APPROCHE PASCALIENNE DE L'HYPERBOLE ÉQUILATÈRE

APPROCHE PASCALIENNE DE

L'HYPERBOLE ÉQUILATÈRE

La leçon alimente le cerveau…

Le cours nourrit le cœur…

Jean-Louis AYME ¹

A

B C

F

I H D K

E

R S T

Résumé. L'auteur présente un point de vue, voire un regard sur l'hyperbole équilatère.

Les figures sont toutes en position générale et tous les théorèmes cités peuvent tous être démontrés synthétiquement.

Abstract. The author presents a point of view about a rectangular hyperbola.

The figures are all in general position and all cited theorems can all be proved synthetically.

…

1 St-Denis, Île de la Réunion (Océan Indien, France), le 29/08/2020 ; [email protected]

Sommaire

A. Approche pascalienne de l'hyperbole équilatère 3

I. Approche pascalienne 3

1. Hexagramma mysticum ou le lemme de Blaise Pascal 3

2. Généralisation du lemme aux coniques 5

3. Propriété fondamentale d'une conique 6

II. Hyperbole H 7

1. Génération d'une hyperbole H 7

2. Le centre O de H 8

3. Une corde de H 10

4. Le triangle autopolaire de H 12

III. Hyperbole équilatère H* 13 1. Génération d'une hyperbole équilatère H* 13

2. Le centre O de H* 14

3. Deux cordes supplémentaires 16

IV. L'hyperbole équilatère H*p 17 1. Génération de l'hyperbole équilatère H*p 17

2. Le point P' 19

3. Le point final Q' 20

B. Appendice 21

1. Un quaterne harmonique 21

C. Annexe 22

1. Diagonales d'un quadrilatère complet 22

D. Lexique Français-Anglais 23

A.APPROCHE PASCALIENNE DE

L'HYPERBOLE ÉQUILATÈRE

I. APPROCHE PASCALIENNE

1. Hexagramma mysticum ou le lemme ² de Blaise Pascal

VISION

Figure :

A

B

C D

E F

K I

H

0

Traits : 0 un cercle,

A, B, C, D, E les cinq points de 0,

F un point

et I, K, H les points d'intersection de (EF) et (BC), (AF) et (CD), (AB) et (DE).

Donné : F est sur 0 si, et seulement si, I, K et H sont alignés. ³

Terminologie : si, F est sur 0 alors, (1) l'hexagone ABCDEF est "un pascal inscrit à 0"

(2) (IKH) est "la pascale de ABCDEF".

Énoncé traditionnel : si, un pascal est inscrit à un cercle

alors, les intersections de ses côtés opposés sont alignés.

Note historique : l'auteur de l'appellation à la fois rayonnante et fascinante de ce résultat est Gottfried Wilhelm Leibnitz (1646-1716).

Il se peut que Blaise Pascal a eu connaissance de l'hexagone sectoriel de

2 résultat sur lequel on s'appuie pour conduire à un développement plus important

3 Pascal B. (1623-1682)

Ayme J.-L., Hexagramma mysticum, G.G.G. vol. 12, p. 4-8 ; https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

Pappus d'Alexandrie (300-380) et qu'il a eu l'ingénieuse idée à l'âge de 16 ans de remplacer ses deux frontières par un cercle. Cependant, nous n'avons aucune indication concernant sa démonstration…

Notation des côtés d'un pascal

A

B

C D

E F

I K H

0 1

2

3 4

5 6

Les côtés successifs du pascal ABCDEF inscrit à 0 sont, à partir de A, notés 1, 2, 3, 4, 5, 6.

A

B

C D

E F

K I

H

0 1

2

3 4

5 6 Ta

Supposons que A, B, C, D, E restant fixes, F se rapproche indéfiniment de A.

A, F

B

C D

E

H

0

1 2

3 4

6

K 5

I Ta

(AF) a pour limite la tangente en A à 0, notée Ta i.e. 6, et [EF] a pour limite le côté [EA].

I, K, et H étant alignés, le lemme de Pascal ne cesse d'être vrai. .

2. Généralisation du lemme aux coniques

4

Rappelons que des géomètres grecs comme Apollonius de Perge ⁵ se sont beaucoup occupés des sections déterminées dans un cône à base circulaire par des plans de direction quelconque, et ont réuni ces courbes planes sous le nom de ''sections coniques''.

4 https://www.maths-et-tiques.fr/index.php/detentes/les-coniques

5 Apollonius de Perge (262-190 av. J.-C.)

Selon que le plan sécant rencontre une seule nappe ou les deux nappes du cône, nous obtenons l'ellipse ou l'hyperbole comme cas intermédiaire ; si le plan sécant est parallèle à une génératrice du cône, la section est une parabole

Blaise Pascal dans son Essai sur les coniques (1640) qui n'a revu le jour qu'en 1779 par les soins de l'abbé Charles Bossut (1730-1814) et qui ne nous est pas parvenu, se servait des principes de la perspective conique, pour engendrer les coniques par le cercle et généraliser son résultat :

si, un pascal est inscrit à une conique

alors, les intersections de ses côtés opposés sont alignés.

