A558 – La saga de la somme des carrés (1er épisode) Problème proposé par Dominique Roux
Q1 : Combien existe-t-il de suites de 49 entiers consécutifs dont la somme des carrés est un carré parfait?
Q2 : Peut-on trouver 61 entiers consécutifs dont la somme des carrés est un carré parfait?
Solution proposée par Patrick Gordon Q1
Appelons (a+1) le premier entier de la suite, qui s'écrit donc : (a+1), (a+2)… (a+49).
En développant la somme des carrés des 49 termes, il vient : S = 49 a² + 2450 a + 40.425
Comme 49 (qui est lui-même un carré parfait) se met en facteur, nous voulons que : S/49 = a² + 50 a + 825
soit un carré parfait, disons N².
Posons x = a + 25, d'où : x² = a² + 50 a + 625 La condition s'écrit alors :
x² + 200 = N².
Ou encore :
N² – x² = 200.
Il y a autant de solutions que de façons de décomposer 200 en deux facteurs (N+x) et (N–x) de même parité.
Les solutions sont :
N+x 100 50 20
N–x 2 4 10
N 51 27 15
x 49 23 5
a+1 25 -1 -19
C’est-à-dire, les 3 suites :
25, 26…
–1, 0…
–19, –18…
On notera, en effet, que l'énoncé n'impose pas que les entiers soient positifs.
Q2
Appelons là encore (a+1) le premier entier de la suite, qui s'écrit donc : (a+1), (a+2)…
(a+61).
En développant la somme des carrés des 61 termes, il vient : S = 61² a² + 61 × 62 a + 31 × 41 × 61.
La même idée qu'à la question 1 conduit à poser : y = 61 a + 31, d'où : y² = 61² a² + 61 × 62 a + 31² La condition s'écrit alors :
y² + 31 × 41 × 61 – 31² = N².
Ce qui conduit à :
N² – y² = 31 × 2470 = 2 × 5 × 13 × 19 × 31.
Comme 2 intervient à la puissance 1 dans le second membre, il n'est pas possible de le décomposer en deux facteurs (N+y) et (N–y) de même parité.
Le problème n'a donc pas de solution.
