Première partie

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c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 1/16

X Maths 1 MP 2009 — Corrigé

Ce corrigé est proposé par Thomas Chomette (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Guillaume Dujardin (Chercheur à l’INRIA) et Lætitia Borel-Mathurin (ENS Cachan).

Le titre de cette épreuve, « Exponentielles d’endomorphisme, intégrales et séries », en résume assez bien le contenu. Le sujet se compose de deux parties indépendantes et de difficulté progressive, la seconde se corsant sur la fin.

• La première partie s’intéresse à l’endomorphismeAdeC^∞(R)défini par Af(x) =xf^′(x)

On veut établir, pour toute fonctionf développable en série entière, l’identité

+∞

P

n=0

tⁿ

n!(Aⁿf)(x) =f(e^tx)

À cette fin, on commence par établir le résultat pour des fonctions polynômes, puis on écrit l’opérateurAⁿ sous la forme d’une somme, de façon à exprimer f(e^tx) comme une somme double dans laquelle on permute ensuite les deux sommations. On montre alors que l’expression obtenue est valable, plus géné- ralement, pour toute fonction développable en série entière, avant de conclure en permutant à nouveau les deux sommations lorsque c’est possible.

• Dans la seconde partie, on s’intéresse au produit de convolution, d’expression f∗g:x7→

Z

R

f(x−y)g(y) dy

Dans un premier temps, on établit quelques propriétés générales. On montre ainsi que l’espace F des fonctions f à décroissance rapide, c’est-à-dire telles que pour tout entier naturel k la fonction x 7→ x^kf(x)est bornée, est stable par convolution. On étudie également les moments de la convoluée de deux fonctions.

Pour finir, on étudie le comportement d’une suite de fonctions de la forme Fn = f1 ∗ · · · ∗fn où les fonctions fi sont d’intégrale 1 sur R et vérifient certaines conditions sur leurs moments d’ordre 1 et 2. On montre qu’asymp- totiquement, les fonctions x 7→ nFn(nx) se comportent comme la mesure de Dirac. Autrement dit, l’étalement de la « masse » dû à la convolution est plus que compensé par le passage de Fn à x7→ nFn(nx), qui tend à concentrer la masse autour de l’origine.

La première partie, plus abordable dans l’ensemble, comporte quelques questions élémentaires quoique techniques. Il faut être à l’aise avec la notion de famille som- mable pour en venir à bout. La seconde présente la difficulté supplémentaire de faire appel à l’initiative du candidat : certaines questions sont ouvertes, et leur résultat est parfois utile pour la suite. Enfin, le sujet se termine par quelques questions ardues.

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Indications

Première partie

2 Commencer par traiter le cas d’un polynôme de la base canonique deR[X], puis utiliser la linéarité.

3 Fixer une fonctionf ∈C^∞(R)et calculer DⁿXf grâce à la formule de Leibnitz.

5 Décomposer f sur la base canonique de R[X]. Si g est un élément de la base canonique deR[X], montrer que la suite double

tⁿ

n!µn,kx^kg^(k)(x)

16k6n

vérifie les hypothèses du théorème de Fubini. À cette fin, on pourra utiliser le résultat de la question 2.

7.c Ne pas oublier de justifier l’identification qui s’impose. Pour cela, utiliser à nouveau les polynômes de la base canonique de R[X].

7.e Séparer les variablesxett. Pour la série en x, utiliser la propriété (P).

Deuxième partie

9.a Bornerf et majorer|g|par une fonction intégrable.

9.b Écrire x^k = (x−y+y)^k, puis intervertir les intégrations enx et y grâce au théorème de Fubini.

12.a Pour faire apparaître un majorant en m2(TnFn), utiliser le fait que α² 6 x² pour toutx∈[α; +∞[.

12.b Découper l’intégrale en trois morceaux en exploitant la continuité dehen0.

13.a Penser à l’inégalité de Cauchy-Schwarz.

13.c Majorer l’intégrale Z +∞

α

(TnFn)(x) dxpar 1

α⁴m4(TnFn)en utilisant une tech- nique analogue à celle de la question 12.a.

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Première partie

1 Soientf ∈C^∞(R)etx∈R. Écrivons la fonctiont7→(Φtf)(x) =f(e^tx), dérivable surR. En dérivant, on obtient la fonctiont7→xe^tf^′(e^tx), dont la valeur en0est

xf^′(x) = (Af)(x)

2 Commençons par étudier le cas d’un élément de la base canonique de R[X].

Soientp∈Netg:x7→x^p. Sip6= 0, on ag^′:x7→px^p−¹doncAg:x7→px^p, résultat encore valable lorsquep= 0. Une récurrence immédiate donne alorsAⁿg:x7→pⁿx^p, pour tout entier natureln. Pour tous réelsxet t, la série

P

n>0

tⁿ

n!(Aⁿf)(x) = P

n>0

pⁿtⁿ n! x^p est donc convergente, de sommee^ptx^p=g(e^tx) = (Φtg)(x).

