CANAUX DÉCOUVERTS — APPLICATION DE LA LOI DE REECH

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106 LA HOUILLE BLANCHE

C a n a u x découverts — Application de la loi de Reech

par E . M O N T A G N E , Ingénieur, ancien élève, de l'Institut Polytechnique de Grenoble

L'application d e la loi d e R e e c h o u d e la relation Y = K // II ('), relation d a n s laquelle V est la résultante des c o m p o s a n t e s d e la vitesse, d o n n e d a n s le cas d e s parois rugueuses et des g r a n d s r a y o n s m o y e n s , des résultats q u i s'éloignent b e a u c o u p d e c e u x q u e l'on calcule p a r la f o r m u l e d e B a z i n .

Ainsi, la c o u r b e A d e la figure 1 d o n n e les valeurs d u coefficient C d e la f o r m u l e U = C / / R I . C a été calculé à l'aide d e s valeurs d e U d o n n é e s elles-mêmes p a r le d i a g r a m m e relatif a u x parois rugueuses et à la p e n t e 1 = 0,0045 et ce d i a g r a m m e a été établi à l'aide d'une c o m p o s a n t e transversale V , = 0,14 m./s. e n prenant

6 0 60 4 0 30 20 {0

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0 i 2 3 4 S Fi§\ i

p o u r base U = 0,37 m./s. et R = 0,11 m . P o u r des r a y o n s plus g r a n d s q u e 1 m . , la p e n t e étant constante, l'influence des c o m p o - santes transversales n'entraîne p a s d e différence sensible entre l'application d e s relations V = K ( / R et U = K J / R c'est-à-dire entre l'application d e la loi d e R e e c h à la résultante el s o n application à la c o m p o s a n t e horizontale U .

P o u r la d e u x i è m e relation, C = /,R) est u n e droite parallèle à l'axe d e s R et p o u r la p r e m i è r e ( R > 1 m . ) , C = /,K) p e u t être considérée c o m m e telle a v e c u n e a p p r o x i m a t i o n suffisante.

L a c o u r b e B d o n n e les valeurs d e C calculées p a r la f o r m u l e d e B a z i n a v e c y = 1,40.

L a f o r m u l e d e B a z i n , sous sa f o r m e la plus c o n n u e : IT _ *7 1 /

I +

est tirée d e celle q u i avait été tout d'abord proposée

^ = 0 , 0 1 1 5 ('

V R D a n s l'ancienne f o r m u l e d e D a r c y :

R . I

d a n s laquelle À désignait le rapport -jjjel a et £ d e u x constantes, o n peut remplacer (¹), p o u r plus d e facilité, A par \/ A et 11 p a r // R .

Si l'on a d m e t q u e a reste constant, les valeurs d e A , p o u r les divers étals d e la paroi convergent toutes vers la limite a.

Si n o u s p r e n o n s p o u r o r d o n n é e s y ('), les valeurs d e // A et.

p o u r abeisses x celles de o n p e u t écrire

11,01 If» + 3 .v o u e n laissant

y 0 , 1 1 1 0 ( 1 + -;-v)

(!) La Houille Blanche, mai-juin 1927.

L e s formules relatives a u x différentes rugosités sont, figurées par d e s droites (fig. 2 ) é m a n a n t toutes d ' u n point (x — o; y

= 0,0115) situé sur l'axe d e s o r d o n n é e s ; l'inclinaison d e ces droites étant m e s u r é e p a r le coefficient angulaire 0,0115 •;, ira a u croissant a v e c la rugosité d e la paroi.

C'est d a n s la c o n v e r g e n c e d e toutes les droites vers u n point 1

déterminé, p o u r = o qu'il faut voir la cause d e la diffé- rence entre, la formule d e B a z i n et l'application d e la loi d e R e e c h , m ê m ? m o M i é . ' , a u x parois rugueuses.

