E50119. Disparition au tableau
Au tableau sont inscrits un certain nombre de 0, de 1 et de 2. Tant qu’il subsiste des chiffres distincts, on effectue, au hasard, l’une des op´erations suivantes :
– effacer un 0 et un 1, puis ´ecrire un 2, – effacer un 1 et un 2, puis ´ecrire un 0, – effacer un 2 et un 0, puis ´ecrire un 1.
Si le r´esultat final est le chiffre 2 tout seul, que peut-on dire de la configura- tion initiale et quels sont les diff´erents r´esultats que l’on aurait pu obtenir en effectuant les op´erations autrement ?
Que peut-on dire de la configuration initiale si l’on obtient deux fois le chiffre 2 en position finale et qu’aurait-on pu obtenir dans ce cas en effectuant les op´erations autrement ?
Solution
Le processus s’arrˆete n´ecessairement puisque chaque op´eration diminue d’une unit´e le nombre total de chiffres inscrits au tableau. Il reste alors `a la fin un certain nombre de fois le mˆeme chiffre.
Remarquons que chaque op´eration inverse les parit´es des nombres des trois chiffres. Il en r´esulte que si les nombres d’inscriptions de deux des chiffres pr´esentent initialement la mˆeme parit´e, ils conserveront cette identit´e de parit´e pendant tout le processus. De mˆeme si les nombres d’inscriptions de deux des chiffres pr´esentent initialement des parit´es contraires, ils conserve- ront cette opposition de parit´e pendant tout le processus.
Si nous supposons que l’´etape finale ne comporte que le chiffre 2, cela veut dire que les chiffres 0 et 1 ´etaient pr´esents initialement en quantit´es de mˆeme parit´e et que le nombre de chiffre 2 pr´esentait une parit´e oppos´ee. Si l’on avait proc´ed´e `a un autre tirage al´eatoire de d´eroulement des op´erations le r´esultat final aurait alors pr´esent´e le respect des identit´es et des oppositions de parit´e initiale : On serait ainsi n´ecessairement arriv´e `a la disparition de tous les 0 et de tous les 1 et il serait alors rest´e un nombre impair de chiffres 2. Si l’on veut adopter un processus qui maximise le nombre final de chiffres 2, il suffit de marier entre eux des 0 des 1 tant qu’il y en a de chaque sorte puis, s’il ne reste par exemple que des 1 (n´ecessairement en nombres pairs par hypoth`ese puisque 0 et 1 ´etaient pr´esents avec la mˆeme parit´e au d´epart), de marier un chiffre 1 avec un chiffre 2 puis de marier avec un deuxi`eme chiffre 1 le chiffre 0 obtenu pour r´eg´en´erer le chiffre 2 utilis´e. Le nombre maximal de chiffres 2 que l’on peut obtenir est donc l’addition du nombre initial de chiffres 2 et du plus petit des nombres de chiffres 0 et 1.
Si maintenant il reste deux chiffres 2 `a l’´etape finale, c’est alors que les trois chiffres pr´esentaient initialement la mˆeme parit´e et il est facile de voir
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que l’on peut se d´ebrouiller pour obtenir `a la fin n’importe lequel des trois chiffres mais bien sˆur toujours en nombre pair. Le nombre minimum que l’on peut obtenir est de deux et le nombre maximum ´egal au nombre initial du chiffre choisi additionn´e du plus petit nombre des deux autres chiffres.
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