Travaux dirigés TS

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Travaux dirigés TS

Limite de sinx

x ^{en 0.}

On pose hx=sinx

x ^;h est définie sur ℝ^* . A. Conjecture de la limite

1. Étudier la parité de h.

2. Compléter le tableau de valeurs suivant (arrondir à 10^–⁴ près)

x 0,5 0,2 0,15 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0,01

hx

3. Tracer la courbe représentative de h sur une calculatrice. A l'aide de zooms successifs, conjecturer la limite de hx lorsque x tend vers 0.

B. Démonstration de la limite

1. Soit k la fonction définie sur

[

^{0 ;}^2

]

^par^k^^x^=sin^x^^{– x}

a. Étudier les variations de k.

b. En déduire que pour tout x de

[

^{0 ;}^2

]

^,^sin^x^x^.

2. Soit m la fonction définie sur

[

^{0 ;}^2

]

^par^m^x^=sin^x^^{– xcos}^^x^

a. Étudier les variations de m.

b. En déduire que pour tout x de

[

^{0 ;}^2

]

^,^xcos^x^sin^^x^^.

3. Démontrer que pour tout réel x de

[

^–^2;0

[

^∪

]

^0;^2

]

^,^cos^^x^^sinx^x^1 4. En déduire la limite de hx lorsque x tend vers 0.

C. Utilisation

On considère la fonction s définie sur ]0 ;∞ [ par sx=xsin



¹x



. Calculer la limite de sx lorsque x tend vers ∞.

La fonction s admet-elle une limite en 0 ?