Reste alors à exploiter la linéarité des endomorphismes Aⁿ, pour tout entier n, et Φt, pour tout réel t, afin de conclure dans le cas général. Soit f une fonction polynôme, d’expression

f(x) =

p

P

k=0

akx^k avec a0, . . . , ap ∈R

Pour tout entier natureln, on aAⁿf :x7→

p

P

k=0

akkⁿx^k. Donc, pour tous réelsxet t,

P

n>0

tⁿ

n!(Aⁿf)(x) = P

n>0 p

P

k=0

ak

kⁿtⁿ n! x^k

=

p

P

k=0

P

n>0

ak

kⁿtⁿ n! x^k =

p

P

k=0

ake^ktx^k

P

n>0

tⁿ

n!(Aⁿf)(x) =f(e^tx)

Autrement dit P

n>0

tⁿ

n!(Aⁿf)(x) = (Φtf)(x)

Dans le calcul précédent, l’interversion des deux signes sommes ne pose pas de problème, la seconde étant une somme finie de séries convergentes. Dès lors que P^p

k=0

P

n>0

ak

kⁿtⁿ

n! x^ka un sens, la série P

n>0 p

P

k=0

ak

kⁿtⁿ

n! x^kconverge également et les deux termes sont égaux.

3 Soient n un entier strictement positif et f ∈ C^∞(R). Par définition, pour tout réelx, on a (Xf)(x) =xf(x). Autrement dit, Xf est le produit def par la fonction identité, etDⁿXf est la dérivée n^e de ce produit, qui se calcule grâce à la formule de Leibnitz :

∀x∈R (DⁿXf)(x) =

n

P

k=0 n k

id^(k)(x)f⁽ⁿ⁻^k)(x) =xf⁽ⁿ⁾(x) +nf⁽ⁿ⁻¹⁾(x)

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En effet,id^(k)étant identiquement nulle pour k>2, seuls deux termes restent dans la somme. On a ainsi établi la propriété

∀x∈R (DⁿXf)(x) = (XDⁿf +nDⁿ⁻¹f)(x)

soit DⁿXf = (XDⁿ+nDⁿ⁻¹)f

Cette égalité est valable pour toute applicationf ∈C^∞(R), si bien qu’on a l’identité DⁿX = XDⁿ+nDⁿ⁻¹

4 L’énoncé suggère ici une récurrence, puisque sont demandées des expressions des nombres µn,k en fonction des nombres µn−1,p. Soit, pour tout entier n ∈ N^∗, P(n)la propriété :

« Il existe des réels positifs(µn,k)_16k6n tels queAⁿ=

n

P

k=1

µn,kX^kD^k. »

• P(1)est vraie car A = XD, soit l’expression voulue avecµ1,1= 1.

• P(n−1) =⇒P(n): On supposeP(n−1) pour un entiern>2. On a alors Aⁿ= Aⁿ⁻¹A = Aⁿ⁻¹XD. D’après l’hypothèse de récurrence, il existe des réels positifs(µn−1,k)_16k6n−₁ tels que

Aⁿ⁻¹=

n−1

P

k=1

µn−1,kX^kD^k

Par conséquent, en utilisant le résultat de la question précédente Aⁿ⁻¹X =

n−1

P

k=1

µn−1,kX^kD^kX

=

n−1

P

k=1

µn−1,kX^k(XD^k+kD^k−¹) Aⁿ⁻¹X =

n−1

P

k=1

µn−1,kX^k+1D^k+kX^kD^k⁻¹

En composant à droite parD, il vient Aⁿ =

n−1

P

k=1

µn−1,kX^k+1D^k+1+kX^kD^k

=

n

P

k=2

µn−1,k−1X^kD^k+

n−1

P

k=1

k µn−1,kX^kD^k On obtient la forme souhaitée Aⁿ =

n

P

k=1

µn,kX^kD^k en posant µn,1 = µn−1,1, µn,n=µn−1,n−1et pour tout entierk∈[[ 2 ; n−1 ]],µn,k=k µn−1,k+µn−1,k−1.

• Conclusion : Pour toutn∈N^∗, il existe des réels positifs(µn,k)_16k6n tels que

Aⁿ =

n

P

k=1

µn,kX^kD^k On a établi au passage les relations de récurrence