Espérance conditionnelle et indépendance Exercices

Espérance conditionnelle et indépendance Exercices

Exercice 3.1. Démontrez les quatre propriétés ci-dessous : pour toutes variables aléatoires X etY et pour tous nombres réels a et b;

(E1) E^P[aX+bY] =aE^P [X] +bE^P [Y] ;

(E2) Si 8!2 , X(!) Y (!) alors E^P[X] E^P [Y] ; (E3) De façon générale, E^P[XY]6= E^P[X] E^P[Y] ;

(E4) SiX et Y sont indépendantes alors E^P [XY] = E^P [X] E^P [Y]:

Exercice 3.2. Montrez que pour toute variable aléatoire X et pour tous nombres réels aet b,

(V1) Var^P [X] 0;

(V2) Var^P[X] = E^P [X²] E^P[X] ²; (V3) 8a2R; Var^P [aX+b] =a²Var^P [X]:

(V4) Var^P [X+Y] = Var^P [X] + Var^P [Y] + 2Cov^P[X; Y]

Exercice 3.3. Montrez que pour toutes variables aléatoires X et Y et pour tous nombres réels a et b

(C1) Cov^P[X; Y] = E^P [XY] E^P[X] E^P[Y] ; (C2) SiX et Y sont indépendantes alorsCov^P[X; Y] = 0;

(C3) 8a; b2R; Cov^P[aX₁+bX₂;Y] =aCov^P[X₁;Y] +bCov^P [X₂;Y]:

Exercice 3.4. Reprenons un problème traité dans les exercices du chapitre 2. Aujourd’hui lundi, vous avez un dollar dans votre tirelire. À partir de demain matin et ce, tous les matins jusqu’à vendredi inclusivement, vous tirez à pile ou face pour savoir si vous retirez un dollar (si possible) de la tirelire (pile) ou si vous y en mettez un (face). Quelle est l’espérance conditionnelle du contenu de la tirelire vendredi midi étant donné l’information disponible mercredi midi ?

Exercice 3.5. Reprenons l’exercice sur la ruine du joueur (exercice 2.4). CalculezE[X₄j F⁰]; E[X₄j F²]; E[Y₄j G²]et E[Y₂j G⁴]pour pen général ainsi que pour le cas particulier p= ¹₂. Exercice 3.6. Vous devez justi…er toutes vos réponses.

Le processus stochastique X = fXt :t2 f0;1;2;3;4gg représente l’évolution du prix d’une action. L’intervalle de temps considéré est d’une durée de six mois.

X₀(!) X₁(!) X₂(!) X₃(!) X₄(!) P (!)

!₁ 11 13 15 16 16 0;06

!₂ 11 13 15 16 14 0;065

!₃ 11 13 15 15 16 0;06

!₄ 11 13 15 15 14 0;065

!₅ 11 13 15 14 16 0;06

!₆ 11 13 15 14 14 0;065

!₇ 11 13 12 13 14 0;0625

!₈ 11 13 12 13 18 0;08

!₉ 11 13 12 13 12 0;04

!₁₀ 11 13 12 13 11 0;0675

!₁₁ 11 11 12 13 14 0;0625

!₁₂ 11 11 12 13 12 0;0625

!₁₃ 11 11 12 12 12 0;0625

!₁₄ 11 11 11 14 20 0;0625

!₁₅ 11 11 11 14 12 0;0625

!₁₆ 11 11 11 12 12 0;0625

a) Quelle est la …ltration engendrée par le processus X ?

b) Donnez la distribution conditionnelle de X₄ étant donnée X₂. c) Calculez l’espérance conditionnelle de X₄ étant donné X₂: d) Donnez la distribution conditionnelle de X₄ étant donnée F². e) Calculez l’espérance conditionnelle de X₄ étant donné F²

