Électrocinétique Chapitre 1 Correction TD (E1)

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Loi des mailles

On applique la loi des mailles dans les 3 mailles ci-dessous.

Maille rouge :

−6 + U_AC+ 3 + 8 = 0 ⇒ U_AC= −5 V Maille verte :

−U_CD+ 4 − U_AC= 0 ⇒ U_CD= 9 V Maille bleue :

−3 + U_DE+ U_CD+ 6 = 0 ⇒ U_DE= −12 V

Lois de Kirchhoff

Courant, tension, puissance 1) On applique la loi des nœuds :

𝑖 = 𝑖₁+ 𝑖₂ = 7,0 A

𝑖₁= 𝑖₃+ 𝑖₅ ⇒ 𝑖₃= 𝑖₁− 𝑖₅= 2,0 A 𝑖 = 𝑖₃+ 𝑖₄ ⇒ 𝑖₄= 𝑖 − 𝑖₃= 5,0 A 2) On applique la loi des mailles :

E = u₁+ u₃ ⇒ u₁= E − u₃= 15,0 V E = u₂+ u₄ ⇒ u₂ = E − u₄= 8,0 V u₃= u₄+ u₅ ⇒ u₅= u₃− u₄= −7,0 V 3) La puissance fournie par le générateur est :

𝒫_g= E 𝑖 = 140,0 W

4) Sur ce schéma, la dipôle D₅ est en convention récepteur. Dans cette convention : 𝒫5= u5𝑖5= −7,0 W < 0. C’est donc un générateur.

Résistance équivalente 1)

Req = (1 R+ 1

3R)

−1

= 3 4R

2)

3) On remarque le fil court-circuite les deux résistances de droite.

Résistance équivalente

L’axe diagonal est un axe de symétrie des résistances, et donc des courants. Soit 𝑖 le courant envoyé en A, il se divise en 𝑖 2⁄ dans chaque branche (du fait de la symétrie), chacun se divisant par la suite en 𝑖₁ et 𝑖₂.

Au niveau du nœud central, d’un point de vue électrique, tout se passe comme si les câbles n’étaient pas connectés : on peut par exemple considérer que l’intégralité du courant venant de la branche de gauche va dans la branche du bas, et que le courant venant de la branche du haut va dans la branche de droite. Pour calculer la résistance équivalente du circuit, on peut donc utiliser le schéma de droite.

A partir de là, la résistance équivalente se trouve facilement :

R_eq= (R + (2R ∥ 2R) + R) ∥ (R + (2R ∥ 2R) + R) = 3R ∥ 3R = 3 2R

Ampoule à incandescence

1) La puissance électrique consommée par une résistance vaut : P = UI =U²

R La résistance des 3 ampoules vaut donc :

R₁=110²

75 = 161 Ω R₂=220²

75 = 645 Ω R₃=220²

150 = 323 Ω Donc : R₁< R₃< R₂.

2)L’intensité traversant une ampoule vaut : I =𝒫 U Ainsi,

I₁= 75

110= 682 mA I₂= 75

220= 341 mA I₃=150

220= 682 mA 3) Une ampoule se comporte comme une résistance : elle dissipe de l’énergie énergie électrique par effet Joule.

Utilisation d’une multiprise 1) Schéma du montage : voir en fin de corrigé.

2)Le grille-pain (GP) et la bouilloire (B) se comportent tous les deux comme des conducteurs ohmiques. La puissance consommée vaut :

𝒫 = UI On en déduit l’intensité dans chaque branche :

i_GP=1000

220 = 4,55 A i_B= 5,91 A L’intensité du courant passant à travers le fusible vaut donc :

i = i_GP+ i_B= 10,45 A > 10,0 A

Non, l’étudiant ne peut pas utiliser de manière simultanée sa bouilloire et son grille- pain.

3) On rappelle le lien entre puissance et énergie : ℰ = ∫ 𝒫 dt

La bouilloire consomme donc ℰ = 780 kJ en 10 minutes.

Radiateur

1)Schéma du montage expérimental :

On a :

I_R = E

r + R 𝒫_R = I_RU_R= R I_R² = R ( E r + R)

2

2)On cherche la valeur de R qui maximise 𝒫_R.

d𝒫_R

dR = 0 =(r + R^′)²− 2R^′(r + R^′) (r + R^′)² E²

⇒ 0 = (r + R^′) − 2R^′

⇒ R^′= r

Pour prouver qu’il s’agit bien d’un maximum (et non d’un minimum), on peut comparer par rapport à une autre valeur de R (c’est plus simple que de calculer la dérivée seconde) :

𝒫_R(r) =E²

4r > 𝒫_R(0) = 0 Résistance interne du GBF

1)On remplace la résistance par un circuit ouvert. Dans ce cas, aucune courant ne circule, et la loi des mailles donne :

E = U 2)Formule du pont diviseur de tension :

U = E R_v r + R_v On obtient donc U = E 2⁄ lorsque R_v= r.

3)La résistance variable est égale à la résistance interne lorsque la tension mesurée est la moitié de la tension de à vide. D’où le nom de la méthode.

