Exercice sur les intégrales 2éme Bac SM EXERCICE N°1

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www.guessmaths.co E-mail : abdelaliguessouma@gmail.com whatsapp : 0604488896 Exercice sur les intégrales 2éme Bac SM

EXERCICE N°1 (12 pts)

I) Pour toutnIN^,on pose : ¹ ₂

01

n n

I x dx

 x



 ^et ⁰ 0¹ ²

1

I 1 dx

 x



 a-Etudier la monotonie de la suite

 

In .

b-Montrer pour toutnIN^, on a : 1 0 Iⁿ 1

  n

 .

c-Déduire que

 

In converge vers une limite que l’on précisera.

II) Soitf et₀ f les fonctions définies sur₂



^0;^



^{par :} 0 2

1 f 1

 x

 et

2

2 2

1 f x

 x



dont on a tracé les courbes représentatives respectives₀^et₂dans un repère orthonormé( ;O i j . ; )

On pose pour tout 0;

x _ 2_

   ;

 

0^tan 2

1 1

x

F x dt

 t



 1) a- Montrer que F est dérivable sur 0;

2

 

 

 et calculer^F^

 

^x ^{pour tout} ^0;

x  2

  . b- Montrer que pour tout 0;

x _ 2_

  ; on a :^{F x}

 

^^x

c- Déduire que : ¹ ₂

0

1

1 dx 4

x







d- Vérifier que pour tout réel x on a :

2

2 2

1 1

x

x   x

 

e- Déduire la valeur de l’intégrale :

1 2 01 2

x dx

x



f- Calculer alors l’aire A de la partie du plan limitée par les courbes ₀et₂ et les droites d’équations :x0etx1.

2) A l’aide d’une intégration par partie calculer la valeur du volume V généré pat la rotation de l’arc OA



M x y

 

; /y f2

 

x 0et  x 1



de ₂autour de l’axe des abscisses.