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Clément Sire

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Academic year: 2021

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Texte intégral

(1)

Voyage en première classe au pays des nombres

« Des calculi mésopotamiens à la fonction zêta »

Clément Sire

Laboratoire de Physique Théorique

CNRS & Université Paul Sabatier Toulouse, France

www.lpt.ups-tlse.fr/clement

(2)

 La théorie des nombres (l’arithmétique) étudie les propriétés des nombres entiers

 Les nombres sont à la fois la base des

mathématiques, mais savoir « compter » a aussi accompagné l’essor de l’humanité

-30000 : Présence d'entailles numériques

-8000 : Apparition des calculi au Moyen Orient

Introduction

Calculi sumérien en base 60

(3)

-3300 : Premiers chiffres (sunia → sifr → zefiro → zéro)

à Sumer (~Iraq) et en Élam (~Iran). Naissance de l'écriture et de la

numérotation écrite

-300 à +500 : apparition de la graphie moderne et de la numération de position (Inde → Moyen Orient arabe → Afrique du Nord → Espagne maure)

Introduction

(4)

 La théorie des nombres a initié le

développement des mathématiques et est à l’origine de nombre de ses sous domaines

 A l’inverse, les outils les plus complexes des mathématiques sont revenus

contribuer à notre compréhension des propriétés des nombres entiers !

 Des applications directes aujourd’hui en cryptographie, informatique (« hashing »,

générateurs de « nombres aléatoires »…)…

Introduction

(5)

 La théorie des nombres présente une esthétique fascinante, s’attachant aux éléments les plus

« simples » des mathématiques, au caractère

universel, qui nous accompagnent tout le long de notre vie

 Contrairement à la plupart des autres branches des mathématiques, de nombreux problèmes centraux en théorie des nombres peuvent être exposés aux néophytes, même s’ils n’ont pas encore été

résolus par les mathématiciens, et même s’ils impliquent en fait des outils et méthodes

mathématiques extrêmement sophistiqués

Introduction

(6)

-800 : équations diophantiennes en Inde

-600 à -200 : l’âge d’or des mathématiques grecques (Pythagore, Diophante…)

500-700 : le retour de l’Inde (Aryabhata, Brahma- gupta…)

800-1400 : prééminence des mathématiciens arabes (Thabit ibn Qurra, Al-Baghdadi, Al-Haytham ou

Alhazen…) et perses (Al-Farisi…)

À partir de 1600 : la théorie des nombres prend son essor en Europe (Viète, Fermat, Euler, Lagrange,

Legendre, Gauss, Dirichlet, Jacobi, Kronecker, Kummer,

Riemann, Tchebychev, Landau, Ramanujan, Serre, Wiles...),

avant de s’internationaliser (USA, Japon...)

Un bref historique

(7)

Quelques icônes de la théorie des nombres

Diophante Aryabhata Brahmagupta Thabit ibn Qurra Al-Haytham

Fermat Euler Lagrange Gauss Legendre

(8)

 Le « dernier théorème de Fermat » (Wiles 1994)

Quelques problèmes célèbres

« … J’ai trouvé une merveilleuse démonstration de cette

proposition. Mais la marge est trop étroite pour la contenir. » Pierre de Fermat (~1595-1665)

Il n'existe pas de nombres entiers non nuls x, y et z tels que :

x

n

+ y

n

= z

n

dès que n >2

Contributions majeures de Euler, Legendre, Cauchy, Dirichlet, Germain, Lamé, Kummer, Hellegouarch, Langlands, Shimura, Taniyam, Weil, Frey, Serre, Ribet…

Les outils et méthodes impliqués sont d’une sophistication les plaçant à la pointe des mathématiques actuelles

(9)

 Le « dernier théorème de Fermat » (Wiles 1994) : liens avec les « triplets pythagoriciens » et la géométrie (n=2)

Toutes les solutions entières de s’écrivent sous la forme

avec et entiers

Exemple :

Quelques problèmes célèbres

2 2 2

xyz

2 2

2 2

2 x p y pq z p q

  q

 