Associations de dipôles 1) Notons 1 et 2 les deux bobines en série :

On a :

U₁= L₁𝑑𝑖

𝑑𝑡 U₂= L₂𝑑𝑖

𝑑𝑡 U = L_eq𝑑𝑖 𝑑𝑡 Ainsi,

U = U₁+ U₂= (L₁+ L₂)𝑑𝑖

𝑑𝑡 ⇒ L_eq = L₁+ L₂ 2) Suivons le même raisonnement :

On a :

𝑖₁= C₁𝑑U

𝑑𝑡 𝑖₂= C₂𝑑U

𝑑𝑡 𝑖 = C_eq𝑑U 𝑑𝑡 Ainsi,

𝑖 = 𝑖₁+ 𝑖₂= (C₁+ C₂)𝑑U

𝑑𝑡 ⇒ C_eq= C₁+ C₂ 3)Même raisonnement :

𝑑𝑖₁ 𝑑𝑡 = U

L₁

𝑑𝑖₂ 𝑑𝑡 = U

L₂ 𝑑𝑖 𝑑𝑡= U

L_eq Ainsi,

𝑑𝑖 𝑑𝑡=𝑑𝑖₁

𝑑𝑡 +𝑑𝑖₂ 𝑑𝑡 = (1

L₁+ 1

L₂) U ⇒ 1 L_eq = 1

L₁+ 1 L₂ 4) Même raisonnement :

𝑑U1

𝑑𝑡 = 𝑖 C₁

𝑑U2

𝑑𝑡 = 𝑖 C₂

𝑑U 𝑑𝑡 = 𝑖

C_eq Ainsi,

𝑑U 𝑑𝑡 =𝑑U₁

𝑑𝑡 +𝑑U₂ 𝑑𝑡 = (1

C₁+ 1

C₂) U ⇒ 1 C_eq= 1

C₁+ 1 C₂

Pont de Wheatstone 1) Notations utilisées :

La loi des mailles donne les deux relations suivantes : U = U₃− U₁= R(T)I₂− R_VI₁ U = U₂− U₄= R₀I₁− R₀I₂ Ainsi, si U = 0, on obtient :

R(T)I₂= R_VI₁ et R₀I₁= R₀I₂ Finalement,

R(T) = R_V

2)Mesurer une résistance à l’ohmmètre nécessite de la retirer du circuit. Cette méthode permet donc de mesurer une résistance sans démonter le circuit.

Modélisation d’une fibre nerveuse

1) La chaine étant infinie, les deux circuits ci-dessous sont équivalents.

Ils possèdent donc la même résistance équivalent notée R_T. On peut donc réécrire le montage de deux manière différentes (équivalentes) :

La résistance équivalente entre a et b des deux montages est donc la même. Ainsi, R_T= R₁+ (R₂∥ R_T)

⇒ R_T= R₁+ R2RT

R₂+ R_T

⇒ R²_T− R_TR₁− R₁R₂= 0

Parmi les deux solutions de cette équation, seule la suivante est positive (et peut donc correspondre à la valeur d’une résistance) :

R_T=R1

2 (1 + √1 + 4R2

R₁)

2)On applique la formule du pont diviseur de tension dans le schéma équivalent ci- dessous :

V_de = (R₂∥ R_T) (R₂∥ R_T) + R₁V_ab

= 1

1 + R₁ (R₂∥ R_T)

V₀

On en déduit :

β = R₁

(R₂∥ R_T)= R₁(1 R₂+ 1

R_T) 3)On a :

V₁= V₀ 1 + β Par symétrie de translation le long de la chaine, on a :

V_n+1 = V_n 1 + β

Il s’agit donc d’une suite géométrique de raison 1 (1 + β)⁄ . On en déduit : V_n= V₀

(1 + β)ⁿ 4)Sur une distance de 2,0 mm, il y a :

N =2,0 ∙ 10⁻³

10 ∙ 10⁻⁶ = 200 cellules.

Ainsi, le potentiel est atténué d’un facteur : V₀

V_N= (1 + β)^N= 35

[RP] Commutateur des plaques de cuisson

Calculons la résistance équivalente dans chacune des 7 configurations (données dans le même ordre que l’énoncé) :

R_eq= ∞ R_eq= R₁∥ R₂∥ R₃= R₁R₂R₃ R2R3+ R1R3+ R1R2

R_eq= R₂ R_eq= R₂∥ R₃= R₂R₃ R₂+ R₃ Req= R2+ R3 Req= R1+ R2+ R3

R_eq= R₃

La puissance dissipée est donnée par : 𝒫 = U²

R_eq

Au vu des indications de l’énoncé, essayons de poser R₃= 96,8 Ω. On trouve alors : 𝒫 =U²

R₃= 500 W = 𝒫₄

Essayons maintenant de poser R2= 2 R3= 193,6 Ω. On trouve alors : 𝒫 =U²

R₂= 250 W = 𝒫₃ 𝒫 = U²

R₂+ R₃= 165 W = 𝒫₂ 𝒫 = U²

R₂∥ R₃= 750 W = 𝒫₅ Finalement, en posant R₁= R₂= 193,6 Ω, on trouve :

𝒫 = U²

R₁∥ R₂∥ R₃ = 1000 W = 𝒫₆ 𝒫 = U²

R₁+ R₂+ R₃ = 100 W = 𝒫1

Concernant les branchements, il faut brancher 2 résistances en série pour former R₁, de même pour R₂, et la dernière résistance est R₃.

Bilan récapitulatif :

Position Schéma 𝐑_𝐞𝐪 𝓟 (𝐖)

0 ∞ 0

1 R₁+ R₂+ R₃ 100

2 R₂+ R₃ 165

3 R₂ 250

4 R₃ 500

5 R₂∥ R₃ 750

6 R₁∥ R₂∥ R₃ 1000