Khôlles C08 : Matrices d AL, variable discrète variables à densité.

(1)

Khôlles C08 : Matrices d’AL, variable discrète variables à densité.

Sujet 1

1. Soit la fonctionSCILAB function y=alea(x);

y=1; while floor(36*rand())>0 do y=y+1; end;

endfunction

Montrer quealearenvoie un nombre aléatoire qui définit une variable aléatoire discrète dont on précisera la loi.

2. Soita∈R, f : R −→ R x 7−→

( a

x⁴ si x>1 0 si x <1

(a) Déterminer ade façon que f soit une densité d’une variable aléatoireX . (b) Déterminer F, la fonction de répartition deX .

(c) CalculerE(X)etV(X).

(d) SoitY = 2X−1. Déterminer une densité deY son espérance et sa variance.

3. Soitf : R³ −→ R³

(x;y;z) 7−→ (2x+y+ 2z;x−y+ 3z;x+ 4y−z) . (a) Déterminer la matrice def relative à la base canonique deR³. (b) Déterminer une base de Im(f)et deker (f)

Sujet 2

1. On considère la fonction SCILAB . function y=alea(x);

y=0; for k=1:10 do if floor(6*rand())>0 then y=y+1;end;end;

endfunction

Montrer que alea renvoie un nombre aléatoire qui définit une variable aléatoire discrète dont on précisera la loi.

2. a∈R,f : R −→ R

x 7−→

a 1−x²

si x∈[−1; 1]

0 sinon

(a) Déterminer ade façon que f soit une densité d’une variable aléatoireX . (b) Déterminer F, la fonction de répartition deX .

(d) SoitY =X² . Déterminer une densité deY son espérance et sa variance.

3. Soitf : R³ −→ R³ (x;y;z) 7−→ (x; 0;y)

.

(a) Déterminer la matrice def relative à la base canonique deR³. (b) Déterminer les valeurs propres de f .

(c) L’endomorphismef est-il diagonalisable ? (d) Déterminer une base de Im(f)et deker (f).

4. On considère l’application linéaireϕ: R3[X] −→ R3[X]

P(X) 7−→ X²+ 1

P^′′(X) +P(X) . (a) Déterminer la matriceAdeϕrelative à la base canoniqueC,C= (1;X;X²;X³). (b) Montrer queϕest un automorphisme.

(c) Montrer queϕest diagonalisable et préciser une base de R3[X]constituée de vecteurs propres deϕ.

(2)

1. On considère la fonction enSCILAB. function y=alea(x);

y=1; while floor(6*rand())>0 do y=y+1; end;

endfunction

Montrer que alea renvoie un nombre aléatoire qui définit une variable aléatoire discrète dont on précisera la loi, l’espérance et la variance.

2. Soitf : R −→ R

x 7−→

xe⁻^x si x>0 0 si x <0

(a) Montrer quef est une densité d’une variable aléatoireX . (b) Calculer E(X)etV(X).

(c) Déterminer F la fonction de répartition deX . (d) SoitY =X+ 1

X+ 2 .

i. Déterminer une densité deY .

ii. Est-ce queY admet une espérance et une variance ?

3. Soitf : R³ −→ R³

(x;y;z) 7−→ (y+z;y;x−y) .

(a) Déterminer la matrice def relative à la base canonique deR³.

(b) Déterminer une base du sous-espace propre def associé à la valeur propre 1.

4. Soitϕ: R3[X] −→ R3[X]

P(X) 7−→ P(X+ 1)

(a) Montrer queϕest un automorphisme de l’espace vectoriel R3[X].

(b) Écrire la matriceAdeϕrelative à la base canonique, et préciser les valeurs propres et sous espaces propres deϕ.

(c) Préciser la bijection réciproque deϕ.

Sujet 4

assez bon élève

1. On considère la fonction enSCILABci contre : function y=alea(x);

a=10;b=20;y=0;

for j=1:12 do if rand()<(a/(a+b)) then y=y+1;a=a-1; else b=b-1;end; end;

endfunction

2. SoitX et Y deux variables aléatoires indépendantes, de loi uniforme sur[0; 1].

On définit les variable aléatoiresU = min(X;Y), etV = max(X;Y).