Problème 3.7. Considérons le contexte du problème 3.6. Deux investisseurs, disons A et B, achètent aujourd’hui une action (nous pourrions tout aussi bien dire cent mille actions, mais cela ne ferait qu’ajouter un paquet de zéros à nos calculs) qu’ils pourront revendre soit l’année prochaine (t = 2) ou dans deux ans (t= 4). Si un investisseur décide de vendre son action à l’instant t = 2, il placera le montant obtenu de la vente dans un compte bancaire

rapportant un taux d’intérêt annuel de 15% (les intérêts sont capitalisés annuellement aux dates t = 2 et t = 4). S’il décide de ne pas vendre l’action, il la vendra alors au bout de 2 ans, c’est-à-dire à l’instantt = 4:

Ces deux investisseurs seront tous les deux absents pour au moins les cinq prochaines années (disons qu’ils partent explorer la planète mars) et doivent donc mandater chacun un procureur (compétent et digne de con…ance) pour e¤ectuer les opérations à leur place.

Comble de malchance, ces deux procureurs ne comprennent rien aux questions d’argent (com- pétents ?), ce qui amène nos deux investisseurs à prévoir maintenant ce que les procureurs devront faire l’année prochaine selon ce que ces derniers auront observé du comportement de l’action. Évidemment, les investisseurs donneront des instructions qui viseront à maximiser leur pro…t ! Le procureur de l’investisseur A sera en mesure d’observer le prix de l’action au temps t= 1 tandis que le procurreur de l’investisseur B ne le pourra pas (peut être que cet individu n’est pas le procureur idéal ! ). C’est-à-dire que les temps d’observations pour le procureur A sont t = 1 et t = 2 tandis que pour le procureur B, le temps d’observation est t= 2:

a) Quelles sont les directives laissées par l’investisseur A à son procureur ? b) Quelles sont les directives laissées par l’investisseur B à son procureur ?

A…n de faciliter les comparaisons, vous pouvez utiliser le rendement de détention. Le rendement de détention associé à un titre pour un intervalle de temps donné (disons que nous achetons le titre au début de la t₁ ième période pour la vendre à la …n de la t₂ ième période) est

R_t1;t2 = X_t2 X_t1:

Problème 3.8. Ce problème utilise la notation introduite dans les problèmes 3.6 et 3.7.

a) Est-ce que les temps aléatoires A et B représentant respectivement l’instant où l’action est vendue par le procureur A et par le procureur B sont des temps d’arrêts ? b) Si la mesure de probabilité P est changée pour Q où Q(!) = ₁₆¹ pour tout ! 2 , est-ce que A et B sont des temps d’arrêt ?

Problème 3.9. SoientX₁; X₂; X₃ des variables aléatoires indépendantes telles que P(X_i = 1) = P(X_i = 1) = ¹₂: On dé…nit A₁ =fX₂ =X₃g; A₂ =fX₁ =X₃g et A₃ =fX₁ =X₂g. Montrez que les événements A₁; A₂ etA₃ sont indépendants deux à deux, mais que ces trois événements ensemble ne sont pas mutuellement indépendants.

Problème 3.10. Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes, gaussiennes, cen- trées et réduites. Soit" une variable aléatoire indépendante deY et telle que : P f"= 1g= P f"= 1g= ¹₂:

a) Montrez que Z ="Y est gaussienne mais que Y +Z n’est pas gaussienne.

b) Montrez aussi que Y et Z ne sont pas indépendantes, alors que Cov(Z; Y) = 0.

Problème 3.11. Si les variables aléatoires X et Y sont indépendantes et identiquement distribuées, alors montrez queE [X Y jX+Y ] = 0:

Solutions

1 Exercice 3.1

Preuve de

Comme

X

y2SY

f_X;Y (x; y) = X

y2SY

P [X =x et Y =y]

= P

"

[

y2SY

fX =x etY =yg

#

car ces événements sont disjoints

= P

"

[

y2SY

ffX =xg \ fY =ygg

#

= P

"

fX =xg \

( [

y2SY

fY =yg )#

= P[fX =xg \ ] =P [fX =xg] =f_X(x) (1) alors

E[aX+bY] = X

x2SX

X

y2SY

(ax+by)f_X;Y (x; y)

= X

x2SX

X

y2SY

axfX;Y (x; y) + X

y2SY

X

x2SX

byfX;Y (x; y)

= a X

x2SX

x X

y2SY

f_X;Y (x; y) +b X

y2SY

y X

x2SX

f_X;Y (x; y)

= a X

x2SX

xf_X(x) +b X

y2SY

yf_Y (y)

= aE[X] +bE[Y].