L a f o r m u l e indique e n effet, q u e , p o u r u n r a y o n m o y e n très g r a n d , l'écoulement se produit c o m m e si la paroi était lisse.

D i s o n s tout d e suite q u e cette h y p o t h è s e n'a p a s été faite p a r Ganguillet et K u t t e r d o n t la f o r m u l e n'élimine p a s l'effet d e

I

la rugosité p o u r ;-==• = o (fig. 2 ) . V R

O n a p u toujours r e m a r q u e r q u e l'influence d e la rugosité était bien visible d a n s les très g r a n d s cours d'eau o ù les m o u v e - m e n t s tourbillonnaires et les pertes d u e s à la turbulence sont.

1res sensibles. T o u t e la m a s s e est affectée p a r des r e m o u s qui v i e n n e n t m ê m e , p a r endroits, s'épanouir à la surface. Q u a n d ils n e parviennent p a s jusqu'à cette dernière, ils sont la cause directe d e l'agitation bien visible d e la surface d u cours d'eau, agitation qui se. traduit p a r u n m o u v e m e n t ondulatoire d o n t l'amplitude croît a v e c la rugosité, le r a y o n m o y e n et la vitesse.

O n sait q u e l'agitation près d e la surface, o ù elle est favorisée p a r la charge, b e a u c o u p m o i n s g r a n d e q u e celle q u i s'exerce sur les filets inférieurs, est la cause d u ralentissement bien m a r q u é observé d a n s les c o u c h e s superficielles. L e s pertes de. charge d u e s u n i q u e m e n t a u x aspérités d e s parois, sont d o n c loin d e devenir très faibles d a n s les g r a n d s cours d'eau ; elles conservent u n e influence capitale.

0 ) B A Z I N . — • Annales des Pouls el Chaussées, 1897, 4^e trimes- tre.

Article published by SHF and available athttp://www.shf-lhb.orgorhttp://dx.doi.org/10.1051/lhb/1928019

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LA HOUILLE BLANCHE

₁₀₇

C o m m e B a z i n a établi sa f o r m u l e d'après certains résultats d'expériences, e x a m i n o n s ces derniers. T o u s les résultats o n t été groupés, à la suite d'un travail considérable, e n u n g r a n d

p o u r les g r a n d s r a y o n s m o y e n s , d'inclinaison semblable, m a i s qui c o u p e n t n e t t e m e n t les courbes C =-- /^{( R )} d o n n é e s par la for- m u l e .

O i.oo Z,o 3.0 4,o 4-.S R $^{s z}

Pour /a formu/e de Gangui//et et JCt/ffer, /es feisciaisx rtlatifs aux parois très unies et aux parois de gravier

6ont seu/s indiqués

n o m b r e d e points se répartissant d e part et d'autre des droites issues d u point P (fig. 2 ) , M a i s ces points, pris d a n s des d o n - nées se rapportant à des cours d'eau d e r a y o n s m o y e n s et d e pentes très diverses, donc, d e vitesses et, p a r conséquent, d e degrés d e turbulence bien éloignés les u n s des autres, n e sont pas c o m p a r a b l e s entre e u x bien q u e les rugosités puissent paraître semblables. N o u s préférons considérer plusieurs séries d'expé- riences citées par B a z i n , m a i s choisies a v e c soin p o u r q u e les conditions d e pente et d e rugosité les rendent c o m p a r a b l e s . N o u s serons d a n s ce cas, d a n s des séries d e m e s u r e s exécutées sur le m ê m e cours d'eau o ù la vitesse ne deviendra pas suffisante pour augmenter la rugosité (*), o ù la pente sera sensiblement constante, et qui p e r m e t t r o n t d e tracer u n e partie d e la courbe

<• /,-

N o u s o b t e n o n s ainsi u n e série d e courbes q u i sont toutes,

(') C o m m e l'a remarqué. M . Strickler ( M . Haegelen, Houille Blanche, janv.-février 1925), dès q u e la vitesse atteint u n e certaine valeur, les graviers sont entraînés. L e m o u v e m e n t c o m m e n ç a n t par les plus petits, la rugosité est n o t a b l e m e n t a u g m e n t é e .

