Devoir Surveillé n˚ 4 A

1^reST I Ch04 : NOMBRE COMPLEXES _{Mardi23janvier2007}

Devoir Surveillé n˚ 4 A

EXERCICE n^o 1

Les vecteurs −→v1 et−→v2 ont pour affixes respectives 1−iet−2 + 3i Calculer les affixes des vecteurs :

−

→v1+−→v2 et 1 2−→v1− 3

4−→v2

EXERCICE n^o 2

On considère les deux nombres complexes z1= 3−ietz2 =−4 + 2i Calculer la forme algébrique des nombres suivants :

p= 1 + 2z1−3z2 et q=z2³

EXERCICE n^o 3

On considère les trois nombres complexes

a=

√2

4 (1 +i√

2) b=

√3 2 −1

2i c=b

Déterminer les nombres suivants

|a| ; |b| ; |c| et |ab|

EXERCICE n^o 4

Déterminer la forme algébrique des nombres complexes suivant :

z1 = 4−i

−2 + 3i ; z2 = 3−5i

i et z3 = 1−i 1 +i

EXERCICE n^o 5

Le plan est muni du repère orthonormal (O;−→u;−→v) d’unité graphique 2cm Soit A,B etC les points d’affixes respectives

zA= 3 ; zB = 5 2+7

2i et zC =−1 2 −1

2i

1. Placer les points A,B etC sur une figure 2. Quelle est la nature du triangle ABC? 3. Déterminer l’affixe du point I, milieu de[BC]

4. Déterminer l’affixe du point D tel que le quadrilatère ABDC soit un carré

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1^reST I Ch04 : NOMBRE COMPLEXES _{Mardi23janvier2007}

Devoir Surveillé n˚ 4 B

EXERCICE n^o 1

Les vecteurs −→u1 et−→u2 ont pour affixes respectives−1 +iet2−3i Calculer les affixes des vecteurs :

−

→u1+−u→2 et 3 4−→u1− 1

2−→u2

EXERCICE n^o 2

On considère les deux nombres complexes z1= 4−2ietz2=−3 +i Calculer la forme algébrique des nombres suivants :

a= 1 + 2z1−3z2 et b=z1³

EXERCICE n^o 3

On considère les trois nombres complexes

p=

√2

4 (1−i√

2) q =

√3 2 +1

2i r=q

Déterminer les nombres suivants

|p| ; |q| ; |r| et |pq|

EXERCICE n^o 4

Déterminer la forme algébrique des nombres complexes suivant :

z1 = 4 +i

−2−3i ; z2 = 1 +i

1−i et z3 = 3 + 5i i

EXERCICE n^o 5

Le plan est muni du repère orthonormal (O;−→u;−→v) d’unité graphique 2cm Soit A,B etC les points d’affixes respectives

zA= 3 ; zB = 5 2−7

2i et zC =−1 2 +1

2i 1. Placer les points A,B etC sur une figure

2. Quelle est la nature du triangle ABC? 3. Déterminer l’affixe du point I, milieu de[BC]

4. Déterminer l’affixe du point D tel que le quadrilatère ABDC soit un carré

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1^reST I Ch04 : NOMBRE COMPLEXES _{Mardi23janvier2007}

Correction DS n˚ 4 A

EXERCICE n^o 1 Calcul d’affixes :

• −→v1+−→v2 = 1−i−2 + 3i=−1 + 2i

• 1 2−→v1−3

4−→v2 =1

2(1−i)−3

4(−2 + 3i) = 1 2−1

2i+3 2 −9

4i= 2−11 4 i EXERCICE n^o 2

Formes algébriques :

• p= 1 + 2(3−i)−3(−4 + 2i) = 1 + 6−2i+ 12−6i= 19−8i

• q= (−4+2i)²(−4+2i) = [4²−2×4×2i+(2i)²](−4+2i) = (12−16i)(−4+2i) =−48+24i+64i−32i²=−16 + 88i EXERCICE n^o 3

Calcul de modules :

• |a|=

√2 4 +1

2i

= v u u t

√2 4

!² +

1 2

²

= r2

16+1 4 =

r3 8 =

√6 4

• |b|=

√3 2 −1

2i

= v u u t

√3 2

!² +

−1 2

²

= r3

4+1 4 = 1

• |c|= b

=|b|= 1

• |ab|=|a| × |b|=

√6 4 ×1 =

√6 4

EXERCICE n^o 4 Calcul d’inverses :

• z¹= 4−i

−2 + 3i = (4−i)(−2−3i)