 

p q

3, 1 8, 6, 10

p q   x y z

Plimpton 322 (Iraq -1800)

z y x

( pq)

(10)

 Un question majeure en mathématiques (liée à

« l’analyse ») est de savoir si certains nombres sont irrationnels (ne peuvent s’écrire comme p/q), ou

même « transcendants » (non solution d’un polynôme à coefficients entiers)

Exemples (Leibniz, Lambert, Euler, Hermite, von Lindemann, Shimura…):

Irrationalité de nombres remarquables

2

0

2 /

2 ( 2 0)

1 1 1 1 1

... 2, 718...

1! 2! 3! 4! !

, , (3), , log( / )... ( /

• 2

1

est irrationnel mais pas transcendant

est transcendant est transcendant (l'impossible quadrature du cercle !)

fra

n

p q

x n

e e p q q

e

p

 

 

 

, , log( ), , , log(2) log(3), (

5) ???

ction d'entiers) sont transcendants et donc irrationnels

e e

e e   e

(11)

 La « conjecture 3n+1 » (Collatz 1937)

On part d’un entier n quelconque

Si n est pair : n → n/2

Si n est impair : n → (3n+1)/2

On recommence, sauf si on atteint n=1

Conjecture : pour tout n initial, cette suite retourne à n=1

« Démonstration » :

Quelques problèmes célèbres

« Les mathématiques ne sont pas encore mûres pour ce type de problèmes » – Paul Erdös

/ 2 / 2 / 2

0 0

(1 / 2)k (3 / 2)k (3 / 4)k

k n

n n

log( 0) 2 log(4 / 3)

fin

k n

(12)

 est l’aire entre 1 et sous la courbe

 Il existe un unique nombre

tel que

 Si ( ; « l’exponentielle »), ), alors inversement, on a

 Si et , on a

et donc

 Si , et comme , on a et donc

La fonction logarithme (Napier 1614 ; Euler 1730)

e

1

1

x ey

xey

2

2

x ey

1 2 1 2

1 2

y

y y y

e e

x e

x

log( )x y 1/ x

log( ) 1e 0

1 1 1 1 1

1! 2! 3! 4! ... ! 2.7182818284. .

1 .

n n

e

   

x

log( ) yx

1 2 log 1 log 2

log(x x ) ( )x ( )x

x ay a elog( )a

log( )

y a

e x

log( ) log( )

y x

a log(1) 0; log( ) 1e

log( )

y x

0 !

k

k y

k e y

) lo

( )

og (

l an  n g a

(13)

Définition : un nombre premier n’est divisible que par lui-même (et par 1, bien sûr)

Exemples : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97,…, 257 885 161 – 1 (17 425 170 chiffres ; ~1080 atomes dans l’univers observable),…

 Il existe une infinité de nombres premiers

 Ils forment les « briques élémentaires »

de l’ensemble de tous les entiers et, sont donc les objets les plus importants de la théorie des nombres

 Ils sont de plus en plus « rares » parmi les grands nombres

Les nombres « premiers »

(14)

 Supposons qu’il n’existe que n nombres premiers

 Mais alors, les deux nombres

ne sont divisibles par aucuns des n nombres

premiers, et sont donc tous les deux premiers ! (et plus grands que )

 Cette contradiction avec notre hypothèse initiale implique qu’il existe une infinité de nombres

premiers (Euclide ~-300)

L’infinitude des nombres premiers

1, p2,..., n

p p

1 2

1

... 1

2 3 4... 1 ! 1

n

n n

p p

p p

P p Q

 

    

 

pn

(15)

Tout nombre est décomposable (ou factorisable) de façon unique en produit de nombres premiers

Comment factoriser un nombre en facteurs premiers ?