On rappelle que pour(x;y)∈R²,min (x;y) =x+y− |x−y|

2 ,max (x;y) = x+y+|x−y|

2 .

(a) Vérifiez que∀t∈R,(U > t) = (X > t)T

(Y > t); (V 6t) = (X 6t)T

(Y 6t).

(b) Déterminer la fonction de répartition GdeU, puis une densitégdeU . (c) Déterminer la fonction de répartitionH deV , puis une densitéhdeV. (d) Calculer l’espérance de U .

(e) ExprimerU+V en fonction deX et Y. En déduire l’espérance deV. 3. On considère l’applicationϕ: R3[X] −→ R3[X]

P(X) 7−→ X³−1

P^′′(X)−6XP(X)

(a) Montrer queϕest linéaire et déterminer la matriceAdeϕrelative à la base canoniqueC ,C= (1;X;X²;X³). (b) Est-ce que ϕest un automorphisme ?

(c) Déterminer lune base de Im(ϕ)et deker (ϕ).

(3)

1. On considère la fonctionaleaenSCILABci desssous : n=20;p=0.35;// n entier naturel , 0<p<1.

function y=alea(x);

y=0; for k=1:n do if rand()>p then y=y+1;end;end;

endfunction

x 7−→





 2x

(1 +x²)² si x>0 0 si x <0

(a) Montrer quef est une densité d’une variable aléatoireX . (b) Déterminer F, la fonction de répartition deX .

(c) CalculerE(X). On admettra que

+∞

ˆ

0

dx 1 +x² =π

2 . Que peut-on dire deE X²

? (d) SoitY =e^X . Déterminer une densité deY . Est-ce queY admet une espérance ?

3. Soitf : R³ −→ R³

(x;y;z) 7−→ (x−y+z; 2x−2y+z;−x+y−z) . (a) Déterminer la matrice def relative à la base canonique deR³. (b) Donner une base de Im(f)etker (f).

4. On considère l’applicationϕ: R3[X] −→ R3[X] P(X) 7−→ 1−X³

P^′′(X) + 2X²P^′(X)

(a) Montrer queϕest linéaire et déterminer la matriceAdeϕrelative à la base canoniqueC ,C= (1;X;X²). (b) ϕest-il un automorphisme ?

(c) Déterminer les valeurs propres deϕet une base des sous espaces propres deϕ.

Sujet 6

1. On considère la fonction alea en turboSCILAB( savoir son cours !)

function y=alea(x);

p=rand();y=0,r=exp(-1);s=r;

while s<p do y=y+1;r=r/y;s=s+r;end;

endfunction

x 7−→

2xe⁻^x² si x>0 0 si x <0

(a) Montrer quef est une densité d’une variable aléatoireX .

(b) Déterminer F la fonction de répartition deX . Déterminerm le nombre réel qui vérifieF(m) =1 2

(c) CalculerE(X)etV(X). On admettra que

+∞

ˆ

0

e⁻^x²dx=

√π 2 .

(d) SoitY = 3X+ 2. Déterminer une densité deY . CalculerE(Y)etV (Y). 3. Soitϕ: R3[X] −→ R3[X]

P(X) 7−→ P(X)−(1−X)P(0)−XP(1)

(a) Déterminer la matriceAdeϕrelative à la base canoniqueC,C= (1;X;X²;X³). (b) ϕest-elle inversible ? . Déterminer une base de de Im(ϕ)et deker (ϕ).

(c) Préciser les valeurs propres et une base des sous espaces propres deϕ. Est-ce queϕest diagonalisable ?

(4)

1. On considère la fonction en turboSCILAB.^{assez dur} function y=alea(x);

r=0;s=0;

while s*r==0 do

t=floor(3*rand()); if t==0 then r=r+1 ; else s=s+1;end;

end;y=r+s;

endfunction

Montrer que alea renvoie un nombre aléatoire qui définit une variable aléatoire discrète dont on précisera la loi.

2. Soitλ >0 etf : R −→ R x 7−→

λe⁻^λx si x>0 0 si x <0

(c) Déterminer F la fonction de répartition deX et précisez le réelmtel queF(m) = 1 2 .

(d) On suppose que Ysuit la même loi queX et queX et Y sont indépendantes. On noteZ = min (X;Y).

