cube parfait

F163 Nombres croisés - Grille n°63

Cette grille utilise les coefficients binomiaux C(a,b) associés à deux entiers a et b,a > b,tels que C(a,b) est le nombre de combinaisons de a objets pris b par b.

Les couples (a,b) sont constitués de nombres premiers jumeaux (p+2,p) ou de nombres premiers cousins (p+4,p) ou de nombres premiers sexy (p+6,p).

On désigne par C(1),C(2) et C(3) les coefficients binomiaux associés respectivement à un couple de nombres premiers 1) jumeaux, 2)cousins, 3)sexy.

Tous les nombres sont différents.

Aucun nombre ne commence par zéro.

sdc = somme des chiffres pdc = produit des chiffres

(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (A)

(B) (C) (D) (E) (F) (G) (H) (I)

Horizontalement Verticalement

(A) cube parfait (a) pdc < 80

(B) C(3) (b) C(3)

(C) C(1) (c) sdc = nombre premier

(D) palindrome (d) sdc = nombre premier

(E) cube lu de droite à gauche (e) séquence dans le désordre

(F) C(1) (f) sdc = nombre premier

(G) carré parfait (g) sdc = sdc de f

(H) C(2) (h) multiple d'un carré > 1

(I) C(2) (i) C(1)

1. On cherche et on trouve les C(1) : 381 nombres de neuf chiffres correspondant à des nombres premiers jumeaux C(1), les sept C(2) pour les premiers cousins, et les 3 C(3) pour les premiers sexys.

C(1) tous de la forme C(p,2)=p(p-1)/2 avec p et p-2 premiers jumeaux

C(2) C(223,227) C(229,233) C(277,281) C(307,311) C(313,317) C(349,353) C(379,383) 107 734 200 119 666 470 254 274 090 382 313 855 412 833 855 636 035 400 882 590 945

C(3) C(67,73) C(73,79) C(83,89)

170 230 452 277 962 685 581 106 988

2. En utilisant (B), (H), (I), (b) et (i) on trouve les deux grilles suivantes :

Cas 1 Cas 2

(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i)

(A) 2 9

(B) 1 7 0 2 3 0 4 5 2

(C) 7 0

(D) 9 2

(E) 6 2

(F) 2 6

(G) 6 4

(H) 3 8 2 3 1 3 8 5 5 (I) 2 5 4 2 7 4 0 9 0

(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i)

(A) 2 9

(B) 1 7 0 2 3 0 4 5 2

(C) 7 0

(D) 9 2

(E) 6 2

(F) 2 6

(G) 6 4

(H) 8 8 2 5 9 0 9 4 5 (I) 2 5 4 2 7 4 0 9 0

3. (D) est un palindrome

Cas 1 Cas 2

(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i)

(A) 2 9

(B) 1 7 0 2 3 0 4 5 2

(C) 7 0

(D) 2 9 9 2

(E) 6 2

(F) 2 6

(G) 6 4

(H) 3 8 2 3 1 3 8 5 5 (I) 2 5 4 2 7 4 0 9 0

(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i)

(A) 2 9

(B) 1 7 0 2 3 0 4 5 2

(C) 7 0

(D) 2 9 9 2

(E) 6 2

(F) 2 6

(G) 6 4

(H) 8 8 2 5 9 0 9 4 5 (I) 2 5 4 2 7 4 0 9 0

4. (a) : pdc < 80

(a)

Sur la grille Chiffres restants pdc

Cas 1

1 2 3 2 1 1 1 1 1 12 1 2 3 2 2 1 1 1 1 24 1 2 3 2 2 2 1 1 1 48 1 2 3 2 2 3 1 1 1 72 1 2 3 2 3 1 1 1 1 36 1 2 3 2 4 1 1 1 1 48 1 2 3 2 5 1 1 1 1 60 1 2 3 2 6 1 1 1 1 72 Cas 2 1 2 8 2 1 1 1 1 1 32 1 2 8 2 2 1 1 1 1 64

5.