Preuve de

Remarquons, dans un premier temps, que siW est une variable aléatoire non négative alors

E[W] 0. En e¤et,

E[W] = X

x2SW

|{z}x

0

f_W (x)

| {z }

0

0:

Soit W =Y X. Comme X Y alors W 0. Par conséquent, E[W] 0:

Mais, en utilisant (E1), nous avons que

E[W] =E[Y X] =E[Y] E[X]: Ainsi,

0 E[Y] E[X],E[X] E[Y]:

2 Exercice 3.3

Preuve de

Cov[X; Y]

= X

x2SX

X

y2SY

(x E[X]) (y E[Y]) fX;Y (x; y)

= X

x2SX

X

y2SY

(xy xE[Y] yE[X] +E[X]E[Y]) f_X;Y (x; y)

= X

x2SX

X

y2SY

xy f_X;Y (x; y) E[Y] X

x2SX

x X

y2SY

f_X;Y (x; y) E[X] X

y2SY

y X

x2SX

f_X;Y (x; y) +E[X]E[Y] X

x2SX

X

y2SY

f_X;Y (x; y)

= X

x2SX

X

y2SY

xy f_X;Y (x; y) E[Y] X

x2SX

x f_X(x) E[X] X

y2SY

yf_Y (y) +E[X]E[Y] X

x2SX

f_X(x)

| {z }

=1 par la dé…nition de

fonction de masse

= E[XY] E[Y]E[X] E[X]E[Y] +E[X]E[Y]

= E[XY] E[X]E[Y].

Preuve de

Comme l’indépendance deX et deY implique queE[XY] =E[X]E[Y], nous obtenons le résultat en appliquant (C1) :

Cov[X; Y] = E[XY] E[X]E[Y]

= E[X]E[Y] E[X]E[Y]

= 0.

Preuve de

Par (C1), nous avons que

Cov[a₁X₁+a₂X₂; Y]

= E[(a1X1+a2X2)Y] E[a1X1+a2X2]E[Y]

= E[a₁X₁Y +a₂X₂Y] (a₁E[X₁] +a₂E[X₂])E[Y] par (E1)

= a₁E[X₁Y] +a₂E[X₂Y] a₁E[X₁]E[Y] +a₂E[X₂]E[Y] par (E1)

= a₁(E[X₁Y] E[X₁]E[Y]) +a₂(E[X₂Y] E[X₂]E[Y])

= a₁Cov[X₁; Y] +a₂Cov[X₂; Y]

Preuve de

V ar[X+Y]

= E (X+Y)² (E[X+Y])² par(V2)

= E X²+ 2XY +Y² (E[X] +E[Y])² par(E1)

= E X² + 2E[XY] +E Y² (E[X])² 2E[X]E[Y] (E[Y])²

= E X² (E[X])²+E Y² (E[Y])²+ 2 (E[XY] E[X]E[Y])

= V ar[X] +V ar[Y] +Cov[X; Y] par(V2) et(C1).

3 Exercice 3.4

Les atomes de F² sont

B₁ = fP P P P; P P P F; P P F P; P P F Fg; B₂ = fP F P P; P F P F; P F F P; P F F Fg; B₃ = fF P P P; F P P F; F P F P; F P F Fg; B₄ = fF F P P; F F P F; F F F P; F F F Fg: Puisque

! P(!) X₄(!)

P P P P p⁴ 0

P P P F p³(1 p) 1 P P F P p³(1 p) 0 P P F F p²(1 p)² 2 P F P P p³(1 p) 0 P F P F p²(1 p)² 1 P F F P p²(1 p)² 1 P F F F p(1 p)³ 3

! P (!) X₄(!) F P P P p³(1 p) 0 F P P F p²(1 p)² 1 F P F P p²(1 p)² 1 F P F F p(1 p)³ 3 F F P P p²(1 p)² 1 F F P F p(1 p)³ 3 F F F P p(1 p)³ 3 F F F F (1 p)⁴ 5

alors

P (B_i)

B₁ p⁴+ 2p³(1 p) +p²(1 p)² =p²

B₂ p³(1 p) + 2p²(1 p)²+p(1 p)³ =p p² =p(1 p) B₃ p³(1 p) + 2p²(1 p)²+p(1 p)³ =p p² =p(1 p) B₄ p²(1 p)²+ 2p(1 p)³+ (1 p)⁴ = 1 2p+p² = (1 p)² Rappelons que si ! 2B_i, alors

E^P [X₄jF²] (!) = 1 P (Bi)

X

! 2Bi

X(! )P (! )

Par conséquent,

Si !2B₁ alors E^P [X₄jF²] (!)