Telles sont, fig. 3 : C

F i^{g :}3

1° L a c o u r b e o b t e n u e d'après les m e s u r e s très r e m a r q u a b l e s , à divers points d e v u e d e M . Àllan C u n n i n g h a m , sur le canal d u

, Canal du &anpr J J<a/r?/?<

/, de A oaa/SS. é O, oooîOS i Urith. Canal

ïjel'O, oooîS J 0, oooi?

v Seine d Earis L t 0,ooof4

(3)

108

L A H O U I L L E B L A N C H E G a n g e à Solaui o ù la pente se maintient, a u t o u r de. 0,000195

p o u r R variant d e l , 0 4 2^m à 2 , 4 2 0^m et U d e 0,74 m / s à 1,23 m./s.

2 ° L a c o u r b e d o n n é e par le L i n t h - C a n a l p o u r u n e p e n t e p a s - sant d e 0,00029 p o u r R = l , 5 6 7m et U = 1,041 m./s. à 0,00037 p o u r R = 2 , 7 9 9m et U — 1 , 6 8 6 m./s.

3 ° L a c o u r b e d o n n é e p a r la Seine à Paris p o u r u n e p e n t e m o y e n n e d e 0,00014 a v e c des valeurs c o m p r i s e s entre 0,000127 p o u r R = 1.725 m . et U = 0,638 m./s., d e 0,000172 p o u r R = 4,855 m . et U = 1,427 m./s., d e 0,000103 p o u r R = 5,604 m . et U = 1,429 m./s.

S u r les g r a n d s cours d'eau toutes les m e s u r e s et surtout les m e s u r e s d e pente, sont très délicates. L a dernière (fig. 3 ) sur la Seine doit être erronée, c o m m e d'ailleurs celle q u i se rapporte à la p e n t e I = 0,000172 et R = 4,855 m . C e s d e u x m e s u r e s d o n n e n t d e u x points e x t r ê m e s q u e l'on p e u t situer a p p r o x i m a t i - v e m e n t sur la m ê m e c o u r b e e n faisant d a n s les d e u x cas, I = 0,00014.

O n p e u t extrapoler les courbes d e la figure 3, e n particulier celle d u canal d u G a n g e et voir q u e , p o u r des r a y o n s m o y e n s d e 0 , 5^m et l^m, le coefficient. C qu'elles d o n n e n t s'écarte b e a u c o u p d e celui q u i est calculé p a r la f o r m u l e d e B a z i n . O n n e peut, c e p e n d a n t , aller trop loin d a n s cette voie, car o n risque, p o u r les petits R et à d'aussi faibles pentes, d'obtenir u n r é g i m e inter- médiaire, déjà signalé p a r M . C a m i c h e l , situé entre le r é g i m e laminaire et le r é g i m e f r a n c h e m e n t turbulent. C e c h a n g e m e n t d e r é g i m e , modifiant la perte d e charge, qui n'est plus sensible- m e n t proportionnelle à u n e puissance d e la vitesse voisine d e 2 entraîne l'impossibilité d'appliquer à l'écoulement l'équation d u m o u v e m e n t :

R . I — b base d e f o r m u l e

U = C j / Ï O

S o u s cette réserve, la c o u r b e d u canal d u G a n g e d o n n e l'indi- cation q u e , p o u r des coefficients C é g a u x , d a n s le cas d e r a y o n s m o y e n s d e 0 , 5^m, la f o r m u l e d e B a z i n d o n n e p o u r R = 2 , 5^m u n e erreur d e 1 6 % . E n effet, u n e c o u r b e parallèle à celle d u canal d u G a n g e d o n n e p o u r C , 4 8 a u lieu d e 56. L'erreur serait bien plus g r a n d e e n partant d'un r a y o n m o y e n inférieur à 0^m5 o u e n faisant le calcul p o u r R = 5^m.