En utilisant (e) = anagramme de séquence, (a) = pdc < 80,

(D) = palindrome,

(A) = cube sans zéro dont le premier chiffre est <= 6 (à cause de (a)),

(C) = premier jumeau dont le premier chiffre est <= 6 (à cause de (a))

Cas 1 Cas 2 Cas 3

(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i)

(A) 1 2 4 2 5 1 4 9 9

(B) 1 7 0 2 3 0 4 5 2

(C) 3 7 1 0 2 2 4 2 0

(D) 2 9 9 2

(E) 6 2

(F) 2 6

(G) 6 4

(H) 3 8 2 3 1 3 8 5 5

(I) 2 5 4 2 7 4 0 9 0

(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i)

(A) 1 2 4 2 5 1 4 9 9

(B) 1 7 0 2 3 0 4 5 2

(C) 3 7 7 5 8 8 9 4 0

(D) 2 9 9 2

(E) 6 2

(F) 2 6

(G) 6 4

(H) 3 8 2 3 1 3 8 5 5

(I) 2 5 4 2 7 4 0 9 0

(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i)

(A) 1 2 4 2 5 1 4 9 9

(B) 1 7 0 2 3 0 4 5 2

(C) 4 7 5 5 6 8 2 2 0

(D) 2 9 9 2

(E) 6 2

(F) 2 6

(G) 6 4

(H) 3 8 2 3 1 3 8 5 5

(I) 2 5 4 2 7 4 0 9 0

Cas 4 Cas 5 Cas 6

(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i)

(A) 1 2 4 2 5 1 4 9 9

(B) 1 7 0 2 3 0 4 5 2

(C) 6 7 6 4 0 2 5 9 0

(D) 2 9 9 2

(E) 6 2

(F) 2 6

(G) 6 4

(H) 3 8 2 3 1 3 8 5 5

(I) 2 5 4 2 7 4 0 9 0

(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i)

(A) 2 2 5 8 6 6 5 2 9

(B) 1 7 0 2 3 0 4 5 2

(C) 3 7 1 0 2 2 4 2 0

(D) 2 9 9 2

(E) 6 2

(F) 2 6

(G) 6 4

(H) 3 8 2 3 1 3 8 5 5

(I) 2 5 4 2 7 4 0 9 0

(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i)

(A) 2 2 5 8 6 6 5 2 9

(B) 1 7 0 2 3 0 4 5 2

(C) 3 7 7 5 8 8 9 4 0

(D) 2 9 9 2

(E) 6 2

(F) 2 6

(G) 6 4

(H) 3 8 2 3 1 3 8 5 5

(I) 2 5 4 2 7 4 0 9 0

6. On précise (a) en fonction des 6 grilles trouvées

(a) pdc

Cas 1

&

Cas 2

1 1 3 2 1 1 1 3 2 36

1 1 3 2 2 1 1 3 2 72

1 1 3 2 1 2 1 3 2 72

1 1 3 2 1 1 2 3 2 72

Cas 3 1 1 4 2 1 1 1 3 2 48

Cas 4 1 1 6 2 1 1 1 3 2 72

Cas 5 2 1 3 2 1 1 1 3 2 72

Cas 6 2 1 3 2 1 1 1 3 2 72

7. On considère alors, en plus, (F) : premier jumeaux et (E) : cubes à l’envers, et on relance la calculatrice qui trouve (E) et 6 grilles possibles :

Cas 1 Cas 2 Cas 3

(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i)

(A) 1 2 4 2 5 1 4 9 9

(B) 1 7 0 2 3 0 4 5 2

(C) 3 7 1 0 2 2 4 2 0

(D) 2 9 9 2

(E) 1 6 0 3 8 4 9 3 2

(F) 1 2 9 0 9 8 3 4 6

(G) 1 6 4

(H) 3 8 2 3 1 3 8 5 5

(I) 2 5 4 2 7 4 0 9 0

(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i)

(A) 1 2 4 2 5 1 4 9 9

(B) 1 7 0 2 3 0 4 5 2

(C) 3 7 1 0 2 2 4 2 0

(D) 2 9 9 2

(E) 1 6 0 3 8 4 9 3 2

(F) 1 2 9 0 9 8 3 4 6

(G) 2 6 4

(H) 3 8 2 3 1 3 8 5 5

(I) 2 5 4 2 7 4 0 9 0

(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i)

(A) 1 2 4 2 5 1 4 9 9

(B) 1 7 0 2 3 0 4 5 2

(C) 4 7 5 5 6 8 2 2 0

(D) 2 9 9 2

(E) 1 6 0 3 8 4 9 3 2

(F) 1 2 6 2 2 2 2 1 6

(G) 1 6 4

(H) 3 8 2 3 1 3 8 5 5

(I) 2 5 4 2 7 4 0 9 0

Cas 4 Cas 5 Cas 6

(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i)