= 1

P (B₁) X

! 2B1

X(! )P (! )

= 1

p² 0p⁴+ 1p³(1 p) + 0p³(1 p) + 2p²(1 p)²

= (1 p) (2 p) Si !2B₂ alors E^P [X₄jF²] (!)

= 1

P (B₂) X

! 2B2

X(! )P (! )

= 1

p(1 p) 0p³(1 p) + 1p²(1 p)²+ 1p²(1 p)²+ 3p(1 p)³

= (3 p) (1 p) Si !2B₃ alors E^P [X₄jF²] (!)

= 1

P (B₃) X

! 2B3

X(! )P (! )

= 1

p(1 p) 0p³(1 p) + 1p²(1 p)²+ 1p²(1 p)²+ 3p(1 p)³

= (3 p) (1 p) Si !2B₄ alors E^P [X₄jF²] (!)

= 1

P (B₄) X

! 2B4

X(! )P (! )

= 1

(1 p)² 1p²(1 p)²+ 3p(1 p)³ + 3p(1 p)³+ 5 (1 p)⁴

= 5 4p

Dans le cas particulier où p= ¹₂,

Si ! 2 B₁ alors E^P[X₄jF²] (!) = 3 4 Si ! 2 B₂ alors E^P[X₄jF²] (!) = 5 4 Si ! 2 B3 alors E^P[X4jF²] (!) = 5 4 Si ! 2 B₄ alors E^P[X₄jF²] (!) = 3

4 Exercice 3.5

E[X₄j F⁰] = 2 (1 p)⁴+ 4 4p(1 p)³

+6 6p²(1 p)²+ 8 4p³(1 p) + 10 p⁴

= 2 + 8p

Sip = 1

2, alors E[jX₄ F⁰] = 6:

Si! 2 B₁ =fP P P P; P P P F; P P F P; P P F Fg; alors

E[X₄j F²] (!) = 10 p⁴+ 8 p³(1 p) + 8 p³(1 p) + 6 p²(1 p)² p⁴+p³(1 p) +p³(1 p) +p²(1 p)²

= 4p+ 6

Si! 2 B₂ =fP F P P; P F P F; P F F P; P F F Fg; alors

E[X₄j F²] (!) = 8 p³(1 p) + 6 p²(1 p)²+ 6 p²(1 p)²+ 4 p(1 p)³ p³(1 p) +p²(1 p)²+p²(1 p)²+p(1 p)³

= 4p+ 4

Si! 2 B₃ =fF P P P; F P P F; F P F P; F P F Fg; alors

E[X₄j F²] (!) = 8 p³(1 p) + 6 p²(1 p)²+ 6 p²(1 p)²+ 4 p(1 p)³ p³(1 p) +p²(1 p)²+p²(1 p)²+p(1 p)³

= 4p+ 4

Si! 2 B4 =fF F P P; F F P F; F F F P; F F F Fg; alors

E[X4j F²] (!) = 6 p²(1 p)²+ 4 p(1 p)³+ 4 p(1 p)³ + 2 (1 p)⁴ p²(1 p)²+p(1 p)³+p(1 p)³+ (1 p)⁴

= 4p+ 2

Si p = 1 2, alors E[jX₄F²] (!) =

8>

><

>>

:

8 si !2B₁ =fP P P P; P P P F; P P F P; P P F Fg 6 si !2B₂ =fP F P P; P F P F; P F F P; P F F Fg 6 si !2B3 =fF P P P; F P P F; F P F P; F P F Fg 4 si !2B₄ =fF F P P; F F P F; F F F P; F F F Fg