L a c o u r b e A d e la figure 1, reproduite sur la figure 3, m o n t r e q u e l'application d e la relation V = K [/ R d o n n e u n e c o u r b e C = /R ) q u i n'est p a s parallèle à celle d u canal d u G a n g e , d u Lint-Canal et d e la Seine à Paris établies p o u r d e s rugosités m o i n s grandes. E n passant d e R = 1 m . à R = 3 m . , l'application d e la loi d e R e e c h , c o m p a r é e a u x résultats e x p é r i m e n t a u x d o n n e u n e erreur m o y e n n e d e 1 0 % .

N o u s a v o n s recherché, d a n s toutes les expériences citées p a r B a z i n , s'il était possible d e tracer d e s courbes C = /^{( B )} depuis u n e faible valeur d e R jusqu'à R = 5 m . p o u r d e s parois d e gravier, d a n s l'espoir d'établir les corrections à la loi d e similitude qui paraissent s'imposer, particulièrement d a n s le c a s des parois rugueuses. M a i s d a n s le plus g r a n d n o m b r e d'expé- riences, les pentes sont trop variables p o u r p e r m e t t r e d e tracer correctement les courbes C = /C R ]. D'autre part, les m e s u r e s précises exécutées p a r M . L . E s c a n d e a u Laboratoire d e l'Ins- titut Electrotechnique et d e M é c a n i q u e appliquée d e T o u l o u s e (*) sur des m o d è l e s réduits d'un barrage projeté sur l'Hérault

(L) C o m p t e r e n d u d e l'Académie des Sciences, t. 18tt, p . 2 K séance d u 3 janvier 1928.

permettent d e prévoir u n e correct ion à la loi d e R e e c h qui, appliquée à la résultante V d a n s le cas des parois lisses d o n n e sensiblement, les m ê m e s valeurs q u e la f o r m u l e d e Bazin.

M. L . E s c a n d e a calculé les débits d u barrage projeté en partant d e quatre m o d è l e s : a u

J _L I J

3tïir f . x r iiiô' io,r>

L e s trois premiers m o d è l e s étaient; coulés e n bronze, puis usinés soigneusement, à la fraiseuse, le q u a t r i è m e était consfruil en b é t o n a r m é .

P o u r déterminer le débit écoulé par le barrage réel, les charges, m e s u r é e s s o i g n e u s e m e n t , étaient multipliées p a r le rapport d e similitude X et les débits p a r À1-5, e n considérant, d a n s c h a q u e cas, le débit p a r unité d e l o n g u e u r d u barrage. O r , les courbes d o n n a n t les débits sur le barrage réel, et calculées à l'aide d e c h a c u n d e s m o d è l e s p a r la loi d e R e e c h n e coïncident pas.

L e m o d è l e le plus g r a n d ( '/. |i| .-,) d o n n e 35,2 m³/ s . p a r m è t r e d e longueur p o u r u n e charge d e 6^m el le m o d è l e le plus petit ( "^A~ ^ Q Q | d o n n e 33,2 m³/ s . p o u r la m ê m e charge. M. L . E s c a n d e a noté q u e la divergence d e s courbes était systématique. N o u s a v o n s établi q u e les divers m o d è l e s donneraient les m ê m e s résultats si, p o u r obtenir les débits o n écrivait > .^{, M} a u lieu d e a''5. C e s m e s u r e s p e u v e n t d o n c m o n t r e r q u ' u n résultat correct serait o b t e n u si o n appliquait la relation, d a n s le cas général d e la loi d e R e e c h .

V,

1,3

L - \

L étant le rapport d e similitude.

C e s résultats m o n t r e n t q u e la loi d e R e e c h des fluides parfaits n'est p a s r i g o u r e u s e m e n t applicable, à des o u v r a g e s courts, d a n s lesquels la viscosité joue u n rôle i m p o r t a n t .