Déterminer la loi deZ.

(e) SoitT = ln (X+ 1). Déterminer une densité deT.

3. On considère l’application linéaireϕ: R2[X] −→ R2[X] P(X) 7−→ 1−X²

P^′′(0) + 2XP^′(X) +P(0) (a) Montrer queϕest un endomorphisme de l’espace vectorielR2[X].

(c) ϕest elle diagonalisable ?ϕest elle un automorphisme .

Sujet 8

1. (Bon élève)On considère la fonction enSCILAB function y=alea(x);

r=0;v=0;n=0;

while r*v*n==0 do t=rand(); if t<0.2 then r=r+1 ; elseif t<0.8 then v=v+1; else n=n+1;end; end;

y=r+v+n;

endfunction

Montrer que alea renvoie un nombre aléatoire qui définit une variable aléatoire discrèteZ dont on précisera la loi.

2. Soitk∈Retf : R −→ R

x 7−→

kx²e⁻^x² si x>0 0 si x <0

. On admettra que

+∞

ˆ

0

e⁻^x

2

dx=

√π 2 .

(a) Déterminer kpour quef soit une densité d’une variable aléatoireX . (b) SoitY =X². Déterminer une densité deY .

3. Soite1=

1 0 0 0

,e2=

0 1 0 0

, e3=

0 0 1 0

,e4=

0 0 0 1

,B=

1 −1

−1 1

,D=

0 0 0 2

et ϕ: M2(R) −→ M2(R)

A 7−→ AB+BA

. On note C= (e1;e₂;e₃;e₄),Cest la base canonique de M2(R).

(a) Déterminer la matrice deϕrelative à la base canonique.

(b) Déterminer une matriceQinversible telle queB=QDQ⁻¹. (c) Pourk∈[[1; 4]]on notee^′k=Qe^kQ⁻¹. SoitC^′= (e^′₁;e^′₂;e^′₃;e^′₄).

Montrer queC^′ est une base deM2(R)constituée de vecteurs propres deϕ. 4. ϕ: R3[X] −→ R3[X]

P(X) 7−→ P(X+ 1) +P(X)

(b) Écrire la matriceAdeϕrelative à la base canonique, et préciser les valeurs propres de ϕ.

(5)

1. On considère la fonction enSCILAB function y=alea(x);

y=0;r=0;

while r==0 do r=bool2s(rand()<0.2) ; y=y+1; end;

endfunction

x 7−→

1− |x| si x∈[−1; 1]

0 sinon

(c) Déterminer F la fonction de répartition deX .

(d) SoitY = exp (X). DéterminerE(Y)etGla fonction de répartition deY.

3. Soitf : R³ −→ R³

(x;y;z) 7−→ (x+ 2y+z; 2x+y+z;x+y+ 2z) . (a) Déterminer la matrice def relative à la base canonique deR³.

(b) f est-elle diagonalisable ? Déterminer une base du sous-espace propre def associé à la valeur propre 4.

4. On considèreϕ: R3[X] −→ R3[X]

P(X) 7−→ (1 +X)²P^′′(X) + 6P(X) .

(a) Déterminer la matriceAdeϕrelative à la base canoniqueC,C= (1;X;X²;X³). (b) SoitC^′ = (1; (X+ 1); (X+ 1)²; (X+ 1)³).

i. Déterminer la matrice de passageP de la baseCà la baseC^′ ainsi que son inverse.

ii. Déterminer la matriceB deϕrelative à la baseC^′. En déduire queϕest diagonalisable.

Sujet 10

1. On considère la fonction en SCILAB function y=alea(x);

y=0; for n=1:100 do y=y+(rand()<0.1) ; end;

endfunction

2. f : R −→ R

x 7−→

( 3

2x⁴ si |x|>1 0 si |x|<1

(d) SoitY =X², déterminer la fonction de répartition deYainsi que son espérance.

3. Soitf : R³ −→ R³

(x;y;z) 7−→ (x+y;z;x+y+z) .

(a) Déterminer la matrice def relative à la base canonique.