Si! 2 B₁ = P P P P; P P P F; P P F P; P P F F;

P F P P; P F P F; P F F P; P F F F ; alors E[Y₄j G²] (!) = 10

Si! 2 B₃ =fF P P P; F P P F; F P F P; F P F Fg; alors

E[Y₄j G²] (!) = 10 p³(1 p) + 6 p²(1 p)²+ 0 p²(1 p)²+ 0 p(1 p)³ p³(1 p) +p²(1 p)²+p²(1 p)²+p(1 p)³

= 2p(2p+ 3)

Si! 2 B₄ =fF F P P; F F P F; F F F P; F F F Fg; alors E[Y4j G²] (!) = 0

Si p = 1 2, alors E[Y₄j G²] (!) =

8>

><

>>

:

10 si !2B₁ = P P P P; P P P F; P P F P; P P F F;

P F P P; P F P F; P F F P; P F F F 4 si !2B₃ =fF P P P; F P P F; F P F P; F P F Fg 0 si !2B₄ =fF F P P; F F P F; F F F P; F F F Fg

Si! 2 C₁ = P P P P; P P P F; P P F P; P P F F;

P F P P; P F P F; P F F P; P F F F ; alors E[Y₂j G⁴] (!) = 10

Si! 2 C₂ =fF P P Pg; alors E[Y₂j G⁴] (!) = 4

Si! 2 C₃ =fF P P Fg; alors E[Y₂j G⁴] (!) = 4

Si! 2 C₄ =fF P F P; F P F Fg; alors E[Y₂j G⁴] (!) = 4

Si! 2 C₅ =fF F P P; F F P F; F F F P; F F F Fg; alors E[Y₂j G⁴] (!) = 0

5 Exercice 3.6

a) Quelle est la …ltration engendrée par le processus X ? F⁰ = f?; g

F¹ = ff!₁; :::; !₁₀g;f!₁₁; :::; !₁₆gg

F² = ff!₁; :::; !₆g;f!₇; :::; !₁₀g;f!₁₁; :::; !₁₃g;f!₁₄; !₁₅; !₁₆gg

F³ = f!1; !2g;f!3; !4g;f!5; !6g;f!7; :::; !10g; f!₁₁; !₁₂g;f!₁₃g;f!₁₄; !₁₅g f!₁₆g

F⁴ = f!₁g;f!₂g;f!₃g;f!₄g;f!₅g;f!₆g;f!₇g;f!₈g f!₉g;f!₁₀g;f!₁₁g;f!₁₂g;f!₁₃g;f!₁₄g;f!₁₅g;f!₁₆g

b) Donnez la distribution conditionnelle de X₄ étant donnée X₂.

P[X₄ =xjX₂ = 15 ] = 8>

<

>:

3 0:06

3 0:06+3 0:065 = 0:48 si x= 16

3 0:065

3 0:06+3 0:065 = 0:52 si x= 14

0 sinon

P[X₄ =xjX₂ = 12 ] = 8>

>>

>>

><

>>

>>

>>

:

0:08

4 0:0625+0:08+0:04+0:0675 = 0:18286 si x= 18

2 0:0625

4 0:0625+0:08+0:04+0:0675 = 0:28571 si x= 14

0:04+2 0:0625

4 0:0625+0:08+0:04+0:0675 = 0:37714 si x= 12

0:0675

4 0:0625+0:08+0:04+0:0675 = 0;15429 si x= 11

0 sinon

P[X₄ =xjX₂ = 11 ] = 8>

<

>:

0;0625

3 0:0625 = ¹₃ six= 20

2 0;0625

3 0:0625 = ²₃ six= 12

0 sinon

c) Calculez l’espérance conditionnelle de X₄ étant donné X₂:

Si! 2 f!₁; :::; !₆g

E^P [X₄j (X₂) ] (!) = 16 3 0:06

3 0:06 + 3 0:065+14 3 0:065 3 0:06 + 3 0:065

= 14:96

Si! 2 f!₇; :::; !₁₃g

E^P [X₄j (X₂) ] (!) = 18 0:08

4 0:0625 + 0:08 + 0:04 + 0:0675

+14 2 0:0625

4 0:0625 + 0:08 + 0:04 + 0:0675 +12 0:04 + 2 0:0625

4 0:0625 + 0:08 + 0:04 + 0:0675

+11 0:0675

4 0:0625 + 0:08 + 0:04 + 0:0675

= 13:514

Si! 2 f!₁₄; !₁₅; !₁₆g E^P [X₄j (X₂) ] (!) = 20 1

3+12 2 3

= 14:667

d) Donnez la distribution conditionnelle de X4 étant donnée F².