(A) 1 2 4 2 5 1 4 9 9

(B) 1 7 0 2 3 0 4 5 2

(C) 4 7 5 5 6 8 2 2 0

(D) 2 9 9 2

(E) 1 6 0 3 8 4 9 3 2

(F) 1 2 9 0 9 8 3 4 6

(G) 1 6 4

(H) 3 8 2 3 1 3 8 5 5

(I) 2 5 4 2 7 4 0 9 0

(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i)

(A) 1 2 4 2 5 1 4 9 9

(B) 1 7 0 2 3 0 4 5 2

(C) 6 7 6 4 0 2 5 9 0

(D) 2 9 9 2

(E) 1 6 0 3 8 4 9 3 2

(F) 1 2 6 2 2 2 2 1 6

(G) 1 6 4

(H) 3 8 2 3 1 3 8 5 5

(I) 2 5 4 2 7 4 0 9 0

(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i)

(A) 2 2 5 8 6 6 5 2 9

(B) 1 7 0 2 3 0 4 5 2

(C) 3 7 1 0 2 2 4 2 0

(D) 2 9 9 2

(E) 1 6 0 3 8 4 9 3 2

(F) 1 2 9 0 9 8 3 4 6

(G) 1 6 4

(H) 3 8 2 3 1 3 8 5 5

(I) 2 5 4 2 7 4 0 9 0

8. (h) C’est le multiple d’un carré. Les seules valeurs possibles sont :

Cas 7 ^ème chiffre (h) Cas 1 & 2 8 952 934 859

Cas 3 2 952 931 259

9 952 931 959

Cas 4 8 952 934 859

Cas 5 4 959 931 459

Cas 6 6 252 934 659

9. (G) carré dont on connait les deux premiers chiffres et les deux derniers On trouve 76 valeurs :

(G)

160 224 964 161 747 524 163 277 284 164 814 244 166 616 464 168 169 024 169 728 784 266 407 684 160 326 244 161 849 284 163 379 524 164 916 964 166 719 744 168 272 784 169 833 024 266 603 584 160 478 224 162 001 984 163 532 944 165 328 164 166 874 724 168 428 484 169 989 444 268 042 384 160 579 584 162 103 824 163 635 264 165 431 044 166 978 084 168 532 324 260 112 384 268 238 884 160 731 684 162 256 644 164 044 864 165 585 424 167 133 184 168 688 144 261 533 584 269 682 084 160 833 124 162 358 564 164 147 344 165 688 384 167 236 624 168 792 064 261 727 684 269 879 184 160 985 344 162 766 564 164 301 124 165 842 884 167 391 844 169 208 064 263 153 284

161 086 864 162 868 644 164 403 684 165 945 924 167 495 364 169 312 144 263 347 984

161 493 264 163 021 824 164 557 584 166 100 544 167 909 764 169 468 324 264 777 984

161 594 944 163 123 984 164 660 224 166 203 664 168 013 444 169 572 484 264 973 284

10. Avec les valeurs possibles de (h) et (G) on soumet à la calculatrice qui trouve 28 grilles.

(A) lig 1 (B) lig 2 (C) lig 3 (D) lig 4 (E) lig 5 (F) lig 6 (G) lig 7 (H) lig 8 (I) lig 9 (a) col 1 (b) col 2 (c) col 3 (d) col 4 (e) col 5 (f) col 6 (g) col 7 (h) col 8 (i) col 9