L'abbé Charles Bossut dans son édition complète des Œuvres de Pascal donnera en sept pages, une courte synthèse de cet Essai.

3. Propriété fondamentale d'une conique

Cinq points en position générale déterminent une conique et

un pascal inscrit à celle-ci renvoie à un sixième point.

II. HYPERBOLE H

1. Génération d'une l'hyperbole H

Départ : une conique et un pascal ABCDEF inscrit à celle-ci.

F

K I

A

E

H B

D C

Condition : cette conique a deux branches infinies ce qui revient à dire que

ABCDEF a deux de ses sommets à l'infini, par exemple E et F.

F

K I

A

H B

D

E

I I

C 1 2

4 5 6

3

(EF) devient la droite à l'infini.

Conséquence : le point I, intersection de (EF) et (BC), est à l'infini sur (EF) ce qui revient à dire que

la pascale (HK) de ABCDEF est parallèles à (BC).

Terminologie : cette conique est une hyperbole notée H.

2. Le centre O de H

F

K A

H

B D

E

C

S

R

1 4

6 3

Par construction géométrique,

H a un centre de symétrie qui est le point d'intersection de ses deux asymptotes ; (AF) et (DE) étant adjacentes à (EF) sont resp. parallèles à ses deux asymptotes.

Notons ∆1, ∆2 les asymptotes de direction resp. (AF), (DE) et O le point d'intersection de ∆1 et ∆2.

Nous pouvons considérer ∆1 et ∆2 comme deux tangentes dont

les points de contact avec H sont resp. à l'infini i.e. F et E.

Notons R le point d'intersection de (AF) et (DE),

et S le point d'intersection de la parallèle à ∆2 issue de A avec la parallèle à ∆1 issue de D.

D'après le lemme de Blaise Pascal,

(ROS) est la pascale de l'hexagone inscrit dans H

de côtés successifs [AS], ∆2 ou 2, [DE] ou [DR], [DS], ∆1 ou 5, [AF] ou [AR].

Conclusion : (RS) passe par O.

Scolie : réitérons cette construction avec le sommet B

F

K A

H B

D

E

C

S

R

T

V

W

U O

O O

Conclusion : O est le point de concours de (RS), (TV) et (WU). ⁶

6 Ayme J.-L., Une rêverie de Pappus d'Alexandrie, G.G.G. vol. 6, p. 20-22 ; https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

3. Une corde de H

Pour une meilleure lisibilité de la figure,

H passe par les points A, B, C, D et admet E et F pour points à l'infini, (AF) ou ∆1, (DE) ou ∆2 étant les directions de ses asymptotes.

A

B C

F K

I H

D

E R

S O

Y

Z

B'

A'

Considérons les points A et D de H ainsi que la droite à l'infini (EF).

Notons O le centre de H,

Y, Z les points d'intersection de (AD) resp. avec ∆1, ∆2, A' le point d'intersection de (OZ) et (AF),

et B' le point d'intersection de (OY) et (DE).

D'après le lemme de Pascal appliqué à H

et au pascal de côtés [AD], [DE[ ou 2, ]EO] ou ∆2 , (EF), ]FO[ ou ∆1, ]FA], (AB) // (B'A').

Une chasse segmentaire :

* le quadrilatère AYB'A' étant un parallélogramme, AY = A'B'

* le quadrilatère DZA'B' étant un parallélogramme, A'B' = DZ

* par transitivité de =, AY = DZ.

Conclusion : [YZ] et [AD] ont même milieu.

Énoncé traditionnel : toute hyperbole et ses asymptotes découpent sur toute sécante (AB) commune

deux segments qui ont même milieu ⁷.

7 F.G.M., Exercices de Géométrie, 6th ed., 1920, Rééditions Jacques Gabay, Paris (1991), n° 174. p. 80 Lebossé C. et Hémery C., Géométrie Classe de Mathématiques (1962), réed. Jacques Gabay, n° 506, p. 331 Ayme J.-L. Same midpoint, AoPS du 13/08/2020 ;

https://artofproblemsolving.com/community/c6h2232836_same_midpoint

4. Le triangle autopolaire de H

A

B C

F W

I H K

D

E

U

V

U'

U"

Notons UVW le triangle orthique de ABC

et U', V' les conjugués de U relativement à [AD], [BC].

D'après Pappus d'Alexandrie ''Diagonales d'un quadrilatère complet'' ⁸ (Cf. C. Annexe 1) appliqué à ABCD, le conjugué de U relativement à [AD], [BC] est sur (VW)

et circulairement.

