff´ erence entre le potentiel chimique au centre et la valeur du potentiel en ce point.

Principle of the Local Density Approximation (LDA). The inhomogeneus gas at a given point r can be treated as an homogeneus gas having a reduced chemical potential, obtained as the difference between the chemical potential at the trap center and the value of the trapping potential at that point : µ

= µ

−

mω

r

.

de vue exp´ erimental, un avantage de ce type de pi´ egeage est que, contrairement au cas homog` ene, il permet d’explorer dans une mˆ eme r´ ealisation diff´ erentes densit´ es dans l’espace des phases (´ etant donn´ e que le potentiel chimique varie de µ

au centre ` a −∞

dans les ailes). ` A la limite thermodynamique (N → ∞, ω → 0, avec N ω

constant) la forme de l’´ equation d’´ etat est la mˆ eme que pour un syst` eme homog` ene :

D(r) = − ln(1 − e

) . (1.15) Notons que cette relation pr´ esente un comportement pathologique ` a la condensation (µ

= 0, r = 0) : la densit´ e dans l’espace des phases diverge au centre du pi` ege.

Contrairement au cas 3D il n’existe donc pas de crit` ere local sur la densit´ e pour la condensation de Bose-Einstein dans un pi` ege harmonique [66].

On verra dans le prochain paragraphe que la prise en compte des interactions entre

atomes, n´ ecessaire pour une description plus r´ ealiste du syst` eme, est cruciale. En ef-

fet, dans l’exemple du gaz pi´ eg´ e d´ evelopp´ e ci-dessus, les interactions r´ epulsives, mˆ eme

faibles, vont d´ epl´ eter le centre du pi` ege et empˆ echer d’atteindre une densit´ e infinie au

centre.

1.2 R´ ealisation exp´ erimentale et r´ egime quasi 2-D 21

1.1.3 Prise en compte des interactions

Nous avons vu au paragraphe pr´ ec´ edent que dans un gaz id´ eal ` a la limite ther- modynamique la condensation se manifeste par une accumulation macroscopique des particules dans l’´ etat fondamental, qui correspond ` a l’´ etat fondamental ` a N particules.

Dans les exp´ eriences cette vision n’est pas correcte puisque les atomes interagissent.

La prise en compte des interactions entre atomes implique que l’´ etat ` a N corps est d´ eform´ e, et que l’´ etat propre ` a une particule ne joue plus un rˆ ole privil´ egi´ e. Le crit` ere pertinent pour la condensation est dans ce cas celui de Penrose et Onsager.

Cas homog` ene

Pour un gaz homog` ene ` a T 6= 0 en interactions r´ epulsives, comme pour le cas id´ eal, l’absence de condensation reste valable [67]. En effet les fluctuations de phase empˆ echent l’´ etablissement d’un ordre ` a longue port´ ee ` a la limite thermodynamique [65], ce qui peut ˆ etre v´ erifi´ e par la d´ ecroissance alg´ ebrique de la fonction de corr´ elation ` a un corps g

(r).

Cas pi´ eg´ e

A la diff´ ` erence du cas homog` ene, un gaz pi´ eg´ e ` a tr` es basse temp´ erature peut exhiber une coh´ erence de phase sur toute son extension. En augmentant la temp´ erature on rentre dans le r´ egime de quasi-condensat, o` u les fluctuations de phase dominent.

1.2 R´ ealisation exp´ erimentale et r´ egime quasi 2-D

Jusqu’` a ce moment l’existence de la troisi` eme dimension n’a pas ´ et´ e prise en compte, et j’ai trait´ e un probl` eme strictement bidimensionnel. Cette vision n’est pas compl` e- tement r´ ealiste, pour cela je discuterai dans cette partie l’approximation qui est faite dans le cadre de notre exp´ erience. La r´ ealisation exp´ erimentale du r´ egime bidimension- nel repose sur un potentiel harmonique V

(r) tr` es confinant suivant la direction z. ` A suffisamment basse temp´ erature (k

T ~ ω

et |µ−

~ ω

| ~ ω

) le syst` eme se trouve enti` erement dans l’´ etat fondamental suivant z et la fonction d’onde peut se factoriser en un terme en z et en un terme qui d´ epend des coordonn´ ees radiales et qui contient toute la dynamique.

Ψ(x,y,z,t) = ψ(x,y,t)ϕ

(z) , (1.16) o` u ϕ

(z) =

−z2 2l2 z

(πl²_z)^1/4

est l’´ etat fondamental de l’oscillateur harmonique, avec l

= p

~ /mω

.

