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Submitted on 1 Jan 1980
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Structures de bande des solutions solides Cd1 - xHgxGa2S4 et CdGa 2(S1-xSex)4
V.L. Paniutin, B.E. Ponedelnikov, A.E. Rosenson, V.I. Tchijikov
To cite this version:
V.L. Paniutin, B.E. Ponedelnikov, A.E. Rosenson, V.I. Tchijikov. Structures de bande des solutions solides Cd1 - xHgxGa2S4 et CdGa 2(S1-xSex)4. Journal de Physique, 1980, 41 (9), pp.1025-1029.
�10.1051/jphys:019800041090102500�. �jpa-00208916�
Structures de bande des solutions solides Cd1 -xHgxGa2S4
et CdGa2(S1-xSex)4
V. L. Paniutin (*), B. E. Ponedelnikov (*), A. E. Rosenson (*) et V. I. Tchijikov (*)
Division de la Physique Théorique,
Centre des Sciences et de la Technologie Nucléaires, BP 1017, Alger-Gare, Alger, Algérie
(Reçu le 27 février 1980, accepté le 9 mai 1980)
Résumé. - Dans le modèle du pseudopotentiel empirique nous avons étudié les caractéristiques générales de la
structure de bande d’énergie au point K = 0 des solutions solides sur la base du thiogallate de cadmium :
Cd1-xHgxGa2S4 et CdGa2(S1-x Sex)4. Nous avons établi que la dépendance des niveaux électroniques en fonction
de la concentration des composants est à peu près linéaire. Les valeurs calculées de la largeur de bande interdite sont en accord avec les données expérimentales.
Abstract. 2014 In the framework of the empirical pseudopotential model, we have studied at the point K = 0 the
behaviour of the band structure of semiconductor alloy systems on the basis of thiogallate cadmium : Cd1-xHgxGa2S4 and CdGa2(S1-xSex)4. We have established that the dependence of electronic levels as function of composition is more or less linear. The calculated values of the bandgap are in agreement with the experimental
data.
Classification
Physics Abstracts
71.25
1. Introduction. - Les composés du thiogallate
de cadmium, de mercure et du sélénogallate de cad-
mium appartiennent à la classe des semi-conducteurs ternaires A" B2’ C4VI qui sont très étudiés [1-3] à
l’heure actuelle. L’intérêt particulier réside dans les
Fig. 1. - Structure cristalline de CdGa2S4.
[Crystal structure of CdGa2S4.]
solutions solides sur la base des cristaux indiqués,
pour lesquels nous pouvons, grâce à la variation de la concentration des éléments initiaux, faire varier les
caractéristiques physiques telles que la largeur de
bande interdite, la mobilité des porteurs de courant,
etc.
Ce travail détermine les structures de bande des solutions Cd1-xHgxGa2S4 et CdGa2(Sl -xSex)4 pour 0 x 1, calculées par le modèle du pseudopoten-
tiel empirique.
2. Maille élémentaire. Symétrie. - Les composés Cd(Hg)Ga2S4(Se4) ont la structure cristalline du
thiogallate de cadmium : groupe spatial S4, réseau
de Bravais tétragonal centré, sept atomes par maille [4].
La figure 1 représente la maille élémentaire.
Les atomes dans la maille primitive sont repérés par les vecteurs de base :
où 2 a et 2 c sont les paramètres du réseau cristallin.
(*) Adresse permanente : Université de Krasnodar, Krasnodar, l’URSS.
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:019800041090102500
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Le groupe si comporte quatre éléments de symétrie.
Ce sont les réflexions-rotations d’angle multiple de nl2 [5]. Les vecteurs du réseau réciproque donnés par
nous permettent de déterminer la forme de la zone
de Brillouin avec les points et les lignes particuliers
suivants : :
Cette zone est représentée sur la figure 2.
Fig. 2. - Zone de Brillouin du réseau tétragonal centré.
[Brillouin Zone for body-centred tetragonal.]
L’analyse des bandes d’énergie pour les cristaux ayant un réseau du type thiogallate de cadmium a déjà
été faite par la théorie des groupes dans une précé-
dente étude [6]. Donc, nous ne nous limitons qu’à
citer (Tableau I) les règles de sélection des éléments matriciels pour les transitions directes correspondant
aux directions parallèles ou perpendiculaires du vec-
teur E de l’onde lumineuse par rapport à l’axe tétrago-
nal c. Ces règles de sélection sont nécessaires à l’iden- tification des transitions principales interbandes et
des pics du spectre de réflexion. Les notations des
représentations irréductibles que nous avons utilisées Tableau I. - Règles de sélection.
[Selection rules.]
Polarisation
dans le tableau 1 correspondent à celles des réfé-
rences [5, 6].
3. Méthode de calcul. - La méthode de calcul
est basée sur le modèle de substitution statistique.