124 251 499 170 230 452 371 022 420 29*****92 160 384 932 129 098 346 161 849 284 382 313 855 254 274 090 113 211 132 277 962 685 401*09124 220*30832 532*89417 102*48934 444*93280 952 934 859 920 226 450 124 251 499 170 230 452 371 022 420 29*****92 160 384 932 129 098 346 161 849 284 382 313 855 254 274 090 113 211 132 277 962 685 401*09124 220*30832 532*89417 102*48934 444*93280 952 934 859 920 226 450 124 251 499 170 230 452 371 022 420 29*****92 160 384 932 129 098 346 165 842 884 382 313 855 254 274 090 113 211 132 277 962 685 401*09524 220*30832 532*89417 102*48234 444*93880 952 934 859 920 226 450 124 251 499 170 230 452 371 022 420 29*****92 160 384 932 129 098 346 165 842 884 382 313 855 254 274 090 113 211 132 277 962 685 401*09524 220*30832 532*89417 102*48234 444*93880 952 934 859 920 226 450 124 251 499 170 230 452 371 022 420 29*****92 160 384 932 129 098 346 263 347 984 382 313 855 254 274 090 113 211 232 277 962 685 401*09324 220*30332 532*89417 102*48734 444*93980 952 934 859 920 226 450 124 251 499 170 230 452 371 022 420 29*****92 160 384 932 129 098 346 263 347 984 382 313 855 254 274 090 113 211 232 277 962 685 401*09324 220*30332 532*89417 102*48734 444*93980 952 934 859 920 226 450 124 251 499 170 230 452 371 022 420 29*****92 160 384 932 129 098 346 268 042 384 382 313 855 254 274 090 113 211 232 277 962 685 401*09824 220*30032 532*89417 102*48234 444*93380 952 934 859 920 226 450 124 251 499 170 230 452 371 022 420 29*****92 160 384 932 129 098 346 268 042 384 382 313 855 254 274 090 113 211 232 277 962 685 401*09824 220*30032 532*89417 102*48234 444*93380 952 934 859 920 226 450 124 251 499 170 230 452 475 568 220 29*****92 160 384 932 126 222 216 161 747 524 382 313 855 254 274 090 114 211 132 277 962 685 405*06124 225*32732 536*82417 108*42734 442*92580 952 931 259 920 226 450 124 251 499 170 230 452 475 568 220 29*****92 160 384 932 126 222 216 162 103 824 382 313 855 254 274 090 114 211 132 277 962 685 405*06224 225*32132 536*82017 108*42334 442*92880 952 931 259 920 226 450 124 251 499 170 230 452 475 568 220 29*****92 160 384 932 126 222 216 164 301 124 382 313 855 254 274 090 114 211 132 277 962 685 405*06424 225*32332 536*82017 108*42134 442*92180 952 931 259 920 226 450 124 251 499 170 230 452 475 568 220 29*****92 160 384 932 126 222 216 165 945 924 382 313 855 254 274 090 114 211 132 277 962 685 405*06524 225*32932 536*82417 108*42534 442*92980 952 931 259 920 226 450 124 251 499 170 230 452 475 568 220 29*****92 160 384 932 129 098 346 161 849 284 382 313 855 254 274 090 114 211 132 277 962 685 405*09124 225*30832 536*89417 108*48934 442*93280 952 934 859 920 226 450 124 251 499 170 230 452 475 568 220 29*****92 160 384 932 129 098 346 161 849 284 382 313 855 254 274 090 114 211 132 277 962 685 405*09124 225*30832 536*89417 108*48934 442*93280 952 934 859 920 226 450 124 251 499 170 230 452 475 568 220 29*****92 160 384 932 129 098 346 163 123 984 382 313 855 254 274 090 114 211 132 277 962 685 405*09324 225*30132 536*89217 108*48334 442*93980 952 934 859 920 226 450 124 251 499 170 230 452 475 568 220 29*****92 160 384 932 129 098 346 163 123 984 382 313 855 254 274 090 114 211 132 277 962 685 405*09324 225*30132 536*89217 108*48334 442*93980 952 934 859 920 226 450 124 251 499 170 230 452 475 568 220 29*****92 160 384 932 129 098 346 165 842 884 382 313 855 254 274 090 114 211 132 277 962 685 405*09524 225*30832 536*89417 108*48234 442*93880 952 934 859 920 226 450 124 251 499 170 230 452 475 568 220 29*****92 160 384 932 129 098 346 165 842 884 382 313 855 254 274 090 114 211 132 277 962 685 405*09524 225*30832 536*89417 108*48234 442*93880 952 934 859 920 226 450 124 251 499 170 230 452 475 568 220 29*****92 160 384 932 129 098 346 168 428 484 382 313 855 254 274 090 114 211 132 277 962 685 405*09824 225*30432 536*89217 108*48834 442*93480 952 934 859 920 226 450 124 251 499 170 230 452 475 568 220 29*****92 160 384 932 129 098 346 168 428 484 382 313 855 254 274 090 114 211 132 277 962 685 405*09824 225*30432 536*89217 108*48834 442*93480 952 934 859 920 226 450 124 251 499 170 230 452 475 568 220 29*****92 160 384 932 129 098 346 169 728 784 382 313 855 254 274 090 114 211 132 277 962 685 405*09924 225*30732 536*89217 108*48834 442*93780 952 934 859 920 226 450 124 251 499 170 230 452 475 568 220 29*****92 160 384 932 129 098 346 169 728 784 382 313 855 254 274 090 114 211 132 277 962 685 405*09924 225*30732 536*89217 108*48834 442*93780 952 934 859 920 226 450 124 251 499 170 230 452 676 402 590 29*****92 160 384 932 126 222 216 162 868 644 382 313 855 254 274 090 116 211 132 277 962 685 406*06224 224*32832 530*82617 102*42834 445*92680 959 931 459 920 226 450 124 251 499 170 230 452 676 402 590 29*****92 160 384 932 126 222 216 164 147 344 382 313 855 254 274 090 116 211 132 277 962 685 406*06424 224*32132 530*82417 102*42734 445*92380 959 931 459 920 226 450 225 866 529 170 230 452 371 022 420 29*****92 160 384 932 129 098 346 162 358 564 382 313 855 254 274 090 213 211 132 277 962 685 501*09224 820*30332 632*89517 602*48834 544*93580 252 934 659 920 226 450 225 866 529 170 230 452 371 022 420 29*****92 160 384 932 129 098 346 164 044 864 382 313 855 254 274 090 213 211 132 277 962 685 501*09424 820*30032 632*89417 602*48434 544*93880 252 934 659 920 226 450 225 866 529 170 230 452 371 022 420 29*****92 160 384 932 129 098 346 162 358 564 382 313 855 254 274 090 213 211 132 277 962 685 501*09224 820*30332 632*89517 602*48834 544*93580 252 934 659 920 226 450 225 866 529 170 230 452 371 022 420 29*****92 160 384 932 129 098 346 164 044 864 382 313 855 254 274 090 213 211 132 277 962 685 501*09424 820*30032 632*89417 602*48434 544*93880 252 934 659 920 226 450

