Annexe : simulations num´ eriques

evidence les modes excit´es dominants dans un gaz ultra-froid hors ´equilibre.

Il faut pourtant mentionner le fait que, comme il s’agit d’une m´ethode statistique,

un des inconv´enients de la PCA est que le jeu de donn´ees doit recouvrir un nombre de

configurations suffisamment large pour que les corr´elations entre deux modes diff´erents

se moyennent `a z´ero. En particulier, pour r´esoudre deux modes de fr´equences proches, le

temps d’acquisition total doit ˆetre plus grand que la p´eriode de battement. Cependant,

si les populations des deux modes sont tr`es diff´erentes, ce qui r´esulte en contributions

`

a la variance totale tr`es diff´erentes, la PCA peut les s´eparer de mani`ere efficace, mˆeme

pour des courts temps d’observation. En plus, un bruit blanc est pr´esent dans chaque

composante de Fourier, tandis qu’il est filtr´e par la PCA. En conclusion, on a montr´e

que la PCA fournit un outil statistique puissant pour analyser des jeux de donn´ees,

aussi bien exp´erimentaux que num´eriques. Appliqu´ee `a syst`emes d´ependants du temps,

elle permet une reconnaissance des modes normaux, une mesure de leur fr´equences

et de leur populations sans besoin de reposer sur un mod`ele. Pour cela on s’attend `a

qu’elle puisse ˆetre employ´ee dans l’´etude de syst`emes o`u les fluctuations jouent un rˆole

majeur, comme la cr´eation de d´efauts dans le m´ecanisme de Kibble-Zurek [39] ou les

corr´elations entre paires vortex-antivortex dans un superfluide bidimensionnel [87].

3.7 Annexe : simulations num´eriques

Le syst`eme est mod´elis´e par une ´equation de Gross-Pitaevskii `a 2D et T=0 :

i^∂d

∂dt^{Ψ =}

−^∆

2

2 ^{+V(x,y) +g}

^2D

^N|Ψ|

2

Ψ, (3.19)

o`utest exprim´e en unit´es deω

⁻1

x

,xetyen unit´es dea

_x

=^p_~/(M ω

_x

), et Ψ≡Ψ(x,y,t)

en unit´es dea

⁻1

x

. M est la masse atomique,N le nombre d’atomes, etg

_2D

=√

8πa

_s

/a

_z

est la constante de couplage r´eduite, o`ua

_s

est longueur de diffusion eta

_z

=^p_~/(M ω

_z

)

est la taille de l’´etat fondamental de l’oscillateur harmonique. Le potentiel est :

V(x+x

0

,y+y

0

) = α^{(xcosθ+ysinθ)}

2

+(xsinθ−ycosθ)

2

70 Modes collectifs d’un gaz 2D

o`u = ω

2

y

/ω

2

x

quantifie l’anisotropie du pi`ege et l’angle θ est l’angle de rotation des

axes du pi`ege. Les param`etres auxiliairesx

₀

,y

₀

etαpeuvent ˆetre utilis´es pour d´eplacer

et comprimer le pi`ege.

Le tableau3.2r´esume en d´etail les valeurs des param`etres qui apparaissent en (3.20)

avant et apr`es l’excitation.

α x

₀

y

₀

θ

Initial 0.95 1.68 0.5 0.25 10

^◦

Final 1 1.78 0 0 0

^◦

Tableau 3.2 – Valeurs des param`etres du potentiel de pi´egeage utilis´e dans la

simulation avant et apr`es l’excitation.

Values of the trapping potential parameters used in the simulation before and after the

excitation.

Chapitre

4

Mode ciseaux et superfluidit´e

4.1 Introduction

L’´etude des excitations ´el´ementaires est une des techniques standard utilis´ees pour

caract´eriser les propri´et´es de syst`emes quantiques `a N corps. Ces excitations d´

eter-minent les propri´et´es thermodynamiques et peuvent expliquer, par exemple, la

super-fluidit´e de l’h´elium liquide.

Dans le contexte de l’´etude des condensats de Bose-Einstein elles sont obtenues en

lin´earisant les ´equations hydrodynamiques ou, de mani`ere ´equivalente, l’´equation de

Gross-Pitaevskii d´ependant du temps (voir 1.4).

L’´etude exp´erimentale des modes collectifs a commenc´e tout de suite apr`es

l’obten-tion du premier condensat de Bose-Einstein par Cornell et Ketterle `a travers les

oscil-lations de taille dans un pi`ege en forme de disque [22] et de cigare [23] respectivement.

Elle a ´et´e ensuite poursuivie par de nombreuses ´equipes, dans diff´erentes g´eom´etries de

pi´egeage, esp`eces atomiques et dimensionnalit´es du syst`eme [59, 118,119,120,121], et

un amortissement et `a un d´eplacement de la fr´equence des modes propres du

conden-sat `a cause de l’interaction de ce dernier avec le nuage thermique a ´et´e mise en ´

evi-dence [119, 118, 24].

En particulier, D. Gu´ery-Od´elin et S. Stringari en 2009 ont montr´e que, parmi ces

modes, le mode ciseaux peut ˆetre utilis´e pour sonder le caract`ere superfluide du gaz [25].

La premi`ere ´etude exp´erimentale de ce mode a ´et´e r´ealis´ee par le groupe de C. Foot,

dans l’objectif de prouver la superfluidit´e d’un condensat 3D [59].

Pour une g´eom´etrie quasi-2D on dispose d’une ´etude num´erique, pr´esent´ee par

Simula, Davis et Blakie dans [122]. D’un point de vue exp´erimental le cas quasi-2D

a ´et´e explor´e en premier par notre ´equipe, dans le cadre de la th`ese de K. Merloti [58].

Une mesure des fr´equences et amortissements des modes monopole, quadrupole et

ci-seaux ont mis en ´evidence le caract`ere superfluide du gaz et un amortissement dˆu `a la

population thermique des modes de Bogoliubov.

Cependant `a l’´epoque la m´ethode d’analyse n’avait pas permis la mesure de la

fr´equence la plus basse de l’observable ciseaux dans un gaz thermique, pr´edite dans [25,

72 Mode ciseaux et superfluidit´e

122] et il n’´etait pas possible d’avoir acc`es au potentiel chimique µet `a la temp´erature

de fa¸con quantitative.

Ces derni`eres ann´ees nous avons impl´ement´e une m´ethode d’ajustement des donn´ees

permettant de d´eduire ces deux param`etres, ce qui a permis de r´ealiser une ´etude plus

quantitative. Cela repr´esente le sujet de ce quatri`eme chapitre. Non seulement nous

avons `a pr´esent acc`es `a ces deux quantit´es, mais nous employons aussi une nouvelle

technique pour l’analyse de la dynamique du gaz, appel´ee _«analyse de la moyenne

locale _», qui a permis la mesure de la fr´equence la plus basse, pas encore observ´ee

jusqu’`a ce moment. Dans le mˆeme esprit que la LDA, en supposant que la densit´e

reste constante dans la zone ´etudi´ee, cette technique consiste en une mesure locale

des fr´equences d’oscillation et amortissements du mode ciseaux, ce qui permet non

seulement de prouver le caract`ere superfluide du gaz, mais aussi d’identifier dans le

nuage l’endroit o`u la transition BKT a lieu [80].

Dans le document Gaz de Bose en dimension deux : modes collectifs, superfluidité et piège annulaire (Page 70-73)