P[X₄ =xjf!₁; :::; !₆g] = 8>

<

>:

3 0:06

3 0:06+3 0:065 = 0:48 si x= 16

3 0:065

3 0:06+3 0:065 = 0:52 si x= 14

0 sinon

P [X₄ =xjf!₇; :::; !₁₀g] = 8>

>>

>>

><

>>

>>

>>

:

0:08

0:0625+0:08+0:04+0:0675 = 0:32 si x= 18

0:0625

0:0625+0:08+0:04+0:0675 = 0:25 si x= 14

0:04

0:0625+0:08+0:04+0:0675 = 0:16 si x= 12

0:0675

0:0625+0:08+0:04+0:0675 = 0:27 si x= 11

0 sinon

P [X4 =xjf!11; :::; !13g] = 8>

<

>:

0:0625

3 0:0625 = ¹₃ si x= 14

2 0:0625

3 0:0625 = ²₃ si x= 12

0 sinon

P [X₄ =xjf!₁₄; !₁₅; !₁₆g] = 8>

<

>:

0;0625

3 0:0625 = ¹₃ si x= 20

2 0;0625

3 0:0625 = ²₃ si x= 12

0 sinon

e) Calculez l’espérance conditionnelle de X4 étant donné F²:

Si! 2 f!₁; :::; !₆g; E^P [X₄jF²] (!) = 16 3 0:06

3 0:06 + 3 0:065+14 3 0:065 3 0:06 + 3 0:065

= 14:96

Si! 2 f!₇; :::; !₁₀g;

E^P[X₄jF²] (!) = 18 0:08

0:0625 + 0:08 + 0:04 + 0:0675 + 14 0:0625

0:0625 + 0:08 + 0:04 + 0:0675

+12 0:04

0:0625 + 0:08 + 0:04 + 0:0675 + 11 0:0675

0:0625 + 0:08 + 0:04 + 0:0675

= 14:15

Si! 2 f!₁₁; !₁₂; !₁₃g; E^P [X₄jF²] (!) = 14 1

3+ 12 2 3

= 12:667

Si! 2 f!₁₄; !₁₅; !₁₆g; E^P [X₄jF²] (!) = 20 1

3+12 2

3 = 14:667

6 Problème 3.7

L’espérance conditionnelle des rendements est :

E^P[R2;4jf!1; :::; !6g] = 14:96

15 =:997 33 E^P [R_2;4jf!₇; :::; !₁₀g] = 14:15

12 = 1:1792 E^P[R_2;4jf!₁₁; !₁₂; !₁₃g] = 12:67

12 = 1:0558 E^P[R_2;4jf!₁₄; !₁₅; !₁₆g] = 14:667

11 = 1:3334 E^P [R_2;4jf!₇; :::; !₁₃g] = 13:514

12 = 1:1262

Les valeurs possibles de la variable aléatoire R2;4 sont : 16

15 = 1:0667 et 14

15 = 0:93333 18

12 = 1:5et 14

12 = 1:1667 et 12

12 = 1 et 11

12 = 0:91667 20

11 = 1:8182 et 12

11 = 1:0909:

Rappelons que rendement du compte bancaire est de 1.15 du temps t= 2 au temps t = 4.

