D1959- Radicalement vôtre [** à la main]
1er problème
On désigne par D,E,F les projections des sommets d’un triangle ABC sur une droite quelconque (L).Démontrer que les perpendiculaires aux trois côtés BC,CA et AB passant respectivement par D,E et F sont concourantes.
2ème problème
Soit un ABCD un quadrilatère circonscrit à un cercle Γ avec BC > BA. On trace sur le côté BC le point P tel que BP = BA. Démontrer que la bissectrice de l’angle BCD, la
perpendiculaire à la doite BC passant par P et la perpendiculaire à la droite BD passant par A sont concourantes.
Solution proposée par Bernard Vignes 1er problème
On désigne par p₁,p₂ et p₃ les perpendiculaires aux côôteés BC,CA et AB passant
respectivement par D,E et F et par I,J e K les milieux de ces meômes côôteés.Cômme D et E sônt les prôjectiôns de A et B sur la drôite L, le milieu K de AB est aà eégale distance des pôints D et E. De la meôme manieàre le milieu I de BC est aà eégale distance des pôints E et F et le milieu J de CA est aà eégale distance des pôints F et D. On trace alôrs les trôis cercles (Γ₁) de centre I passant par E et F, (Γ₂) de centre J passant par F et D et (Γ₃) de centre K et passant par D et E. Cômme JK est paralleàle aà BC, la perpendiculaire p₁ aà BC est aussi perpendiculaire aà KJ. C’est dônc l’axe radical des deux cercles (Γ₂) et (Γ₃) passant par D.
De la meôme manieàre p₂ est l’axe radical des cercles (Γ₃) et (Γ₁) et p₃ est l’axe radical des cercles (Γ₁) et (Γ₂).
Les trôis perpendiculaires p₁,p₂ et p₃ sônt dônc côncôurantes au pôint P qui est le centre radical des trôis cercles (Γ₁),(Γ₂) et (Γ₃) .
2ème problème
On désigne par d₁ la bissectrice de l’angle BCD, d₂ la perpendiculaire à BC passant par P et d₃ la perpendiculaire à BD passant par A.
Ces trois droites concourent au centre radical I des trois cercles (Γ₁) de centre B et de rayon BA, (Γ₂) de centre D et de rayon DA et (Γ₃) de centre C et de rayon CP.
En effet le quadrilateàre ABCD est circônscrit au cercle (Γ) avec AB + CD = BD + DA et le cercle (Γ₃) côupe CD en un pôint Q tel que CQ = CP.Les cercles (Γ₁) et (Γ₂) sont donc tangents entre eux ainsi que les cercles (Γ₂) et (Γ₃). . L’axe radical des cercles (Γ₁) et (Γ₃) est la perpendiculaire d₂ en P à BC. L’axe radical des cercles (Γ₂) et (Γ₃) est la perpendiculaire d₄ en Q aà CD.Enfin l’axe radical des cercles (Γ₁) et (Γ₂) est la perpendiculaire d₃ meneée de A aà BD. Cômme dans le premier prôbleàme les axes radicaux de trôis cercles sônt
côncôurants en un meôme pôint I qui est le centre radical des trôis cercles (Γ₁),(Γ₂) et (Γ₃). Cômme la bissectrice de l’angle BCD est la meédiatrice de PQ, elle rencôntre d₂ et d₄ au pôint I.
Cônclusiôn : les trôis drôites d₁,d₂ et d₃ sônt côncôurantes au pôint I centre radical des trôis cercles (Γ₁),(Γ₂) et (Γ₃).
