D321 : La boule de cristal du fakir Cipaçalouvishni
Le fakir Cipaçalouvishni a des dons de voyance quʼil montre avec une très belle boule (sphérique) de cristal . Vous disposez dʼun compas, dʼune grande feuille de papier, dʼune règle graduée et dʼun crayon. Le fakir vous soumet trois énigmes :
1ère énigme : Prenez un écartement du compas inférieur au rayon estimé de la boule . Tracez sur la feuille de papier un premier cercle correspondant à cet écartement puis un deuxième cercle sur la sphère avec le même écartement. Désignez la plus grande des deux surfaces : celle du cercle tracé sur la feuille de papier ou celle de la calotte délimitée par le cercle tracé sur la boule.
2ème énigme : Mesurez de la façon la plus précise possible le rayon de la boule.
3ème énigme : Le fakir trace trois points sur la boule et affirme que le cercle passant par les trois points de contact ainsi que les trois grands cercles passant par chaque paire de points sont tous les quatre magiques. Construisez ces quatre cercles magiques.
1) Soit R le rayon de la sphère, a l’écartement du compas, r le rayon du cercle tracé sur la sphère et h la hauteur de la calotte sphérique : on a donc r2=h(2r-h), et a2=r2+h2. La surface du cercle tracé dans le plan est πa2, tandis que celle de la calotte sphérique est 2πrh=π(r2+h2)=πa2 : les deux surfaces sont égales.
2) Comme ci-dessus, traçons un cercle sur la sphère avec un écartement de
compas a, puis un second cercle avec le même écartement, en plaçant la pointe sur un point du premier cercle ; ces deux cercles se coupent en deux points distants d’une longueur 2b ; on reporte cette distance sur le plan, et l’on construit sur cette base le triangle isocèle de coté a pour obtenir un triangle égal à celui tracé sur la sphère. On peut alors construire le cercle circonscrit à ce triangle, de rayon r ; on construit ensuite un triangle isocèle de base 2r et de coté a : son cercle circonscrit a pour rayon R.
3) Pour tracer un grand cercle sur la sphère, il faudra prendre un écartement c=R√2 (que l’on obtient en construisant dans le plan un carré de coté R) ; en reportant les distances entre les 3 points, on peut construire un triangle égal sur le plan, et son cercle circonscrit de rayon r ; en traçant une corde de longueur 2r sur un cercle de rayon R, on construit le milieu de l’arc, et la distance a entre ce milieu et les extrémités de la corde. Avec l’écartement a du compas, on place
successivement la pointe sur les trois points de contact, puis sur l’intersection des trois cercles obtenus, pour obtenir le cercle circonscrit à ces points.