Force brute: le diviser successivement par les nombres premiers inférieurs (si n’est divisible par aucun nombre premier inférieur à , est alors premier)

Algorithme de Shor (cryptographie)

Exemples: factorisez 12276 et 197

(Rappel : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47,…)

Les nombres premiers vus comme

« briques élémentaires »

1 2

1a p2a ... kak (ai 1, i 1,..., )k np    p  

n

n

n n

2 2 1 1

1 2

3 11 31

2 12276 2

197 197 est premier ( rra êt après 13, car 17 89)

 

(16)

Définition : deux nombres et sont premiers entre eux (PEE) si et seulement si le plus

grand diviseur commun (PGCD) est 1

 Pour trouver le PGCD, il suffit de compter les facteurs premiers en commun entre et

Exemples :

PGCD

n1 n2

3 1

1 2

2 1

3 1

1

1 2

2 2 2

2 1

2

2 1

1 2

3 7

51 1

3

24 2 245 5

5

120 2 5 252 2 3 7

2 12

3 / 12 10 / 12 21)

1

2 12 ( ;

et

sont premiers entre eux et et

ne sont pas premiers entre eux et avec comme PGCD

n n

n n

n

n n

n n

n

   

   

 

 

 

 

n1 n2

1 2 ( ,1 2)

Il existe des entiers relatifs tels que an bn PGCD n n

(théorème de Bachet-Bézout 1624)

(17)

 Si on prend deux nombres entiers et au hasard, quelle est la « probabilité » pour qu’ils soient

premiers entre eux (PEE) ?

 est la probabilité pour qu’il ne soient pas PEE

 La probabilité pour que leur PGCD soit est que divise et , et que et soient PEE Cet événement a comme probabilité

 Au total,

Arithmétique et « probabilités »

P2

1 P2

n1 n2

n1 n2 n n1 / n2 / n n

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

2

2 2

1 1

...

1 / 1 / (

1 1

2

2),

3 4 5

( ) 1

1 avec

n

n n

x

P P P P P

P n

P x

n n

 

 

2

2 2

1 1 P

n  n P n

n

(18)

 Plus généralement, la probabilité pour que nombres soient PPE est

ou est la fonction zêta de Riemann, omniprésente en théorie des nombres

Expériences : par deux, choisissez chacun un nombre au hasard entre 2 et 61. Nous

compterons le pourcentage de paires PPE, qui devrait être proche de 60%

Les nombres premiers

1

1/ 1 1/ ( )

k k

n

P k

n

( )k

k

2 4

(2) , (4) ... ; (3)

6 90 (Euler) est irrationnel (Apéry 1978)

2 2

(P 1 / (2) 6 0.6079...)

(19)

 On définit

« Théorème des nombres premiers »

(La Vallée Poussin & Hadamard 1896)

« Théorème des nombres premiers » amélioré

(La Vallée Poussin 1899)

Les nombres premiers se font de plus en plus rares !

( ) ,

( ) #

En particulier, si est le -ième nombre premier

de nombres premiers

n n

p n p n

n n

  

log( ) ,

( ) quand n

n n n

   

0

li( ),

log( )

( )

n

n quand n

x n dx

     

(20)

Erreur Relative (%)

102 25 3 15

104 1 229 143 13

106 78 498 6 116 8,4

109 50 847 534 2 592 592 5,4

1012 37 607 912 018 1 416 705 193 3,9

1018 24 739 954 287 740 860 612 483 070 893 536 2,5 1023 1 925 320 391 606 803 968 923 37 083 513 766 578 631 309 2,0

n (n)

) lo ( ( g )n

n n

Erreur Relative (%)

102 25 5 20

104 1 229 17 1,3

106 78 498 130 0,17

109 50 847 534 1 701 3,3×10-3

1012 37 607 912 018 38 263 1,0×10-4

1018 24 739 954 287 740 860 21 949 555 8,9×10-8

1023 1 925 320 391 606 803 968 923 7 250 186 216 4,0×10-10

n (n) li(n)  (n)

(21)

 est une mesure de la

« probabilité » pour que soit premier

Pour des grands , le théorème des nombres premiers implique (en moyenne)

 Il donne aussi une estimation du -ième nombre premier, quand est grand :

Conséquences du

théorème des nombres premiers

( ) 1

) ( )