(b) Déterminer une base de ker (f)et deker (f −2id). 4. Soit(a;b)∈R² etϕ: R3[X] −→ R3[X]

P(X) 7−→ X²P^′′(X)−X(a+b−1)P^′(X) +abP(X)

(a) Montrer queϕest linéaire et déterminer la matriceAdeϕrelative à la base canoniqueC ,C= (1;X;X²;X³). (b) Déterminer (a;b)∈R² pour queϕsoit un automorphisme.

(6)

r=rand();if r==1 then y=0; else y=-log(1-r); end endfunction

Montrer que alea renvoie un nombre aléatoire qui définit une variable aléatoire à densité dont on précisera la loi l’espérance et la variance.

2. Soitf : R³ −→ R³

(x;y;z) 7−→ (x+ 2y+z; 2x+y+z;x+y−2z) .

(a) Déterminer Ala matrice def relative à la base canonique de R³.

(b) f est-elle diagonalisable ? Préciser une base deker (f−id)et de Im(f −id).

3. Soita∈]0; +∞[,f : R −→ R x 7−→

ax^a⁻¹ si x∈[0; 1]

0 sinon

(d) On suppose que X et Y sont indépendantes de même loi etZ= max(X;Y). Déterminer une densité deZ. (e) SoitT =X². Déterminer une densité deT son espérance et sa variance.

4. Soient(a;b;c)∈R^∗2×Retϕ: R3[X] −→ R3[X] P(X) 7−→ aP(bX+c)

. ^(Essec)

(a) Soit A la matrice deϕ relative à la base canonique C , C = (1;X;X²;X³). PréciserA . En déduire les valeurs propres deϕ.

(b) Déterminer (α;β;γ)∈R^∗2×Rpour queσ: R3[X] −→ R3[X] P(X) 7−→ αP(βX+γ)

soit la bijection réciproque deϕ.

Sujet 12

^{bon élève}

r=rand();y=(r-0.5)^2;

endfunction

Montrer quealearenvoie un nombre aléatoire qui définit une variable aléatoire à densité dont on précisera une densité et l’espérance.

2. On définit parτ l’application de R[X]dansR2[X]qui a un polynômeP(X),P(X) =

n

X

k=0

a^kx^k , fait correspondre le polynômeR(X),R(X) =

2

X

k=0

a^kx^k . On considère l’applicationϕ: R2[X] −→ R2[X] P(X) 7−→ τ P X−X²

.

(a) Montrer queτest linéaire, et que siP(X)∈R[X]etQ(X)∈R[X], alorsτ(τ(P(X))τ(Q(X))) =τ(P(X)Q(X)) .

(b) Montrer queϕest linéaire et déterminer la matriceAdeϕrelative à la base canonique.

(c) Montrer queτ((X−X²) + (X−X²)²) =X . En déduire queσ: R2[X] −→ R2[X] P(X) 7−→ τ P X+X²

est la bijection réciproque deϕ.

x 7−→

( xe⁻

x²

2 si x>0 0 si x <0

. On admettra que

+∞

ˆ

0

e⁻

x² 2dx=

rπ 2.

(7)

r=rand();y=1-2*r;

endfunction

Montrer quealearenvoie un nombre aléatoire qui définit une variable aléatoire à densité dont on précisera une densité, l’espérance et la variance.

2. Soitf : R³ −→ R³

(x;y;z) 7−→ (−3x+ 2y+ 8z; 2x−2z;−x−y+ 2z) . (a) Déterminer la matrice def relative à la base canonique deR³. (b) Déterminer une base de Im(f)et deker (f).

(c) Calculerf(−3; 1;−1)),f(2; 0; 1)),f(2;−1; 1)). En déduire que spect(f) ={0; 1;−1} ,f est-il diagonalisable ? 3. Soitb∈Retϕ: R3[X] −→ R3[X]

P(X) 7−→ (X−b) (P^′(X) +P^′(b))−2 (P(X)−P(b)) . (a) Montrer queϕest un endomorphisme.

(b) Déterminer la matriceAdeϕrelative à la base canoniqueC,C= (1;X;X²;X³). (c) Pourk∈[[0; 3]], calculerϕ

(X−b)^k

en déduire queϕest diagonalisable et préciser une base deR3[X]constituée de vecteurs propres deϕet les valeurs propres associées.

x 7−→

|1−x| si x∈[−1; 1]

0 sinon

(d) SoitY = 2X−1. Déterminer une densité deY etE(Y).