On peut alors moyenner selon z le Hamiltonien 3D du syst` eme pour en d´ eduire le

Hamiltonien 2D. Bien que la dynamique du syst` eme ne se passe que dans le plan trans-

verse, cette troisi` eme direction introduit la longueur caract´ eristique l

, ´ equivalente ` a

l’´ etalement spatial de l’´ etat fondamental de la fonction d’onde dans la direction z.

22 Gaz de Bose en dimension deux

1.2.1 Potentiel delta

A 3D, pour les syst` ` emes et temp´ eratures qui nous int´ eressent, les collisions entre atomes mettent en jeu principalement des collisions binaires de basse ´ energie (dans l’onde s). Elles peuvent ˆ etre mod´ elis´ ees par la longueur de diffusion a

via un potentiel de contact effectif [10]

V

(r

− r

) = g

δ

(r

− r

) , (1.17) g

´ etant la constante d’interaction qui fait intervenir la longueur de diffusion et δ

est la distribution de Dirac en dimension 3. La constante de couplage vaut

g

= 4π ~

m a

, (1.18)

et l’´ energie d’interaction prend la forme simple : E

= g

2 Z

n

d

r , (1.19)

o` u n = |Ψ

|

. Au passage en 2D [68], pour connaˆıtre le caract` ere de la diffusion il faut comparer l

` a a

:

— si l

a

le probl` eme est 2D aussi du point de vue collisionnel, en plus du point de vue dynamique (´ etat fondamental seul peupl´ e selon z). La description des collisions n´ ecessite de traiter la th´ eorie de la diffusion ` a 2D, qui est en g´ en´ eral un probl` eme difficile. Pour ˆ etre dans ce r´ egime il est n´ ecessaire d’avoir un confinement tr` es fort selon z ou de modifier la longueur de diffusion via des r´ esonances de Feshbach [69].

— si l

a

, on est en r´ egime quasi-2D : le syst` eme peut-ˆ etre consid´ er´ e bidimen- sionnel d’un point de vue statistique, mais il n’y a pas de direction privil´ egi´ ee pour la dynamique des collisions, qui donc reste 3D. En particulier la longueur de diffusion 3D reste la mˆ eme.

Notre exp´ erience se situe dans ce deuxi` eme r´ egime : l

= q

~

mωz

= 252 nm, a

∼ 5.3 nm pour le

Rb dans l’´ etat (F = 1,m

= −1), ω

= 2π × 1.83 kHz.

1.2.2 Invariance d’´ echelle de l’´ equation d’´ etat

L’expression (1.19) est ´ egalement valable pour un gaz quasi-2D, mais dans ce cas la densit´ e spatiale est s´ eparable :

n(r,z) = |ψ(r)|

|ϕ

(z)|

, (1.20) o` u r = (x,y) est un vecteur dans le plan 2D, |ψ(r)|

d´ esigne la densit´ e spatiale ` a 2D, et ϕ

(z) est la fonction propre associ´ ee au niveau fondamental du mouvement selon z (dans notre cas l’´ etat fondamental de l’oscillateur harmonique selon z). On choisit la normalisation de la mani` ere suivante : R

|ψ(r)|

dr = N et R

|ϕ

(z)|

dz = 1. En injectant (1.20) dans (1.19) on a donc

E

= g

2

Z

n

d

r , (1.21)

1.3 Description en champ moyen du condensat 23

avec

g

= 4π ~

m a

Z

|ϕ

(z)|

dz . (1.22)

En posant

g

= ~

m g ˜ (1.23)

on voit que l’amplitude du couplage est contenue dans le param` etre ˜ g = 4πa

R |ϕ

(z)|

dz qui est une grandeur sans dimension. Dans le r´ egime quasi-2D, les interactions n’intro- duisent donc pas d’´ echelle de longueur, contrairement au cas 3D. L’int´ egrale de la fonc- tion d’onde du niveau fondamental de l’oscillateur harmonique donne R

|ϕ

(z)|

dz =

√1

2πlz

, d’o` u

g

= g

√ 2πl

= ~

m g ˜ (1.24)

o` u

˜ g = √

8π a

l

. (1.25)

Dor´ enavant pour all´ eger la notation je poserai g

= g. D` es lors que les interactions sont caract´ eris´ ees par un param` etre sans dimension, la temp´ erature T et le potentiel chi- mique µ repr´ esentent les seules ´ echelles d’´ energie. Par cons´ equent, toute grandeur sans dimension d´ ecrivant le syst` eme est une fonction du rapport

