DS Mercredi 26 octobre 2016 – 10h30-12h30

UNIVERSIT´ E de LILLE Sciences et Technologies 2016–2017

L3 Math´ ematiques – M54 Probabilit´ es

Responsable : S. De Bi` evre

DS Mercredi 26 octobre 2016 – 10h30-12h30

Il est important de donner des arguments complets, bien r´ edig´ es.

L’UTILISATION DE DOCUMENTS OU DE CALCULATRICES EST INTERDITE PENDANT L’´ EPREUVE

Le barˆ eme est donn´ e ` a titre indicatif

I. [6 pts] Soit Ω un ensemble, F une tribu sur Ω, et P une probabilit´ e sur F .

(i) [2 pts] Soit (A

)

une suite telle que A

∈ F et telle que A

⊂ A

pour tout n ∈ _N . Soit A = ∪

A

. Montrer que

n→+∞

lim P (A

) = P (A).

(ii) [1 pt] P ( _N ) n’est pas d´ enombrable.

(iii) [1 pt] Donner un exemple d’un espace Ω et d’une tribu F sur Ω tels que, pour tout ω ∈ Ω, {ω} ∈ F, mais F 6= P (Ω).

(iv) [2 pts] Si A

, A

, A

, . . . A

∈ F , et P (A

) ≥ 1 − a > 0, pour tout 1 ≤ k ≤ n, alors P (∩

A

) ≥ 1 − na. Indication. Etudier le cas ´ n = 2 d’abord.

II. [4 pts] (i) [0.5 pt] On lance trois d´ es ´ equilibr´ es une fois. Quelle est la probabilit´ e que la somme des chiffres sur les trois d´ es soit 7 ?

On consid` ere maintenant une infinit´ e de lancers de trois d´ es. Les lancers sont ind´ ependants et les d´ es ´ equilibr´ es.

(ii) [0.5 pt] Proposer un espace de probabilit´ e Ω permettant de mod´ eliser l’exp´ erience.

(iii) [1 pt] On consid` ere les ´ ev´ enements A

d´ efinis par : “le k` eme lancer est le premi` er o` u la somme des chiffres sur les trois d´ es vaut 7.” ´ Ecrire A

comme un sous-ensemble de Ω.

(iv) [2 pts] D´ eterminer la probabilit´ e que la somme des chiffres sur les trois d´ es est au moins une fois ´ egale ` a 7.

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III. [6 pts] (i) [1 pt] Rappeler la d´ efinition de densit´ e de probabilit´ e.

(ii) [1 pt] Soit a ≥ 0 et C

∈ _R . On consid` ere la fonction

f

(x) = C

|x|

(1 + a

x

)

.

Pour quelles valeurs de a peut-on choisir C

telle que f

est une densit´ e de probabilit´ e ? Dans ces cas, d´ eterminer C

.

(iii) [1 pt] Tracer qualitativement f

pour a = 1/2, a = 1 et a = 2.

Soit X

une variable al´ eatoire de densit´ e de probabilit´ e f

.

(iv) [1 pt] D´ eterminer _E (X

). Expliquer votre r´ esultat ` a l’aide du graphe de f

.

(v) [2 pt] Exprimer _E (X

) en termes de _E (X

). D´ eterminer lim

E (X

) ainsi que lim

E (X

). Expliquer vos r´ esultats ` a l’aide du graphe sous (iii).

IV. [4 pts] Soit X une variable al´ eatoire r´ eelle et soit F

sa fonction de r´ epartition.

(i) [1 pt] Soit Y = X

. Exprimer la fonction de r´ epartition F

de Y en termes de F

. (ii) [1 pt] Supposons que X suit la loi uniforme sur [−4, 4]. Calculer F

(8) et F

(300).

(iii) [2 pts] Supposons que X admet une densit´ e de probabilit´ e f. Montrer que Y = X

admet une densit´ e ´ egalement, qu’on d´ esignera par g. Exprimer g en fonction de f.

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