Ce modèle est caractérisé par la conservation de la
symétrie du cristal dans le cas de la solution solide A" B’ll(Cvl Dxi)4 avec un atome fictif CD de pseudo- potentiel
placé dans chacune des positions du sous-réseau anio-
nique. Nous utilisons ce même modèle dans le cas du sous-réseau cationique de la solution solide Cdl -,,Hg,,Ga2S4.
De la relation (1) résulte que les composantes de Fourier VCD(Q) vérifient l’égalité
où QC, S2p et QCD sont respectivement les volumes
des mailles primitives des cristaux AII B2I Cvl,
A" B2’ Dv’ et de la solution solide A" B’ll(Cvl . D)4 ; Vc(q), VD(q) sont les composantes de Fourier des
pseudopotentiels des atomes C et D des cristaux A" Bl’ Cri et A" B2I Drl.
Le modèle simplifié de la solution solide
considéré dans cet article ne tient pas compte de l’effet ,d’écran du pseudopotentiel fictif CD [7, 8]. Cet effet
provoque, par exemple, un petit affaiblissement de la
largeur de bande interdite en fonction de la concen-
tration des composants des solutions solides avec le réseau de la sphalérite. Notre calcul fait pour les solutions solides du type GaP-GaAs, InP-InAs montre
que l’effet indiqué ne dépasse pas une valeur de l’ordre 0,1 eV. C’est pourquoi en première approximation
nous pouvons le négliger.
L’énergie potentielle d’un électron dans le champ
cristallin est envisagée comme la somme des pseudo- potentiels des atomes du cristal. Nous avons utilisé les pseudopotentiels des atomes des semi-conducteurs binaires pour calculer les bandes d’énergie des semi-
conducteurs ternaires. La ressemblance cristallochi-
mique des semi-conducteurs A" B"’ CXI et A" BVI, , A"’ Bv a guidé notre choix de ces pseudopotentiels
dans nos calculs. Les composantes de Fourier ou les facteurs de forme des pseudopotentiels dans les composés A" BVI et A"’ B’ avec la structure cristalline de la sphalérite sont expérimentalement déterminées dans [9-11].
Remarquons que la renormalisation des facteurs de forme s’effectue d’après le modèle ionique non
déformé :
Tableau II. - Paramètres A1-A5 déterminant les facteurs de forme du pseudopotentiel des composés binaires.
[Pseudopotential form factor parameters of binary alloy systems.]
où V, et V2 sont respectivement les facteurs de forme du pseudopotentiel de l’atome dans les composés 1
et 2 ; Q, et Sl2 sont les volumes des mailles primitives.
Pour nos calculs il faut connaître V(q) en fonction de q en dehors des valeurs des vecteurs du réseau réci- proque de la sphalérite. A cet effet, il est commode d’approximer les facteurs de forme expérimentaux
du pseudopotentiel des composés binaires par une fonction continue :
Les paramètres A1 - A5 et les constantes du réseau pour les composés binaires se trouvent dans le
tableau II.
4. Résultats obtenus. - Nous avons déjà étudié
les structures de bande des cristaux CdGa2S4, CdGa2Se4 et HgGa2S4 en des points particu-
liers [6, 12]. En ce qui concerne les bandes d’énergie électroniques des solutions solides Cd,-,,Hg,,Ga2S4
et CdGa2(SI-xSex)4 que nous discutons maintenant elles peuvent être considérées comme fonction de la concentration x. La valeur de x peut varier de 0
jusqu’à 1.
Le minimum de la bande de conduction et le sommet de la bande de valence pour deux types de solutions solides se situent au point r de la zone de Brillouin
et correspondent aux représentations irréductibles F, (minimum de la bande de conduction) et T3 (sommet
de la bande de valence).
Plusieurs aspects de la structure de bande des solu- tions solides peuvent être étudiés en fonction de la concentration x.
La figure 3 représente la variation calculée des
principaux extréma de bandes en fonction de x.
On voit facilement que tous les niveaux d’énergie
varient de façon continue avec la composition. Ils
décroissent quand x augmente. De plus, la vitesse de
décroissance 1 dei(x)ldx 1 pour le minimum de la bande de conduction est supérieure à celle du sommet
de bande de valence et elle est plus grande pour
CdGa2(S1-xSex)4 que pour Cd,-xHgxGa2S4-
La figure 4 montre la dépendance de la largeur de
bande interdite Eg(x) calculée en fonction de x
(courbe 3) pour la solution solide CdGa2(S1 -xSex)4’
Pour la comparaison nous donnons sur le même graphe les résultats expérimentaux E,(x) empruntés
Fig. 3. - Variation calculée des
principaux
extréma de bande enFig. 3. - Variation calculée des principaux extréma de bande en
fonction de x pour les solutions solides Cd1-xHgxGa2S4 (I) et CdGa2(Sl - xSex)4 (II).