Sujet 14

assez bon élève

1. Écrire une fonction alea en SCILAB qui simule une variable aléatoire X de fonction de répartition F avec F :

R −→ R

x 7−→

1−e⁻^x² si x>0 0 si x <0

.

On montrera que F réalise une bijection deRvers]0; 1[et qu’en notantH la bijection réciproqueH(rand())a pour fonction de répartitionF.

2. Soitϕ: R3[X] −→ R3[X]

P(X) 7−→ X²P^′′(X) +XP^′(1)−P(0)

(c) L’endomorphismeϕest-il diagonalisable ?

x 7−→





 3

(1 +x)⁴ si x>0 0 si x <0

(c) CalculerE(X)etV(X). (d) SoitY = X

X+ 1 .

i. Déterminer une densité deY . ii. CalculerE(Y −1)en déduireE(Y)

(8)

y=0;for k=1:100 do y=y+(rand()<0.5);end endfunction

2. Soitf : R³ −→ R³

(x;y;z) 7−→ (−x−2y−2z;−x+ 2y−z; 4x+ 2y+ 5z) . (a) Déterminer la matrice def relative à la base canonique deR³.

(b) Calculer f(1; 0;−1), f(0; 1;−1) et f(−2; 1; 2) en déduire que spect(f) = {1; 2; 3}. L’endomorphisme f est-il diagonalisable ? Est-il injectif ?

3. Soit(a;b)∈R^∗2 et ϕ: R3[X] −→ R3[X]

P(X) 7−→ a(b−X)²P^′′(X) +P(X) .

(a) Déterminer la matriceAdeϕrelative à la base canoniqueC,C= (1;X;X²;X³). (b) SoitC^′ = (1; (X−b); (X−b)²; (X−b)³).

i. Déterminer la matrice de passageP de la baseCà la baseC^′ ainsi que son inverse.

ii. Déterminer la matriceB deϕrelative à la baseC^′. En déduire queϕest diagonalisable.

x 7−→

2 e⁻^x−e⁻²^x

si x∈[0; +∞[

0 sinon

(d) SoitY = 2X−1. Déterminer une densité deY etE(Y).

Sujet 16

bon élève

1. On considère la fonction enSCILAB a=10;b=15;n=11;

function y=alea(n,a,b);

y=0;

while n>0 do n=n-1;

if rand()<(a/(a+b)) then a=a-1;y=y+1; else b=b-1; end end

endfunction

2. On considèreϕ: R3[X] −→ R3[X] P(X) 7−→ X²−1

P^′′(X) +XP^′(X+ 1)−P(0) .

(a) Déterminer la matriceAdeϕrelative à la base canoniqueC,C= (1;X;X²;X³). (b) Montrer queλest valeur propre de ϕsi et seulement si(λ−1) (λ+ 1) (λ−4) (λ+ 4) = 0.

L’endomorphismeϕest-il diagonalisable ? est-il inversible ? 3. Soite1=

1 0 0 0

,e2=

0 1 0 0

, e3=

0 0 1 0

,e4=

0 0 0 1

,B=

2 −1 1 −2

et ϕ: M²(R) −→ M²(R)

A 7−→ AB

. On noteC= (e1;e2;e3;e4),C est la base canonique deM²(R).

Déterminer la matrice deϕrelative à la base canonique.

4. Soitk∈Retf : R −→ R

x 7−→

kx²e⁻^x³ si x>0 0 si x <0

.

(9)

1. On considère l’expérience aléatoire suivante. Initialement on lance 5 dès. On répète des lancers de dès pour obtenir que des 6 de la façon suivante.

On lance les dès, on retire les dès qui ont le n°6. On lance les dès restants, en enlevant les dès n°6 jusqu’à ce qu’il n’y ait plus de dès à lancer.

Écrire une fonction enSCILABqui simule la variable aléatoireX « nombre de lancers nécessaires pour obtenir que des 6 ».

Pouri∈[[1; 5]]on noteXi la variable aléatoire « nombre de fois qu’on a du lancer lei^e dès pour obtenir que des 6 ».

Donner la loi deXi . Exprimer X à l’aide de (Xⁱ)i∈[[1;5]]. En déduire la loi deX.

