G145 – Le club des cinq [***** à la main]
Diophante invite Alexandre, Béatrice,Charles,Delphine, Ernest à choisir une séquence de 4 lettres constituée avec les deux seules lettres N (comme Noire) et R (comme Rouge).
Leur choix est le suivant : Alexandre :RNNR, Béatrice :NNRN, Charles :NRNR, Delphine : RNRR et Ernest :RRNN
Diophante dispose d’un mélangeur d’un jeu de 52 cartes, tire une carte dont il annonce la couleur : Noire (Pique et Trèfle) ou Rouge (Coeur et Careeau) puis la remet dans le mélangeur.
Il continue les tirages et prononce ainsi une suite du type R,R,N,R,N,N,R,N,N,N,R.... Le joueur dont la séquence coïncide avec quatre tirages successifs lève la main.
C’est, par exemple, le cas d’Alexandre avec les quatre tirages en caractères italiques.
Q1 Calculer les probabilités respectives que chacun des cinq joueurs lève la main à l’issue du tirage des quatre premières cartes.
Q2 Le temps d’attente moyen d’un joueur J est le nombre moyen de cartes retournées par
Diophante pour que le joueur J lève la main. Démontrer que parmi les cinq joueurs il y a un joueur X dont le temps d’attente est le plus court.
Q3 Diophante oppose le joueur X identifié dans Q2 aux autres joueurs dans quatre duels successifs.
Dans chaque duel qui oppose deux joueurs les trois autres joueurs sont observateurs. Le premier joueur qui lève la main est déclaré vainqueur. Démontrer que paradoxalement il y a un joueur Y qui a une probabilité > 0.5 d’être vainqueur de X.
Q4 Diophante organise les duels successifs Alexandre-Béatrice, Béatrice-Charles, Charles- Delphine, Delphine-Ernest et Ernest-Alexandre. Déterminer pour chaque duel les probabilités respectives de gain des joueurs..Quelle conclusion en tirer ? Calculer la probabilité que les cinq vainqueurs aient des prénoms tous différents.
Q5 Diophante propose enfin le tournoi de dix duels au cours desquels chaque joueur est opposé à tous les autres joueurs. Chaque victoire dans un duel rapporte un point. Déterminer le joueur dont l’espérance mathématique de gain est la plus élevée ?
C'est une variante du jeu de « Pile ou Face ».
Q1 : Pour chaque joueur cette probabilité vaut 1 16
Pour la suite j'utilise l'algorithme de John Conway (Voir annexe) Q2 :
C'est donc Ernest le joueur X
Q3:
C'est Delphine qui à une probabilité > 0,5 de battre Ernest Q4 :
Il n y a pas de transitivité : x plus fort que y et y plus fort que z n'implique pas que x plus fort que z
Q5 :
Après ses 4 duels A peut espérer gagner : 1.9791666666666667 Après ses 4 duels B peut espérer gagner : 2.050595238095238 Après ses 4 duels C peut espérer gagner : 1.8035714285714284 Après ses 4 duels D peut espérer gagner : 1.8660714285714286 Après ses 4 duels E peut espérer gagner : 2.300595238095238
C'est donc Ernest qui l'espérance de gain la plus élevée.
Annexe :
Article complet ici : http://www.lifl.fr/~jdelahay/pls/213.pdf