A P P L I C A T I O N I>K LA R E L A T I O N

Vl _ 1.93/

L

y 1,83

H

v; ~ y

^0,1

' ^ y

L a cause exacte, d e s corrections à appliquer est très liée à la viscosité et à la question très c o m p l e x e d e la turbulence à d e s vitesses et des charges variables.

D a n s u n canal à parois d e c i m e n t lissé d e pente I --- 0,00026,

FIÇ. 4

et d e tirant d'eau h, n o u s a v o n s m e s u r é la c o m p o s a n t e verticale V ! de, la vitesse el n o u s a v o n s o b t e n u Vv = 0,045 m./s.

A u point o ù la fluorescéine apparaît à la surface, l'eau est colorée sur u n e largeur / telle q u e / --- 2 /; environ. D o n c , e n écrivant

i ,;.(.

(') Lu Houille lilunc.he, tuai-juin 1927.

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LA HOUILLE BLANCHE 109

o n obtient

Vitesse transversale V , 2 V ,

C e p e n d a n t , V , n'est p a s la c o m p o s a n t e transversale d e l^a vitesse. O n n e peut, e n effet, considérer, p o u r calculer la q u a n t i t^e d e m o u v e m e n t d'une particule d'eau d e m a s s e m q u e son dépla"

cernent selon la trajectoire qu'elle parcourt réellement.

O r , les c o m p o s a n t e s transversales d e la vitesse V d e cette particule son) égales à V , puisque

y ,

v

L a résultante V est d o n c la diagonale O D (figure 5 ) .

l'ar suite, le d i a g r a m m e p e r m e t t a n t d e calculer U connaissant la c o m p o s a n t e horizontale p o u r u n r a y o n m o y e n d é t e r m i n é et la c o m p o s a n t e verticale q u e n o u s considérons c o m m e constante p o u r des r a y o n s plus g r a n d s est celui d e la figure 6.

m e s u r é s , l'influence des c o m p o s a n t e s transversales est bien plus g r a n d e (figure 8 ) .

; I U m/5

15

0,s

s-

V

Af

V

Ve, ri

l'y

R

o,s 4,5

L a relation V = K Y/"^ donnerait d e b o n s résultats p o u r

11 suffit d'appliquer à la résultante d e base V la relation

v k ^ »

[)our obtenir les valeurs d e U .

L a c o m p a r a i s o n des valeurs d e U ainsi o b t e n u e s a v e c celles

qui sont calculées par la f o r m u l e d e B a z i n e n p r e n a n t y = 0,06 et I = 0,00026 est faite d a n s la figure 7.

11 convient d e n e p a s oublier : 1° Q u e le d i a g r a m m e ci-dessus s'applique à u n canal d e largeur indéfinie et q u e la présence d e parois latérales p e u t modifier les résultats d a n s le sens d e la formule d e B a z i n ; 2 ° Q u e la f o r m u l e d e B a z i n d o n n e p o u r les parois lisses d e s résultats u n p e u trop forts p o u r les g r a n d s rayons m o y e n s . E n outre, l'indice 1,93 n e peut être considéré c o m m e définitif. Il peut varier a v e c le r a y o n m o y e n et surtout avec l'agitation.

P o u r des parois d e gravier, u n e penle I = 0,0045, u n e c o m p o - sante horizontale m e s u r é e U = 0,37 m./s., u n e vitesse verticale V , = 0,14 m./s. et u n r a y o n m o y e n R = 0,11 m . également

des r a y o n s m o y e n s plus g r a n d s q u e 1 ni. A u - d e s s o u s d e cette valeur d e R , les variations d u frottement intérieur, c o n s é q u e n c e

des variations d e s m o u v e m e n t s t u m u l t u e u x , sous d e s charges décroissantes sont telles q u ' u n e relation simple n e p e u t rendre c o m p t e des résultats e x p é r i m e n t a u x ,

Fïf : 8

r'î-5