Espérance conditionnelle discrète et à densité

ISFA - L3 Actuariat Probabilités Avancées

Semestre printemps 2018-2019

Éléments de correction de la feuille de TD n

^o

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Espérance conditionnelle discrète et à densité

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Correction exercice 2 : Supposons que l’on choisisse de lancer n dés.

On note X

₁

, ..., X

_n

les résultats des dés (indépendants et uniforme sur {1, ..., 6}) ainsi que la somme S

_n

=

n

X

i=1

X

_i

. On note aussi Y =

n

Y

i=1

1

_Xi6=1

. D’après l’énoncé, le score vaut G

_n

= S

_n

Y . Commençons par calculer E h

G

_n

Y = 1 i .

E h

S

_n

Y Y = 1

i

= E [S

_n

Y ] P (Y = 1)

= 1

P (X

₁

6= 1, ..., X

_n

6= 1)

n

X

i=1

E

"

X

_i

n

Y

j=1

1

_Xj6=1

#

= 1

P (X

1

6= 1)

ⁿ

n

X

i=1

E [X

_i

1

_Xi6=1

] Y

j6=i

E 1

_Xj6=1

(car les X

_i

sont i.i.d)

= 1

P (X

₁

6= 1)

ⁿ

n

X

i=1

E h

X

_i

X

_i

6= 1 i

P (X

_i

6= 1)

P (X

₁

6= 1)

ⁿ⁻¹

= 1

P (X

₁

6= 1)

ⁿ

n

X

i=1

E h X

_i

X

_i

6= 1 i

P (X

₁

6= 1)

ⁿ

= n E h X

₁

X

₁

6= 1 i

= 4n (car X

₁

X

₁

6= 1 est uniforme sur {2, ..., 6} donc de moyenne 4).

Par ailleurs, E h G

_n

Y = 0 i

= 0. On en déduit que E h

G

_n

Y i

= 4nY.

On en déduit que

E [G

_n

] = E h E h

G

_n

Y ii

= E [4nY ]

= 4n P (Y = 1)

= 4n P (X

₁

6= 1)

ⁿ

= 4n(5/6)

ⁿ

.

En regardant les variations de cette fonction par rapport à n, on trouve que E [G

n

] est maximal pour n = 5 et n = 6. Dans ce cas, on a E [G

5

] = E [G

₆

] ' 8.04. Les premières valeurs de la suite sont donnée par : E [G

₁

] = 3.33, E [G

₂

] = 5.55, E [G

₃

] = 6.94, E [G

₄

] = 7.716, E [G

₅

] = 8.04, E [G

₆

] = 8.04, E [G

7

] = 7.81...

Correction exercice 7 : La densité jointe de (X, Y ) est donnée par f

_X,Y

(x, y) = 21

0≤x≤y≤1

. On en déduit que la densité de X est donnée par

f

_X

(x) = Z

R

f

_X,Y

(x, y)dy = 2(1 − x)1

x∈[0,1]

,

et celle de Y est donnée par

f

Y

(x) = Z

R

f

X,Y

(x, y)dx = 2y1

y∈[0,1]

.

On a donc que pour tout y ∈]0, 1[,

f

X

^Y

(x, y) = f

_X,Y

(x, y) f

Y

(y) = 1

y 1

0≤x≤y

,

1

et pour tout x ∈]0, 1[, f

Y

^X

(x, y) = f

_X,Y

(x, y)

f

_X

(x) = 1

1 − x 1

x≤y≤1

. On en déduit que

E h X

Y i

= Y 2 , et

E h

Y X

i

= 1 + X 2 .

Correction exercice 8 :

1. Vous êtes censés trouver f

_Y

(y) = p π/2 y

²

2 exp(−y

²

/2)1

y≥0

puis f

X

^Y

(x, y) = 2x

y

²

1

_x∈[0,y]

,

et enfin

E h X

Y i

= 2 3 Y.

2. Vous êtes censés trouver f

_Y

(y) = e

^−y

1

_y>0

puis f

X

^Y

(x, y) = 1

y e

^−x/y

1

_x>0

,

(loi exponentielle de paramètre 1/y) et enfin E h

X Y i

= Y.

3. Vous êtes censés trouver f

_Y

(y) = 2

5 4 − 3y1

y∈[0,1]

puis f

X

^Y

(x, y) = 6x(2 − x − y)

4 − 3y 1

x∈[0,1]

, et enfin

E h X

Y i

= 5 − 4y 2(4 − 3y) .

Correction exercice 10 : Cas discret : Dans ce cas, E est discret et E = P (E). Soit donc A ∈ P (E). On a donc

E [X1

_Y∈A

] = X

y∈A

E [X1

_Y=y

]

= X

y∈A

E h X

Y = y i

P (Y = y)

= E h E h

X Y i

1

_Y∈A

i

ce qui prouve que l’espérance conditionnelle discrète est bien celle vu au début du TD.

Cas à densité : Dans ce cas, E = R

^d

et E = B( R

^d

). Soit donc A ∈ B( R

^d

).

On suppose que le couple (X, Y ) a une densité sur R

^d0

× R

^d

. On a donc E [X1

_Y∈A

] =

Z

y∈A

Z

x∈R^d0

xf

_X,Y

(x, y)dxdy

= Z

y∈A

Z

x∈R^d0

xf

X|Y

(x, y)f

_Y

(y)dydx

= Z

y∈A

Z

x∈R^d0

xf

X|Y

(x, y)dx

f

Y

(y)dy

= E h E h

X Y i

1

_Y∈A

i .

2

ce qui prouve que l’espérance conditionnelle à densité est bien celle vu au milieu du TD.

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