*2******9 170 230 452 *7******0 29*****92 160 384 932 12******6 *6******4 382 313 855 254 274 090 *1*211*32 277 962 685 *0**0**24 *2**3**32 *3**8**17 *0**4**34 *4**9**80 *5*93**59 920 226 450

11. The end

On ajuste le dernier chiffre de la séquence (e), puis le dernier chiffre de (f) et (g) de façon à obtenir une même sdc première, puis le dernier chiffre de (c) et (d) pour une sdc première.

Le dernier chiffre trouvé pour (g) doit être le même que le dernier chiffre trouvé pour (c), puisque (D) est un palindrome. Il en est de même pour le dernier chiffre trouvé pour (d) et (f).

Ce qui conduit à l’unique grille :

(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (A) 1 2 4 2 5 1 4 9 9 (B) 1 7 0 2 3 0 4 5 2 (C) 4 7 5 5 6 8 2 2 0 (D) 2 9 4 5 4 5 4 9 2 (E) 1 6 0 3 8 4 9 3 2 (F) 1 2 9 0 9 8 3 4 6 (G) 1 6 9 7 2 8 7 8 4 (H) 3 8 2 3 1 3 8 5 5 (I) 2 5 4 2 7 4 0 9 0

Contrôles

(A) cube parfait 124 251 499 = 499 ³

(B) C(3) 170 230 452 = ܥ _଻ଷ ^଺଻ 67 et 73 premiers sexys

(C) C(1) 475 568 220 = ܥ _{ଷ଴଼ସଵ} ^{ଷ଴଼ଷଽ} 30839 et 30841 premiers jumeaux

(D) palindrome 294 545 492 palindrome

(E) cube lu de droite à gauche 160 384 932 239 483 061 = 621 ³

(F) C(1) 129 098 346 = ܥ _{ଵ଺଴଺ଽ} ^{ଵ଺଴଺଻} 16067 et 16069 premiers jumeaux

(G) carré parfait 169 728 784 = 13028 ²

(H) C(2) 382 313 855 = ܥ _ଷଵଵ ^ଷ଴଻ 307 et 311 premiers cousins (I) C(2) 254 274 090 = ܥ _ଶ଼ଵ ^ଶ଻଻ 277 et 281 premiers cousins

(a) pdc < 80 114 211 132 pdc = 48 < 80

(b) C(3) 277 962 685 = ܥ _଻ଽ ^଻ଷ 73 et 79 premiers sexys

(c) sdc = nombre premier 405 409 924 sdc = 37, premier

(d) sdc = nombre premier 225 530 732 sdc = 29, premier

(e) séquence dans le désordre 536 489 217 = 123456789 = séquence

(f) sdc = nombre premier 108 548 834 sdc = 41, premier

(g) sdc = sdc de f 442 493 780 sdc = 41 = sdc(f), premier (h) multiple d'un carré > 1 952 934 859 3 ² x 105 881 651

(i) C(1) 920 226 450 = ܥ _{ସଶଽ଴ଵ} ^{ସଶ଼ଽଽ} 42899 et 42901 premiers jumeaux