D284 – Diversions homométriques [**** à la main et avec l’aide éventuelle d’un automate]
Problème proposé par Michel Lafond
Trouver au moins deux configurations distinctes* de k points (k au moins égal à 4) telles que chacune d’elles donne la même suite des k (k – 1) / 2 distances des points pris deux à deux dans les cas suivants :
1) les points sont sur une même droite, 2) les points sont sur un même cercle,
3) les points sont dans le même plan en configuration générale**mais :
3-a : les distances qui séparent les points ne sont pas nécessairement distinctes, 3-b : les distances*** qui séparent les points sont toutes distinctes entre elles
* On ne peut pas passer de l’une à l’autre par des translations, rotations, symétries ou retournements.
** Trois quelconques d’entre eux ne sont pas sur la même droite et quatre quelconques d’entre eux ne sont pas cocycliques.
*** Ces distances pourront éventuellement être arrondies au centième le plus proche.
Solution proposée par l’auteur.
1) Les points sont alignés :
Les configurations suivantes de 6 points donnés par leurs abscisses :
C1 = (0, 1, 2, 6, 8, 11) et C2 = (0, 1, 6, 7, 9, 11) sont bien distinctes [l’écart maximal est 4 pour C1 et 5 pour C2].
Mais la suite des 15
distances des points pris deux à deux
est la même : L = (1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 8, 9, 10, 11).2) Les points sont sur un même cercle :
On reprend les deux configurations de la question 1, et on multiplie toutes les abscisses par . Les angles ainsi définis permettent de placer 6 points sur un demi-cercle.
Il y a une bijection évidente entre les distances dans le premier et dans le second cas, donc la propriété d’homométrie est conservée.
3a. Les points sont en configuration générale.
Considérons les deux figures ci-dessous :
O (0, 0) A (2, 0)
B (1, x) C (a, b)
O’ (0, 0) A’ (2, 0)
B’ (1, – x )
C’ (1+a, b – x) 0 0
1 2 6
8
11 11
1 7 6
9
Les coordonnées des points sont indiquées entre parenthèses.
Le triangle B’A’C’ est un translaté du triangle OBC.
On a donc par construction : OA = O’A’ OB = O’B’ AB = A’B’ BC = A’C’ et OC = B’C’.
Pour avoir l’homométrie, il suffit d’avoir AC = O’C’ (traits gras) c’est-à-dire :
Ou encore ce qui sera réalisé avec (car x < b)
On peut prendre par exemple : a = 0,8 b = 1,4 et x = 1 ce qui donne en multipliant tout par 5 :
On peut obtenir des distances toutes différentes avec par exemple :
La première figure a les points de coordonnées [0, 0], [10, 0], [6, 10], [6.56, 4.81]
La seconde a les points de coordonnées [0, 0], [10, 0], [9.44, 5.19], [3.44, –4.81]
On vérifie que dans les deux cas, les 6 distances des points pris deux à deux (arrondies au centième le plus proche) sont : 5,22 5,91 8,16 10 10,77 11,66.
On peut même avoir trois configurations distinctes de 5 points du plan homométriques donc telles que pour chacune, les 10 distances des points pris deux à deux (arrondies au dixième le plus proche) sont :
[34,6 45,3 45,6 48,0 55,9 73,1 77,8 79,1 101,2 110,0]
10 5,22
10,77 11,66
8,13 5,91
10
5,22 10,77
11,66
8,13 5,91
O (0, 0) A (10, 0)
B (5, 5) C (4, 7)
O’ (0, 0) A’ (10, 0)
B’ (5, – 5 )
C’ (9, 2)
45,6 77,8 48,0
110 79,1
45,3
55,9
34,6 101,2
73,1
110
79,1 73,1
34,6
48,0
77,8 101,2 55,9
45,6 45,3
110 77,8 34,6
55,9
48,0
45,3 73,1
79,1 45,6
101,2