[Calculated principal band extrema as function of x for alloy systems Cd1-xHgxGa2S4 (I) and CdGa2(Sl-xSex)4 (II).]
à l’article [13]. La courbe 1 correspond à Eg(x) obtenue
à partir des spectres d’absorption et la courbe 2 - à partir des spectres de photoconductibilité. Nous
pouvons remarquer la coïncidence qualitative des
résultats calculés et expérimentaux.
Les valeur6 calculées de la largeur de bande inter- dite de deux systèmes envisagés sont indiquées
dans le tableau III. La grandeur 1 dEg(x)/dx 1
pour CdGa 2(S 1-xSex)4 est plus grande que celle pour
Cdl -xHgxGa2S4’
5. Discussion. - La préparation d’une solution solide d’un élément dans un autre soulève des pro-
1028
Fig. 4. - Variation de Eg(x) en fonction de x pour
CdGa2(Sl - xSex)4 . ·
1 et 2 sont les données expérimentales [13] ; 3 les résultats calculés.
[Variation of Eg(x) as function of x for CdGaiSl-xSex)4’ 1 and 2
are the experimental data [13] ; 3 the calculated results.]
Tableau III. - Valeurs calculées de la largeur de bande
interdite.
[Calculated values of the gap.]
blèmes du point de vue pratique. Il se pose des ques- tions sur l’alliage, ses limites de solubilité, ses pro-
priétés supraconductrices, etc...
Il est banal de dire que la structure de bande des solides est basée sur l’hypothèse de la périodicité
du cristal. En principe même une très faible concentra- tion d’impuretés est capable de détruire la structure
périodique du cristal. Mais, si l’impureté appartient à
la même colonne de la classification périodique que l’atome du cristal qu’elle remplace, l’effet est parti-
culièrement faible, en partie parce que le nombre moyen d’électrons de valence reste constant. De
même, une telle concentration d’impuretés ne peut
avoir beaucoup d’effet sur les composantes de Fourier du potentiel responsable des bandes interdites :
l’impureté introduira des composantes de Fourier du potentiel pour des vecteurs d’ondes qui ne sont
pas des vecteurs du réseau réciproque, mais de telles composantes ne sont jamais importantes si les atomes d’impuretés sont placés au hasard.
Dans notre cas des solutions solides
qui sont basées sur les cristaux HgGa2SI, CdGa2S, et CdGa2Se4 on ne voit pas les raisons d’utiliser un
modèle de calcul très compliqué. Les conséquences de petites concentrations d’impuretés sont en fait souvent beaucoup moins graves qu’un traitement formel pour- rait le laisser supposer, surtout lorsque l’atome d’im-
pureté a la même valence que l’atome du cristal solvant.
Soulignons encore une fois que nous utilisons les
pseudopotentiels des atomes des semi-conducteurs ternaires qui sont empruntés à partir de ceux binaires.
En ce point nos calculs peuvent être seulement sur- nommés comme semi-empiriques.
Les rayons atomiques (en Á) de S, Se, Cd et Hg sont respectivement égaux à 1,00, 1,15, 1,55 et 1,50 [14].
On voit que pour les éléments Cd et Hg ils sont
presque les mêmes. Mais en ce qui concerne le soufre
et le sélénium leurs rayons atomiques sont sensible-
ment différents. Donc, l’évolution des bandes en fonc- tion de la composition des solutions solides sur la base des éléments S et Se doit être plus sensible que
sur la base des éléments Cd et Hg. Nos calculs con-
firment cette hypothèse.
Il est connu [7, 8] et ce qu’on peut aussi voir sur la
figure 4 (courbe 2) qu’il existe un petit arrondissement de la largeur de bande interdite en fonction de la
composition des solutions solides qui est due à l’effet
d’écran du pseudopotentiel fictif. La précision de nos
calculs est de l’ordre de 0,1 eV. C’est pourquoi en
cette approximation nous n’avons pas essayé de repro- duire cet arrondissement. Mais on peut constater un accord satisfaisant les résultats théoriques et expéri-
mentaux.
6. Conclusion. - L’examen présent des résultats
obtenus permet d’affirmer que les substitutions dans le sous-réseau anionique conduisent à un changement plus sensible de la structure de bande que dans le cas
du sous-réseau ionique.
Les calculs théoriques qui visent à définir les struc-
tures de bandes des solutions solides en fonction de la concentration des composants montrent que la lar- geur de bande interdite est linéaire dans le modèle
simplifié. La coïncidence qualitative des résultats calculés et expérimentaux donne la possibilité de
l’utilisation de cette méthode de calcul pour l’étude de la structure de bande des semi-conducteurs compli- qués du type diamant.
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