Terminologie : (1) UVW est ''le triangle diagonal du quadrilatère ABCD''.

(2) UVW est ''autopolaire'' ou ''conjugué'' par rapport à H.

III. HYPERBOLE ÉQUILATÈRE H*

1. Génération d'une l'hyperbole équilatère H*

A

B C

F

I H D K

E

Condition : A, B et C étant trois points arbitraires de H, fixons D tel que (AB)⊥(CD) et (DE)⊥^(FA).

Les directions (AF) et (DE) des asymptotes étant perpendiculaires, cette hyperbole est ''équilatère'' et est notée H*.

Conséquences : (1) (AD) est la A-hauteur du triangle AEH (2) D est l'orthocentre du triangle ABC.

Énoncé traditionnel ou le théorème de Brianchon-Poncelet ⁹ :

une hyperbole circonscrite à un triangle est équilatère si, et seulement si,

elle passe par l'orthocentre.

9 Brianchon C. J., Poncelet J.-V., Recherche sur la détermination d'une hyperbole équilatère au moyen de quatre conditions données, Annales de Mathématiques pures et Appliquées (1821-1822) 233-25 ;

Annales Mathématiques de Montpellier vol. XI (01/01/1821) 504-516 ; théorèmes VII, p. 511

2. Le centre O de H*

A

B C

F

I H D K

E

R S T

Considérons deux cordes de H*, par exemples [BA] et [BC].

Notons RST le triangle médian de ABC.

Conclusion partielle : <RBT = <TSR.

A

B C

F

I H D K

E

Q

R S T

O

X

Y

Z

Notons Q le point d'intersection de (DH) et (AK), O le centre de H,

X, Y le point d'intersection de la parallèle à (DH) issue de O resp. avec (BC), (BA) et Z le point d'intersection de la parallèle à (AK) issue de O avec (BA).

Rappel (Cf. A. II. 3.) : toute hyperbole et ses asymptotes découpent sur toute sécante (AB) commune

deux segments qui ont même milieu ¹⁰.

Conséquences : le triangle ROX étant R-isocèle, <XOR = <RXO ; par une autre écriture, <YOR = <BXY.

Le triangle TOY étant T-isocèle, <TOY = <OYT ; par une autre écriture, <TOY = <XYB.

par addition angulaire, <TOY + <YOR = <BXY + <XYB = par réduction, <TOR = <XBT

par une autre écriture, <TOR = <RBT.

Nous avons : <TOR = <TSR.

Notons 1 le cercle d'Euler de ABC ¹¹

Conclusion : d'après ''Le théorème de l'angle inscrit'', O est sur 1.

Scolie :

A

B C

F

I H D K

E

Q

R S T

A*

O

Y

Z

X 1

Notons A* le milieu de [AD] ¹².

Par parallélisme et le rappel précédent, A*, Q et O sont alignés.

10 F.G.M., Exercices de Géométrie, 6th ed., 1920, Rééditions Jacques Gabay, Paris (1991), n° 174. p. 80 Lebossé C. et Hémery C., Géométrie Classe de Mathématiques (1962), réed. Jacques Gabay, n° 506, p. 331 Ayme J.-L. Same midpoint, AoPS du 13/08/2020 ;

https://artofproblemsolving.com/community/c6h2232836_same_midpoint

11 C'est le cercle circonscrit au triangle médian RST de ABC

12 A* est le A-point d'Euler de ABC

Conclusion : 1 passant par A*, O est le second point d'intersection de (A*Q) avec 1. ¹³

3. Deux cordes supplémentaires de H*

.

A

B C

F

I H D K

E

Q

R S T

A*

O

Y

Z

X

1 A'

Notons A' le symétrique de A par rapport à O.

O étant le centre de symétrie de H*, (1) A' est sur H*

(2) [AA'] est un diamètre de H*

(3) [BA] et [BA'] sont ''supplémentaires''.

D'après A. II. 3., T étant le milieu [AB] et [YZ],

d'après Thalès de Milet ''La droite des milieux''

appliqué au triangle BA'A, (BA') // (OT).

(OZ) et (OY) étant les asymptotes perpendiculaires de H*,

le triangle OYZ étant T rectangle ; en conséquence le triangle YOT est T-isocèle.

Conclusion : <TOY = <OYT.

Énoncé traditionnel ¹⁴: un point M appartient à une hyperbole équilatère de diamètre [AB]

si, et seulement si,

[MA] et [MB] sont également inclinées sur les asymptotes.

