G272 – Les bons coups de ciseaux [*** à la main]
Zig écrit la même séquence S de 40 chiffres distincts de 0 sur sept bandes de papier. Par exemple, il écrit sept fois de suite : 7988244896615564512982865732247823473313.
Il demande à Puce de découper chaque bande en plusieurs morceaux de sorte que chacun d’eux contient au moins deux chiffres puis de calculer la somme de tous les nombres formés par les chiffres figurant sur les morceaux de la bande. Prouver que Puce peut trouver des découpages différents des sept bandes qui lui permettent d’obtenir sept fois la même somme.
Solution proposée par Paul Voyer
Il est évident que le découpage ne doit pas concerner des morceaux ayant beaucoup de chiffres.
La somme des nombres modulo 9 est égale à S modulo 9 quelque soit la découpe.
Tous les découpages auront une somme congrue à S modulo 9.
Le nombre de découpages possibles de S en 6 groupes de 3 chiffres et 11 groupes de 2 chiffres est C176 =12376, c'est le nombre de façons de marquer 6 groupes parmi 17 pour leur attribuer la longueur 3 au lieu de 2.
Les sommes des 17 nombres d'un tel découpage ne peuvent être comprises qu'entre au moins 6*111+11*11=787 et au plus 6*999+11*99=7083.
Il y a 7083-787+1=6297 valeurs possibles dont au plus "ceiling(3297/9)" = 700 peuvent être le résultat d'un découpage de S (congruence modulo 9).
Parmi les 12376 découpages (en 6x3 et 11x2), qui ne peuvent donner que 700 sommes différentes, il y en a au moins "ceiling(12376/700)" = 18 donnant une même de ces sommes.