(−2 + 3i)(−2−3i)= −8−12i+ 2i+ 3i²

(−2)²+ 3² =−11−10i

13 =−11 13−10

13i

• z2= 3−5i

i =(3−5i)(−i)

i×(−i) =−3i+ 5i²

−i² =−5−3i

• z3= 1−i

1 +i = (1−i)(1−i)

(1 +i)(1−i) = 1−2i+i² 1²+ 1² =−2i

2 =−i EXERCICE n^o 5

1. figure

2. • zAB=zB−zA=5 2 +7

2i−3 =−1 2 +7

2i AB=

s

−1 2

² +

7 2

²

= r1

4 +49 4 =

r50 4 =5√

2 2

• zAC=zC−zA=−1 2 −1

2i−3 =−7 2 −1

2i AC=

s

−7 2

² +

−1 2

²

= r49

4 +1 4 =

r50 4 = 5√

2 2

• zC B =zB−zC= 5 2+7

2i+1 2+1

2i= 3 + 4i CB=√

3²+ 4²=√ 25 = 5

• AB=AC, le triangleABC est donc isocèle enA

CB²=AB²+AC², le triangleABC est donc rectangle enA Conclusion : le triangleABC est rectangle isocèle en A 3. zI = zB+zC

2 =

5 2+7

2i−1 2−1

2i

2 = 2 + 3i

2 = 1 +3 2i

4. ABC est rectangle isocèle en A, pour déterminer l’affixe deD, il suffit d’avoir−−→

AB=−−→

CD: zB−zA=zD−zC⇐⇒zD=zB−zA+zC =5

2 +7

2i−3−1 2−1

2i=−1 + 3i

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1^reST I Ch04 : NOMBRE COMPLEXES _{Mardi23janvier2007}

Correction DS n˚ 4 B

EXERCICE n^o 1 Calcul d’affixes :

• −u→1+−→u2=−1 +i+ 2−3i= 1−2i

• 3 4−u→¹−1

2−→u²= 3

4(−1 +i)−1

2(2−3i) =−3 4+3

4i−1 +3 2i=−7

4 +9 4i EXERCICE n^o 2

Formes algébriques :

• a= 1 + 2(4−2i)−3(−3 +i) = 1 + 8−4i+ 9−3i= 18−7i

• b= (4−2i)²(4−2i) = [4²−2×4×2i+ (2i)²](4−2i) = (12−16i)(4−2i) = 48−24i−64i+ 32i²= 16−88i EXERCICE n^o 3

Calcul de modules :

• |p|=

√2 4 −1

2i

= v u u t

√2 4

!² +

−1 2

²

= r2

16+1 4 =

r3 8 =

√6 4

• |q|=

√3 2 +1

2i

= v u u t

√3 2

!² +

1 2

²

= r3

4+1 4 = 1

• |r|=|q|=|q|= 1

• |pq|=|p| × |q|=

√6 4 ×1 =

√6 4

EXERCICE n^o 4 Calcul d’inverses :

• z1= 4 +i

−2−3i = (4 +i)(−2 + 3i)

(−2−3i)(−2 + 3i)= −8 + 12i−2i+ 3i²

(−2)²+ (−3)² =−11 + 10i

13 =−11 13+10

13i

• z2= 1 +i

1−i = (1 +i)(1 +i)

(1−i)(1 +i) = 1 + 2i+i² 1²+ (−1)² = 2i

2 =i

• z3= 3 + 5i

i =(3 + 5i)(−i)

i×(−i) =−3i−5i²

−i² = 5−3i EXERCICE n^o 5

1. figure

2. • zAB=zB−zA=5 2 −7

2i−3 =−1 2 −7

2i AB=

s

−1 2

² +

−7 2

²

= r1

4 +49 4 =

r50 4 =5√

2 2

• zAC=zC−zA=−1 2 +1

2i−3 =−7 2 +1

2i AC=

s

−7 2

² +

1 2

²

= r49

4 +1 4 =

r50 4 =5√

2 2

• zC B =zB−zC= 5 2−7

2i+1 2−1

2i= 3−4i CB=p

3²+ (−4)²=√ 25 = 5

• AB=AC, le triangleABC est donc isocèle enA

BC²=AB²+AC², le triangleABCest donc rectangle enAConclusion : le triangleABC est rectangle isocèle enA

3. zI = zB+zC

2 =

5 2−7

2i−1 2+1

2i

2 = 2−3i

2 = 1−3 2i

4. ABC est rectangle isocèle en A, pour déterminer l’affixe deD, il suffit d’avoir−−→

AB=−−→

CD: zB−zA=zD−zC⇐⇒zD=zB−zA+zC =5

2 −7

2i−3−1 2+1

2i=−1−3i

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