BT

. Donc, si l’on change simultan´ ement le potentiel chimique et la temp´ erature par un mˆ eme facteur, les valeurs de la densit´ e dans l’espace des phases et de la pression r´ eduite restent inchang´ ees. C’est en ce sens que l’´ equation d’´ etat du gaz de Bose quasi-2D est invariante par changement d’´ echelle. Une v´ erification exp´ erimentale est montr´ ee par exemple dans [70, 71, 69]. Il a

´

et´ e montr´ e au sein de l’´ equipe que dans un pi` ege harmonique la pr´ esence d’´ etats excit´ es peupl´ es suivant z, du fait des interactions, brise l’invariance d’´ echelle [72]. On d´ efinit aussi la longueur de cicatrisation, qui repr´ esente l’´ echelle de longueur caract´ eristique associ´ ee aux interactions, comme l’´ echelle de longueur typique sur laquelle la densit´ e d’un syst` eme uniforme s’annule en pr´ esence d’une barri` ere infinie.

ξ

= ~

√ mgn = 1

√ gn ˜ . (1.26)

1.3 Description en champ moyen du condensat

Une approche simple pour tenir compte des interactions est de d´ ecrire les forces entre

les atomes par un terme de champ moyen. Cette approche, appel´ ee « approximation

de champ moyen » , est valable si la distance moyenne entre les particules est grande

devant la longueur de diffusion na

1 (gaz dilu´ e), ce qui assure que les particules

sont tr` es faiblement corr´ el´ ees. Sous cette hypoth` ese la fonction d’onde d´ ecrivant le

syst` eme est factorisable comme le produit de N fonctions d’onde ` a une particule φ(i). Le

probl` eme ` a N corps est simplifi´ e ` a celui d’une particule en mouvement dans un potentiel

effectif compos´ e du potentiel externe plus un terme de champ moyen, proportionnel ` a la

densit´ e atomique. On consid` ere N bosons pi´ eg´ es dans un potentiel V

(r) ` a l’´ equilibre

24 Gaz de Bose en dimension deux

`

a temp´ erature nulle. Si le gaz est id´ eal les atomes se trouvent dans l’´ etat fondamental du pi` ege |φ

i et la fonction d’onde ` a N corps du condensat est

|Ψi = |φ

(1)i ⊗ |φ

(2)i... ⊗ |φ

(N )i . (1.27) En pr´ esence d’interactions, mod´ elis´ ees par le potentiel de contact introduit pr´ ec´ edem- ment, l’Hamiltonien ` a N corps devient

H

=

N

X

i=1

p

2m + V

(r

)

+ 1 2

X

i

X

j6=i

V (r

− r

) , (1.28) o` u le deuxi` eme terme tient compte des interactions ` a deux corps. H

n’est plus fac- torisable, donc l’´ etat fondamental n’est plus le produit des ´ etats fondamentaux de l’hamiltonien ` a une particule. N´ eanmoins, sous l’hypoth` ese des interactions faibles, on peut chercher par analogie au cas id´ eal, une solution pour la fonction d’onde ` a N particules du condensat sous la forme

|Ψ

i = |φ(1)i ⊗ |φ(2)i... ⊗ |φ(N )i , (1.29) o` u |φ(i)i est une fonction d’onde ` a un corps, normalis´ ee ` a 1 et diff´ erente de l’´ etat fondamental ` a une particule, qu’il s’agit de d´ eterminer.

Gaz faiblement d´ eg´ en´ er´ e : approximation d’Hartree Fock

On consid` ere en premier une faible densit´ e dans l’espace des phases (ce qui corres- pond par exemple aux ailes thermiques du nuage atomique). On peut montrer [73] que la prise en compte des interactions dans cette approximation se fait en introduisant un d´ ecalage en ´ energie 2gn et que chaque particule est solution de :

− ~

2m ∆ + V

(r) + 2gn

φ(r) = Eφ(r) . (1.30) Le probl` eme ainsi d´ ecrit correspond ` a celui du gaz id´ eal avec un potentiel effectif V

= V (r) + 2gn. On retrouve pour un gaz pi´ eg´ e harmoniquement l’´ equation d’´ etat :

D(r) = − ln(1 − e

2r2

2 −2gn(r))

) . (1.31)

o` u µ peut prendre n’importe quelle valeur. Contrairement au cas id´ eal, les interactions r´ epulsives empˆ echent d’atteindre une densit´ e D(r) infinie en r = 0, n´ ecessaire pour atteindre une vraie condensation.