P[R_2;4 <1:15jf!₁; :::; !₆g] = P [X₄ = 16 ouX₄ = 14jf!₁; :::; !₆g]

= 1

P [R_2;4 <1:15jf!₇; :::; !₁₀g] = P [X₄ = 12 ouX₄ = 11jf!₇; :::; !₁₀g]

= 0:43

P[R_2;4 <1:15jf!₁₁; !₁₂; !₁₃g] = P [X₄ = 12jf!₁₁; !₁₂; !₁₃g]

= 0:66667

P[R_2;4 <1:15jf!₁₄; !₁₅; !₁₆g] = P [X₄ = 12jf!₁₄; !₁₅; !₁₆g]

= 0:66667

P [R_2;4 <1:15jf!₇; :::; !₁₃g] = P [X₄ = 12 ouX₄ = 11jf!₇; :::; !₁₃g]

= 0:37714 + 0:15429 = 0:53143

a) Quelles sont les directives laissées par l’investisseur A à son procureur? Justi…ez votre réponse.

Si nous observons le processus depuis le tempst= 0, nous serons en mesure de déterminer

au tempst = 2lequel des quatre événements suivants s’est réalisé : f!₁; :::; !₆g;f!₇; :::; !₁₀g;f!₁₁; :::; !₁₃g;f!₁₄; !₁₅; !₁₆g. Si c’est l’événement f!₁; :::; !₆g qui s’est réalisé (le prix de l’action a suivi la trajectoire

11, 13, 15), alors la probabilité de réaliser un rendement de détention (pendant la période allant det = 2 àt = 4) supérieur à celui du compte bancaire est nulle. C’est pourquoi nous choisirons de vendre l’action et d’investir les 15 dollars dans le compte bancaire. La valeur de notre portefeuille au temps t= 4 sera de15 1:15 = 17:25:

Si c’est l’événement f!₇; :::; !₁₀g qui s’est réalisé (le prix de l’action a suivi la trajectoire 11, 13, 12), alors la probabilité de réaliser un rendement de détention (pendant la période

allant de t= 2 àt = 4) inférieur à celui du compte bancaire est d’environ 43%. Par contre, le rendement de détention espéré est de 1:18 qui est supérieur à celui du compte bancaire.

Nous choisissons donc de conserver l’action.

Si c’est l’événement f!₁₁; :::; !₁₃gqui s’est réalisé (le prix de l’action a suivi la trajectoire 11, 12, 12), alors la probabilité de réaliser un rendement de détention (pendant la période allant de t = 2 à t = 4) inférieur à celui du compte bancaire est d’environ 67%. De plus, le rendement de détention espéré est de1:0558 qui est inférieur à celui du compte bancaire.

Nous choisissons donc de vendre l’action et d’investir les 12 dollars dans le compte bancaire.

La valeur du portefeuille à échéance est de 12 1:15 = 13:8:

Si c’est l’événementf!₁₄; !₁₅; !₁₆gqui s’est réalisé (le prix de l’action a suivi la trajectoire 11, 11, 11), alors la probabilité de réaliser un rendement de détention (pendant la période allant de t= 2 àt = 4) inférieur à celui du compte bancaire est d’environ 67%. Par contre, le rendement de détention espéré est de1:3334qui est supérieur à celui du compte bancaire.

Cela est causé par le fait que si le rendement de détention de l’action est supérieur à celui du compte bancaire, il l’excède par beaucoup (1:82 versus 1.15). Les gens qui ont le goût du risque choisiront donc de conserver l’action, d’autant plus que dans l’éventualité ou le rendement de détention de l’action est inférieur à celui du compte bancaire, il n’est pas beaucoup plus petit (1.09 versus 1.15).

Trajectoire Décision au temps t= 2

Valeur du portefeuille au temps t= 4 si l’action est vendue

Valeur du portefeuille au temps t= 4 si l’action est conservée 11;13;15 vendre l’action 17:25

17:25

16avec prob. 18%

14avec prob. 19:5%

11;13;12 conserver l’action

13:8 13:8 13:8 13:8

18 avec prob. 8%

14 avec prob. 6:25%

12 avec prob. 4%

11 avec prob. 6:75%

11;11;12 vendre l’action 13:8 13:8

14avec prob. 6:25%

12avec prob. 12:5%

11;11;11 conserver l’action 12:65 12:65

20 avec prob. 6:25%

12 avec prob. 12:5%

b) Quelles sont les directives laissées par l’investisseur B à son procureur ? Justi…ez votre réponse.