( n

P n    n

n

1 log( )

( ) n

P n

n

n

( )

l (

) og

n

log( )

n

n n

p

p n p p n n

    

n

(22)

 Tout nombre entier pair supérieur à 3 peut s’écrire comme la somme de 2 nombres premiers

Exemples : 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 3 + 7 = 5 + 5, 12 = 5 + 7,…, 50 = 19 + 31 = 13 + 37 = 7 + 43 = 3 + 47,…

« Preuve probabiliste » (aucune preuve connue)

Conjecture de Goldbach (1742)

2

/ 2 2

3

1 1

( )

log( ) log( ) ( )

1 1

( ) log( ) log(

( ), ( )

( )

Le nombre de façons d'écri La probabilité que

re comme la somm avec et premi

e de deux nombres premiers est d

ers est

onc

n

p

P n p

p n p

N n

n p

n

N n p

n p p n p

P

p p

n

  

) log ( )n2 n 1

(23)

 Pour tout , il existe une infinité de nombres premiers tels que est aussi premier

Exemples : (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109), (137, 139),…, 2003663613×2195000 ± 1 (58711 chiffres ; Vautier 2007),…,

3756801695685×2666669 ± 1 (200700 chiffres ; PrimeGrid 2011),…

Meilleurs résultats rigoureux connus

Le nombre de jumeaux inférieurs à est borné par

(Brun 1911)

Il y a une infinité de jumeaux pour au moins un millions (Zhang 2013 ; borne améliorée à 2707 par le projet Polymath)

Conjecture des nombres premiers

« jumeaux » et de Polignac (1849)

1 k

p p 2k

n 2

log ( ) n

n

35 k

(k 1)

k

(24)

« Preuve probabiliste » (aucune preuve connue)

Conjecture des nombres premiers jumeaux et de Polignac (1849)

3

2

1 1

( )

log( ) log( ) ( )

2 ( )

1 1

( ) log( ) log( 2

2 2

) log ( )

Le nombre de jumeaux inférieurs à est donc

La probabilité que et soient premiers e

Conjecture de Hard de l'ord

st

y re

n k

p

k k

P p

J n k n

p p k

P p p k

p k

n k C

p p

J n

n

1 2

3

( 2)

2 ( 1) 1, 3203236316937...

-Littlewood (1911)

p p

C p p

p

P

(25)

Nombres premiers de Fermat

Une conjecture « numérique » de Gauss

(liée au théorème de La Vallée Poussin de 1899)

On ne connaît pas de contre-exemple explicite, mais il a été démontré qu’il existe au moins un qui contredit cette inégalité

Deux conjectures fausses

0 1 2 3 4

5

3, 5, 17, 257 , 65 537

4 294 967 297 641 6 700 417

sont premiers,

mais... (Euler 1732)

F F F F F

F

22n 1 Fn  

( )

0

li( )

log( )

n

du

n n

   u

10350

n

(26)

Les nombres de Mersenne s’écrivent sous la forme

Ils sont des bons candidats pour former des nombres

premiers. Leur intérêt est qu’il existe des algorithmes très rapides pour vérifier si est premier (Lucas 1878 ; Lehmer 1930)

Avec les progrès de l’informatique, les plus grands

nombres premiers connus sont des nombres de Mersenne (48 connus en 2013) :

Les nombres de Mersenne (1588-1648)

2

p

1, où est premier M

p

  p

M p

127 521

1398269 578851

19 3

61

524 287 1 2 147 483 647

39 157

17 42 420 9 1

5 1 2

70

chiffres chiffres

chiffres

(Cataldi 1588), (Euler 1750),

(Lucas 1876), (SWAC 1952),

(GIM chiff

PS 199 res

6),

(GIMPS 01/2013 ;

M M

M M

M M

360000 processeurs),...

(27)

Liens entre la fonction zêta de Riemann et les nombres premiers : formule d’Euler

 

2 3

1

2 3 2 3 4

2 3 4

1 (

1 ...

1

1 ..

| 1,

( . 1 ...

...