IV. HYPERBOLE H*p

1. L’hyperbole équilatère H*p

A

B C

F W

I H D K

E

Q A*

O

1 1a

U

V

P

O*

1*

Q*

Notons UVW le triangle orthique de ABC, 1a le cercle de diamètre [AD], P un point de [VW],

1* le cercle passant par U et tangent à (VW) en P, O* le second point d'intersection de 1 et 1*, et Q* le point d'intersection de [A*O*[ avec 1a.

En conséquence, Q est sur 1a.

A

B C

W D A*

1 1a

U

V

P

O*

1*

Q*

H* K*

I*

E*

Condition : lorsque Q est en Q*, O est en O*

Notons H*p l'hyperbole équilatère passant par P.

Conclusion : H*p a pour centre O* et pour directions asymptotiques perpendiculaires (Q*A) et (Q*D).

2. Le points P'

A

B C

W D A*

1 1a

U

V

P O*

1*

Q*

H* K*

I*

E*

P*

P'

(UV) est la polaire de W relativement à H*p

Notons P' le conjugué harmonique de P relativement à [VW], P* le milieu de [PP']

et 1'* le cercle passant par U et tangent à (VW) en P'.

Nous savons que le quaterne (V, W, P, P') est harmonique.

Conclusion : P' est sur H*p.

Scolie : d'après B. Appendice 1, U, O* et P* sont alignés

3. Le point final Q'

A

B C

W D A*

1 1a

U

V

P O*

1*

Q*

H* K*

I*

E*

P*

P'

Q'

Notons Q' le symétrique de P par rapport à O*.

Conclusion : O* étant le centre de symétrie de H*p, Q' est sur H*p.

B. APPENDICE

1. Un quaterne harmonique

VISION

Figure :

A

B P C

Q

T P'

0

1a

1'a

Traits : ABC un triangle,

0 le cercle circonscrit à ABC, I le centre de ABC,

P un point de [BC],

P' le conjugué harmonique de P relativement à [BC], T le milieu de [PP'],

1a le cercle passant par A et tangent à [BC] en P, Q le second point d'intersection de 1a et 0, et 1'a le cercle passant par A et tangent à [BC] en P',

Donné : A, Q et T sont alignés si, et seulement si, le quaterne (B, C, P, P') est harmonique .

VISUALISATION NÉCESSAIRE

• D'après Jakob Steiner ''Puissance'' appliqué au cercle

* 0, TB.TC = TA.TQ

* 1a, TA.TQ = TP²

* par transitivité de =, TB.TC = TP² (ou TP'²).

• Conclusion : d'après Isaac Newton ''La relation'', le quaterne (B, C, P, P') est harmonique.

VISUALISATION SUFFISANTE

Elle est laissée aux bons soins du lecteur.

C. ANNEXE

1. Diagonales d'un quadrilatère complet¹⁵

VISION

Figure :

A

F E

D B

H

C

G

Traits : ABCD un quadrilatère,

E, F les points d'intersection resp. de (AD) et (BC), (AB) et (CD), et G, H le point d'intersection resp. de (AC) et (EF), (BD) et (EF).

Donné : le quaterne (E, F, G, H) est harmonique.

Énoncé traditionnel :

dans tout quadrilatère, une diagonale est coupée harmoniquement par la deuxième et par la droite

qui joint le point de concours des côtés opposés.

D. LEXIQUE FRANÇAIS - ANGLAIS

A

aligné collinear

annexe annex

axiome axiom

appendice appendix

adjoint associate

a propos by the way btw

acutangle acute angle

axiome axiom

B

bissectrice bisector

bande strip

C

centre incenter

centre du cercle circonscrit circumcenter

cercle circonscrit circumcircle

cévienne cevian

colinéaire collinear

concourance concurrence

coincide coincide

confondu coincident

côté side

par conséquence consequently

commentaire comment

D

d'après according to

donc therefore

droite line

d'où hence

distinct de different from

E

extérieur external

F

figure figure

H

hauteur altitude

hypothèse hypothesis

I

intérieur internal

identique identical

i.e. namely

incidence incidence

L

lemme lemma

lisibilité legibility

M

mediane median

médiatrice perpendicular bissector

milieu midpoint

N

Notons name

nécessaire necessary

note historique historic note

O

orthocentre orthocenter

ou encore otherwise

P

parallèle parallel

parallèles entre elles parallel to each other

parallélogramme parallelogram

pédal pedal

perpendiculaire perpendicular

pied foot

point de vue point of view

postulat postulate

point point

pour tout for any

Q

quadrilatère quadrilateral

R

remerciements thanks

reconnaissance acknowledgement

respectivement respectively

rapport ratio

répertorier to index

S

semblable similar

sens clockwise in this

order

segment segment

Sommaire summary

symédiane symmedian

suffisante sufficient

sommet (s) vertex (vertice)

T

trapèze trapezium

tel que such as

théorème theorem

triangle triangle

triangle de contact contact triangle triangle rectangle right-angle triangle