1.3.1 Equation de Gross-Pitaevskii stationnaire ´

Dans le sous espace des fonctions d’onde (1.29) l’´ etat qui approxime au mieux l’´ etat fondamental de H

minimise le fonctionnel d´ efini comme :

E

[φ,N ] = hH

i = hΨ

|H

|Ψ

i

hΨ

|Ψ

i , (1.32)

1.3 Description en champ moyen du condensat 25

avec la condition hΨ

|Ψ

i = 1. La m´ ethode des multiplicateurs de Lagrange ram` ene ce probl` eme ` a la minimisation de hΨ

|H

|Ψ

i − µhΨ

|Ψ

i, o` u µ est le multiplicateur de Lagrange introduit pour assurer la conservation de la norme de Ψ

. La diff´ erentiation δ(hΨ

|H

|Ψ

i−µhΨ

|Ψ

i) m` ene ` a une ´ equation similaire ` a l’´ equation de Schr¨ odinger

− ~

2m ∆φ(r) + V

(r)φ(r) + (N − 1) Z

d

r

V (r − r

)|φ(r

)|

φ(r) = µφ(r) , (1.33) d´ ecrivant l’´ evolution de chaque atome dans le potentiel de pi´ egeage et dans le champ moyen cr´ ee ` a sa position par les (N −1) autres atomes. Le potentiel dans l’int´ egrale peut ˆ

etre remplac´ e par celui de contact (1.17), et puisque N 1, dans le terme d’interaction on a remplace (N − 1) par N . On aboutit ainsi ` a l’´ equation de Gross-Pitaevskii (GPE, pour l’anglais « Gross-Pitaesvkii equation » ) :

− ~

2m ∆φ(r) + V

(r)φ(r) + N g|φ(r)|

φ(r) = µφ(r) . (1.34) Il s’agit d’une ´ equation de Schr¨ odinger non lin´ eaire, d´ ecrivant l’´ evolution de la fonction d’onde du condensat dans un potentiel qui est la somme du potentiel externe plus le terme non lin´ eaire li´ e au champ moyen produit par les autres (N − 1) bosons. Le multiplicateur de Lagrange µ, introduit pour assurer la conservation de la norme de la fonction d’onde Ψ

, correspond ` a la variation de l’´ energie totale lorsque N varie d’une unit´ e, ce qui repr´ esente la d´ efinition du potentiel chimique [74] ; ` a noter que µ diff` ere de l’´ energie totale par particule E/N d’un terme ´ egal ` a l’´ energie d’interaction par particule : cette diff´ erence est due au fait que l’´ equation de Gross-Pitaevskii est non lin´ eaire, dans le cas sans interactions g = 0 et elle se r´ eduit en effet ` a l’´ equation de Schr¨ odinger lin´ eaire

. En posant Φ(r) = √

N φ(r), l’´ equation (1.34) devient

− ~

2m ∆Φ(r) + V

(r)Φ(r) + g|Φ(r)|

Φ(r) = µΦ(r) , (1.35) connue sous le nom d’´ equation de Gross-Pitaevskii stationnaire.

Gaz fortement d´ eg´ en´ er´ e : approximation de Thomas Fermi

L’´ equation d’´ etat du gaz quasi-2D prend ´ egalement une forme simple dans la li- mite des hautes densit´ es dans l’espace des phases. Le point de d´ epart est l’´ equation de Gross-Pitaevskii stationnaire pour la fonction d’onde macroscopique du syst` eme Φ(r). L’approximation de Thomas-Fermi consiste ` a n´ egliger l’´ energie cin´ etique dans le hamiltonien, de sorte que l’´ equation se simplifie sous la forme

|Φ(r)|

= µ

− V

(r)

g . (1.36)

1. Bien qu’il s’agit toutes les deux de th´ eories de champ moyen, dans Hartree Fock les interactions

sont prises en compte avec le terme 2gn et la valeur propre est l’´ energie par particule E, tandis que

dans Gross-Pitaevskii l’interaction entre atomes est d´ ecrite par le potentiel effectif et la valeur propre

est le potentiel chimique µ.