1 )

1

somme géométrique)

Si | on a

En effet

,

k k

x x x x

x

x x x x x x

x

x x

x x x x

    

    

2 3 2 3

2 3 2

1

1 1 1 1

... ,

1 1 1 1

1 1 1 1

2

1 1 1 1 1 1

1 ... 1 ...

2 2 2

1 1 1 1 1

1 ... 1

3 5 7

3 3 3

5

1 1

5 5 7 7

1

qui peut s'écrire en développant en séries géométriques

s s s s

s s s s s s

s s s s

s k

s

k

p

 

  

 

 

 

Considérons

3

1 ... ...

7 s

(28)

Liens entre la fonction zêta de Riemann et les nombres premiers : formule d’Euler

2 3 2 3

2 3

1 1 1 1 1 1

1 ... 1 ...

2 2 2

1 1 1

1 ...

3 3 3

5 5 5

(unicité de la factorisation en facteurs premiers)

En développant ces produits, on obtient

s s s s s s

s s s

  

 

 

chaque entier une fois exacteme tn

2 3

2 3 2

1 1

1 1 1

1 ... ...

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 ...

2 2 2 2 2

1 1

7 7 7

3 5 3 7 3 5

3 4

1 1 1 1 1 1 1

1 5 6 7 8 ..

2 9 0 .

1

1 1 1

1

( )

s s s

s s s s s s s s s s s

s s s s s s s s s

k s

k s

n n

p

s

 

 

 

 

   

(29)

Fonction zêta de Riemann et fonction de Möbius

1 2

1 2

1 1 1 1

1 1 1 ...

1 1

1 ,

( )

..

1 2 3 5 7

.

( ) 0, 1

On définit alors la pour

si possède au moins un facteur premier avec

k

s s s

a

a a

s

k i p

i

ps

p s

n

n n p a

p p

     

           

 

fonction de Möbius

P

2

1

) ( ) 1,

( ) 1,

1 1

( ) 1

valent (divisible par un carré, comme

si est pair et tous les si

1

valent 1 On a clair

est impai ement

r et tous les

i i

i

s

k k

p

n k a

n k a

s p

   

1

( )

s n

n n

1 2 ( 1 2) ( )1 ( 2)

si et sont PPE, alors

(fonction arithmétique multiplicative)

n n n n n n

Remarque :

(30)

Fonctions de Möbius et de Mertens

1

2 2

2 1

2

( ) ( )

( ) ( ) 2 ( ) ( ) 6 ,

( )

On définit la

On a alors l'estimation

liée à la (Stieljes 1885 ; Mertens 1897) , qui a été pourtant

n

k n

k i j

M n k

M n k i j n

M n n

 

 

fonction de Mertens

conjecture de Mertens

 

... sans q

par Odlyzko et te Riele 1985 u'aucun contre-exemple

explicite ne soit connu ! À suivre. ..

infirmée pour une infinité de n

2

2

1 1

2 2

| ( ) | ( ) 6

( ) 1, ( ) 1 1

3 , ( ) 0 1 6

On peut montrer que

En admettant qu'il y ait, en moyenne, autant de

pour lesquels on a (ou ) avec

probabilité et avec probabilité

n n

k k

k k n

n

n n

n

   

 

(31)

Indicatrice d’Euler

1 2

2

1 2

1

1 2

( ) #

1 1 1

... ( ) 1 1 ... 1

d'entiers inférieurs à qui sont premiers avec S

On définit

i

Si et sont PPE, alo la

,

rs

ak

a a

k

k

p p p

n n n

n n n

p p p

n n

 

       

 

fonction indicatrice d'Euler

 

1 2 1 2

| |

2

2

2 2

1

1 1

( ) ( ) ( )

( 1)

( ) ; ( ) ;

( )

1 1 3

2 2

1 log log( ) 3

( ) log log( )

( 0, 5772156

( )

( ) ( ) # de paires

d n d n

s n

n n

k k

n n n n

d s

n n d n

s

n P

n e

n n

d

k n n

n

k k

n

 

       

  

 

Quelques propriétés remarquables :

649...)

