Exercice 1 : Dans une entreprise, une enquête est menée auprès des machines qu’utilise cette entreprise dans sa production de chocolat. On s’intéresse particulièrement aux défauts que peuvent présenter les machines. On sait que la probabilité que la machine présente un défaut est de 5%. On appelle X la variable : « nombre de défauts de la machine ».
1) Quelle est la loi suivie par X ? Justifiez votre réponse.
2) Calculez la probabilité que la machine ne présente aucun défaut.
3) Déterminez la probabilité moyenne que la machine ait un défaut.
L’enquête se révélant ambigüe, du moins dans ses résultats, l’entreprise décide d’opter pour une autre enquête, plus précise, portant sur 200 machines.
4) Donnez les paramètres de la nouvelle loi de probabilité ? Justifiez.
5) Déterminez la probabilité que le nombre de défauts soit de 5 ? de 20 ? 6) Calculez la variance de la variable.
L’entreprise pense qu’une loi de Poisson serait plus adaptée au problème étudié.
7) Qu’en pensez-vous ? Justifiez votre réponse.
8) Déterminez alors la nouvelle loi suivie par X et donnez ses paramètres.
9) Déterminez alors son espérance et sa variance.
10) Calculez les probabilités suivantes :
- Nombre de défauts strictement égal à 6 - Nombre de défauts au moins de 5
- 5 défauts sachant qu’il y a plus de 4 défauts.
- Plus de 2 défauts s’il y a plus de 1 défaut.
- Moins de 4 défauts sachant qu’il y a plus de 7 défauts.
Exercice 2 : Soit une variable X qui suit une loi de poisson de paramètre 3. Soit une variable Y qui suit une loi binomiale de paramètres n = 6 et p = 0,5.
1) Laquelle des deux lois faut-il privilégier si on s’intéresse aux fautes d’orthographe dans un livre ? Justifiez votre réponse.
2) Supposons que l’on s’intéresse à 4 variables X indépendantes, qui suivent toutes une loi de Poisson.
o Calculez P(X=3) o Calculez P(X < 16)
o Calculez la probabilité que X soit supérieure à 13 sachant qu’il est supérieur à 10.
3) Peut-on approximer la loi Binomiale Y par la loi de Poisson X ? Justifiiez.