26 Gaz de Bose en dimension deux

L’´ equation d’´ etat s’obtient en multipliant les deux membres par λ

. Dans le cas sp´ eci- fique d’un pi´ egeage harmonique isotrope

V

(r) = mω

r

/2 et une densit´ e atomique n(r) = |Φ(r)|

, l’Eq. (1.36) a la forme d’une parabole invers´ ee qui refl` ete la forme du potentiel externe

n(r) =

µ

− mω

r

/2

/g , (1.37)

qui peut se r´ e´ ecrire, en introduisant le rayon de Thomas-Fermi R

= q

mω²

: n(r) = µ

g

"

1 − r

R

#

. (1.38)

Un autre param` etre qu’on peut calculer analytiquement dans le r´ egime Thomas-Fermi est le potentiel chimique, obtenu de la condition de normalisation

N = Z

d

r|Φ(r)|

=

2µ

~ ω

a

15a

, (1.39)

d’o` u

µ

= ~ ω 2

15N a

a

∝ N

. (1.40)

On revient enfin ` a l’´ equation d’´ etat du gaz, donn´ ee par D(r) = λ

n(r) = 2π

˜

g α(r) , (1.41)

o` u α(r) = α

−

BT

et α

=

BT

; α(r) est appel´ e potentiel chimique r´ eduit. On balaye la valeur de α en se d´ epla¸cant du centre vers la p´ eriph´ erie du nuage. En d’autres termes, un seul ´ echantillon exp´ erimental contient l’´ equation d’´ etat pour les valeurs de α allant de −∞ ` a α

. Notons que l’hypoth` ese sous-jacente est qu’on est dans le cadre de l’approximation de densit´ e locale, puisque en chaque point on a pris la densit´ e locale n(r) et le potentiel chimique local µ = µ

− V

(r). Cette approximation est valable si le potentiel V

(r) est suffisamment mou pour que l’´ echelle de distance sur laquelle varie la densit´ e soit grande devant les ´ echelles de longueur microscopiques du probl` eme : typiquement la longueur de cicatrisation ξ

, la longueur d’onde thermique λ

et la port´ ee des interactions. Pour la plupart des situations o` u les interactions sont bien d´ ecrites par un potentiel de contact, la LDA est donc valable.

R´ egime interm´ ediaire : th´ eorie de Prokof ’ev et Svistunov

Le deux limites que je viens de d´ ecrire, Hartree-Fock et de Thomas-Fermi, corres- pondent ` a des th´ eories de champ moyen, et les deux ´ equations ne diff` erent que par le coefficient qui pr´ ec` ede le terme d’interaction gn, qui vaut 1 dans le r´ egime de Thomas- Fermi et 2 dans le r´ egime Hartree-Fock. Entre ces deux r´ egimes il n’existe pas de forme

2. Le potentiel harmonique s’´ ecrit V

=

m P

i

ω

r

. Pour all´ eger la notation il est utile de d´ efinir ω

= (ω

ω

ω

)

, a

= q

~

mωoh

et de prendre le cas de sym´ etrie sph´ erique ω = ω

= ω

= ω

= ω

.

1.3 Description en champ moyen du condensat 27

analytique de l’´ equation d’´ etat. Prokof’ev et Svistunov [75] ont propos´ e un calcul num´ e- rique ` a partir de simulations de type Monte-Carlo classique dans le cas d’interactions faibles. Cela a ´ et´ e v´ erifi´ e exp´ erimentalement par le groupe de Cheng Chin [69], qui a montr´ e l’invariance d’´ echelle pour la densit´ e dans l’espace des phases D, et par le groupe de Dalibard [70, 76], o` u la mesure de l’´ equation d’´ etat a fait l’objet de la th` ese de T. Yefsah [77, 71] (voir la figure 1.2).

Figure 1.2 – Figure extraite de [71] illustrant l’´ equation d’´ etat pour la densit´ e dans l’espace des phases D d’un gaz de Bose 2D. La ligne noire correspond ` a la pr´ e- diction Hartree Fock, tandis que la ligne en tirets rouges correspond ` a la pr´ ediction Thomas-Fermi.

Figure taken from [71]. It reports a measurement of the equation of state for the phase space density D of a 2D Bose gas. The Hartree-Fock prediction is plotted in black line, while the dashed red line is the Thomas-Fermi prediction.

1.3.2 GPE d´ ependant du temps

L’´ equation introduite dans 1.3.1 d´ ecrit le condensat ` a l’´ equilibre. En ce qui concerne la dynamique de la fonction d’onde du condensat Φ(r,t), elle est dict´ ee par l’´ equation de Gross-Pitaevskii d´ ependant du temps :

i ~

∂Φ(r,t)

∂t =

− ~

2m ∇

+ V

(r) + g |Φ(r,t)|

Φ(r,t) , (1.42) Ici la fonction d’onde du condensat Φ(r,t), appel´ ee aussi param` etre d’ordre, est nor- malis´ ee au nombre d’atomes : R

|Φ(r,t)|

dr = N . Elle peut s’exprimer en fonction de la densit´ e n(r,t) et d’une phase θ(r,t) :

Φ(r,t) = p

n(r,t)e

. (1.43)