(32)

 On définit formellement i tel que i2=-1

 Un nombre complexe général s’écrit , où et sont des nombres réels usuels

 On réalise les opérations usuelles (+,-,×,÷)

« normalement » :

Exercice :

Les nombres « complexes » (Cardan 1545, Bombelli 1572)

z  x iy x y

2

2

(2 3 ) (1 7 ) 3 4

(1 3 ) (2 5 ) 2 5 17

1 1 2 1 2 2

1 2 (1

6 15

2 )(1 2 ) 1 2 4 5

1 5 2

i

i

i i

i i

i i

i i i i

i i

i i

i i

     

 

     

    

1 2 e 1 2 2 2 5 0

Montrer que pou r x   i t x   i, on a x x  

(33)

 On peut représenter de façon naturelle le nombre complexe dans le plan (dit « complexe »)

L’addition de deux nombres complexes revient à une addition de vecteurs

Les nombres « complexes » : interprétation géométrique

z  x iy

2 2

) cos s n

( ( i )

(Pythagore) (la partie

(la partie

)

) r

réel x r

y r

le

imaginai x y

re

 

 

 

(34)

 On peut étendre la fonction zêta de Riemann aux nombres complexes , en posant

et en utilisant

L’ hypothèse de Riemann (1859) : le « Graal » des mathématiciens

log

0

0

1 log )

! (

!

car

z n

z

k x

k

k

k

e n

n k

e x

k

z

 

z  x iy

1

( ) 1z

n

z n

(35)

Interprétation géométrique : les zéros non triviaux de zêta sont tous sur la droite verticale

(la « ligne critique ») dans le plan complexe

( ) 0) 2, 4, 6

( )

, 8... )

1 2

(c'est-à-dire

(les zéros "triviaux" de

Et pour des nombres complexes de la forme k k z

z z

z iy

 

     

s'annule uniquement pour

L’ hypothèse de Riemann (1859) : le « Graal » des mathématiciens

1

x 2

1 14,135..., 2 21, 022..., 3 25, 011...

y y y

(36)

C’est l’un des 23 problèmes majeurs énoncés par Hilbert en 1902 (seuls 5 restent totalement non résolus, dont l’hypothèse de Riemann)

C’est l’un des 8 problèmes récompensés par un prix de 1 000 000$ par la Clay Foundation (seule la conjecture de

Poincaré a été résolue en 2003 par Perelman, qui a refusé le prix)

L’hypothèse de Riemann est confirmée numériquement, et 1013 zéros ont été identifiés (et calculés numériquement) sur la ligne critique, ainsi que quelques zéros pour des très grands yk (de l’ordre de 1024)

Si elle est vraie, l’hypothèse de Riemann aurait une multitude d’implications en théorie des nombres, et en particulier, sur notre compréhension de la répartition des nombres premiers

L’ hypothèse de Riemann (1859):

le « Graal » des mathématiciens

(37)

Bornes « optimales » de l’erreur de différentes estimations apparaissant en théorie des nombres

HR est équivalente à de nombreuses conjectures en théorie des nombres

Quelques conséquences de l’hypothèse de Riemann (HR)

1

| ( ) li( ) | 1 log( ), 2657

8

( ) ( )

pour tout On définit la

n

k

n n n n n

M n k

 

fonction de Mertens

1

HR | ( ) | 2 , 0

| ( ) | ,

implique pour tout et assez grand alors que pour une infinité de valeurs de

M n n n

M n n n

1

1 1 1 1 (

1 log( ) ...,

2 3

( ) log( )

( )

, 1

Lagarias 2002)

pour

est la somme des diviseurs de

Soit alors

HR n

n n

k H

n n n

n

H n

n k

n H H e

n

       

(38)

Conclusion d’un voyage dans le temps (~10 000 ans), et

parmi les nombres (de 1 à ∞…

en passant par i ) !

5 2 3

1 1

2 3 5 

   

(À mieux qu’un millionième de % près !)

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