www.guessmaths.co E-mail : [email protected] whatsapp : 0604488896 Sujet de révision n°3 « Simili Examen Bac » 2éme Bac SM
EXERCICE 1.
1- Soit f la fonction définie sur
0;
par : f x
ln 1 1 xx
a) Calculer
0
lim
x f x
etxlim f x
.b) Montrer que la fonction est strictement décroissante sur
0;
.c) Montrer qu'il existe un unique réel appartenant à
0;
tel que f
0.Déterminer une valeur approchée deà 103près.
2- Soit g la fonction définie sur
0;
par : g x
ln 1 1x
La suite
un nINest définie par :
0
1
3 2
IN
n n
u
u g u n
On a représenté ci-dessous la courbe E représentative de la fonction g et la droite d'équationyx.
a) Construire sur l'axe des abscisses, en laissant les traits de construction apparents, les cinq premiers termes de la suite
un nINb) Le graphique permet-il d'émettre les conjectures suivantes?
(Aucune justification n'est demandée).
Conjecture n°1: «la suite
un nINest monotone, Conjecture n° 2:«la suite
un nINest minorée par 0,5.Conjecture n°3: «la suite
un nIN Converge vers1.On admet que la suite
un nINest convergente vers une limite l strictement positive.Montrer que : l . EXERCICE2.
On considère l'équation différentielle
: 2ex
y y
E x et on cherche l’ensemble des solutions de cette équation définies sur
0;
.1) a- Démontrer que la fonctionudéfinie sur
0;
par :u x
ex x est solution de
E .b- Démontrer qu'une fonction vdéfinie sur
0;
est solution de
E si et seulement si la fonctionv u , définie sur
0;
, est solution de l'équation différentielle y y 0,c- En déduire toutes les solutions définies sur
0;
de l'équation
E .2) Pour tout réel k négatif ou nul, on considère la fonction f définie sur
0;
par : k
1 xf x kx e x
. a- Déterminer les limites de fk en 0.
b- Déterminer, en fonction de klim 1
x
kx
x
; En déduire xlim fk
x .
c- Calculer fk
x pour tout réel x de l'intervalle
0;
.www.guessmaths.co E-mail : [email protected] whatsapp : 0604488896 d- Déterminer le nombre de solutions sur
0;
de l'équation fk
x 0.3) On noteCk la courbe représentative de la fonction fk dans un repère orthonormé
O i j . ; ;
On a tracé sur le graphique ci-dessous les courbes C1 ; C0,25 ; C0,15et C0.
En utilisant la deuxième question, reconnaitre chaque courbe (les réponses doivent être justifiées).
EXERCICE 3.
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct
O u v; ;
.a) Résoudre dans C l'équation
E : z2 3ei38z2ei34 0 .b) Soient A et B les points d'affixes respectives les solutions de E telles que: zB zA . Montrer que A est le milieu de
OB .2 On considère les nombres complexes: z1 2 2i 2 2 et 2 sin + cos
8 8
z i
a) Ecrire sous sa forme algébrique z12
b) En déduire la forme trigonométrique de z12
3 - a) Ecrire z2 sous sa forme trigonométrique. Etablir l'égalité : z12 4z22 b) En déduire sin
8
EXERCICE 4
Partie I : Question de cours
1) Enoncer le théorème de Bézout et le théorème de Gauss
2) Démontrer le théorème de Gauss en utilisant le théorème de Bézout.
Partie II
s'agit de résoudre dans ZZle système :
13 : 219
6 1 n S n
1) Démontrer qu'il existe un couple
u v; d'entiers relatifs tel que:19u12v1. (On ne demande pas dans cette question de donner un exemple d'un tel couple).Vérifier que. pour un tel couple, le nombre N 13 12v 6 19u est une solution de
S .2) a) Soit n0 une solution de
S ; vérifier que le système
S équivaut à :
0
0
19 12 n
n n n
b) Démontrer que le système :
0
0
19 12 n
n n n
est équivaut à nn0
12 19
(on rappelle que ab c
si et seulement si c divise a b .www.guessmaths.co E-mail : [email protected] whatsapp : 0604488896 3) a) Trouver un couple
u v; solution de l'équation 19u12v1et calculer la valeur de Ncorrespondante.
b) Déterminer l'ensemble des solutions de
S (on pourra utiliser la question 2. b).4) Un entier naturel n est tel que lorsqu'on le divise par 12 le reste est 6 et lorsqu'on le divise par 19 le reste est 13.
On divise n par228 12 19 . Quel est le reste r de cette division