2. Soitf : R³ −→ R³

(x;y;z) 7−→ (−5x+ 12z; 2x+y−4z;−2x+ 5z) . (a) Déterminer la matrice def relative à la base canonique deR³.

(b) Calculer f(3;−1; 1)),f(2; 0; 1)),f(0; 1; 0)). En déduire que spect(f) ={−1; 1},f est-il diagonalisable ?

3. Soitϕ: R3[X] −→ R3[X]

P(X) 7−→ X²+ 1

P^′′(X) + (X+ 1)P^′(X) +P(X)

(a) Montrer queϕest une application linéaire, bijective de l’espace vectoriel R3[X]. (b) L’endomorphisme est-il diagonalisable ?

4. Soitf : R −→ R x 7−→ e^−|^x^|

2

(d) SoitY =X² . Déterminer une densité deY.

Sujet 18

assez bon élève

1. On considère la procedure enSCILAB a0=2 ;b0=3 ;n0=10 ;

function y=alea(x) ; y=0 ; a=a0 ;b=b0 ;n=n0 ; while and([a>0,b>0,y<n])

do y=y+1 ; r=floor(2*rand()) ;a=a+r ;b=b-r ; end endfunction

Lors de l’exécution de la fonction les valeurs successives dersont 0 ;0 ;1 ;1 ;1 ;0 ;1 ;1 ;1 ;0 .

Quel est le contenu de chacune des mémoiresn,a,bà la fin l’exécution de la fonction ? 2. Soitϕ: R2[X] −→ R2[X]

P(X) 7−→



x7→

x+1

ˆ

x

P(t)dt





(a) Montrer queϕest un endomorphisme de l’espace vectorielR2[X].

(b) Écrire la matriceAdeϕrelative à la base canonique, et préciser les valeurs propresϕ.

(c) L’endomorphismeϕest-il diagonalisable ?

3. Soitf : R³ −→ R³

(x;y;z) 7−→ (2x−y−z;−x+ 2y+z;−x+y+ 2z) . (a) Déterminer la matrice def relative à la base canonique deR³.

(b) Calculer f(1;−1;−1),f(1; 0; 1)etf(0; 1;−1)en déduire que spect(f) ={4; 1}. L’endomorphismef est-il diagonalisable ? Est-il injectif ?

x 7−→ 1

e^x+e⁻^x+ 2

etF : R −→ R

x 7−→ 1 1 +e⁻^x

(10)

1. Soit e1 =

1 0 0 0

, e2 =

0 1 0 0

, e3 =

0 0 1 0

, e4 =

0 0 0 1

, B =

1 2 2 1

, C =

1 −1

−1 1

, Q=

1 1 1 −1

et

ϕ: M2(R) −→ M2(R) A 7−→ AB−CA

. On noteC= (e1;e2;e3;e4),C est la base canonique deM2(R).

(a) Déterminer la matrice deϕrelative à la base canoniqueC.

(b) On noteD=Q⁻¹BQet E=Q⁻¹CQ. Vérifier que les matricesD etE sont diagonales.

(c) Pourk∈[[1; 4]]on notee^′k=QekQ⁻¹. SoitC^′= (e^′₁;e^′₂;e^′₃;e^′₄).

Montrer queC^′ est une base deM²(R)constituée de vecteurs propres deϕ.

2. Soitf : R³ −→ R³

(x;y;z) 7−→ (2x−y−z;−x+ 3y−z; 3x+y−3z) . (a) Déterminer la matrice def relative à la base canonique deR³. (b) Déterminer une base de Im(f)et deker (f).

3. Un carton de 100 pommes contient 10% de pomme avariées.

On prend un pomme au hasard, si la pomme est saine on la remet dans le carton. Si la pomme est avariée on l’élimine du carton.

SoitX la variable aléatoire « nombre de prélèvements nécessaires pour éliminer toutes les pommes avariées.

(a) Écrire une fonction enSCILABqui simule la variable aléatoireX.

(b) Pouri∈[[1; 10]]on noteXi la variable aléatoire « nombres de tirages juste nécessaires pour éliminer lai^e pomme avariée.

ExprimerX en fonction de(Xi)i∈[[1;10]]

(c) En déduire une seconde façon de simulerX.