Si nous observons le processus seulement au tempst= 2, nous serons en mesure de déter- miner lequel des trois événements suivants s’est réalisés : f!₁; :::; !₆g;f!₇; :::; !₁₃g;f!₁₄; !₁₅; !₁₆g.

Si c’est l’événementf!₁; :::; !₆gqui s’est réalisé (le prix de l’action au temps t= 2 est de 15), alors la probabilité de réaliser un rendement de détention (pendant la période allant de

t= 2 àt= 4) supérieur à celui du compte bancaire est nulle. C’est pourquoi nous choisirons de vendre l’action et d’investir les 15 dollars dans le compte bancaire. La valeur de notre portefeuille au temps t= 4 sera de 15 1:15 = 17:25:

Si c’est l’événementf!₇; :::; !₁₃gqui s’est réalisé (le prix de l’action au tempst = 2est de 12), alors la probabilité de réaliser un rendement de détention (pendant la période allant de t = 2 à t = 4) inférieur à celui du compte bancaire est d’environ 38% (0:37714 + 0;15429).

De plus, le rendement de détention espéré est de 1:1262 qui est inférieur à celui du compte bancaire. Nous choisissons donc de vendre l’action et d’investir les 12 dollars dans le compte bancaire. La valeur du portefeuille à échéance est de 12 1:15 = 13:8:

Si c’est l’événementf!₁₄; !₁₅; !₁₆gqui s’est réalisé (le prix de l’action au tempst = 2est de 11), alors la probabilité de réaliser un rendement de détention (pendant la période allant de t = 2 à t = 4) inférieur à celui du compte bancaire est d’environ 67%. Par contre, le rendement de détention espéré est de 1:3334 qui est supérieur à celui du compte bancaire.

Cela est causé par le fait que si le rendement de détention de l’action est supérieur à celui du compte bancaire, il l’excède par beaucoup (1:82 versus 1.15). Les gens qui ont le goût du risque choisiront donc de conserver l’action, d’autant plus que dans l’éventualité où le rendement de détention de l’action est inférieur à celui du compte bancaire, il n’est pas beaucoup plus petit (1.09 versus 1.15).

Valeur deX₂

Décision au temps t = 2

Valeur du portefeuille au temps t= 4 si l’action est vendue

Valeur du portefeuille au temps t= 4 si l’action est conservée

15 vendre l’action 17:25

17:25

16 avec prob. 18%

14 avec prob. 19:5%

12 vendre l’action

13:8 13:8 13:8 13:8

18 avec prob. 8%

14 avec prob. 12:5%

12 avec prob. 16:5%

11 avec prob. 6:75%

11 conserver l’action 12:65 12:65

20 avec prob. 6:25%

12 avec prob. 12:5%

7 Problème 3.8

a) Est-ce que les temps aléatoires A et B représentant respectivement l’instant où l’action est vendue par le procureur A et par le procureur B sont des temps d’arrêts ? Justi…ez votre réponse.

A est un temps d’arrêt car

f! 2 : _A(!) = 0g = ?2 F⁰ f! 2 : _A(!) = 1g = ?2 F¹

f! 2 : _A(!) = 2g = f!₁; :::; !₆g [ f!₁₁; :::; !₁₃g 2 F² f! 2 : _A(!) = 3g = ?2 F³

f! 2 : _A(!) = 4g = f!₇; :::; !₁₀g [ f!₁₄; :::; !₁₅g 2 F⁴

B est un temps d’arrêt car

f! 2 : _B(!) = 0g = ?2 F⁰ f! 2 : _B(!) = 1g = ?2 F¹

f! 2 : _B(!) = 2g = f!₁; :::; !₁₃g 2 F² f! 2 : _B(!) = 3g = ?2 F³

f! 2 : _B(!) = 4g = f!₁₄; :::; !₁₅g 2 F⁴

b) Si la mesure de probabilité P est changée pour Q où Q(!) = ₁₆¹ pour tout ! 2 , est-ce que A et B sont des temps d’arrêt ? Justi…ez votre réponse.

Oui car le fait d’être ou non un temps d’arrêt ne dépend aucunement de la mesure de probabilité existant sur l’espace probabilisable …ltré.