Chapitre 10 : Variations et extremums I. Variations d’une fonction sur un intervalle
Idées variations
Une fonction croissante sur un intervalle est une fonction qui lorsqu’on augmente la variable l’image augmente.
Dit autrement, une fonction croissante conserve l’ordre en passant aux images.
Une fonction décroissante sur un intervalle est une fonction qui lorsqu’on augmente la variable l’image diminue.
Dit autrement, une fonction décroissante inverse l’ordre en passant aux images.
Définitions Soit 𝑓 une fonction définie sur un intervalle 𝐼
𝑓 est dite croissante sur 𝐼 Pour tous 𝑎 et 𝑏 dans 𝐼, si 𝑎 ≤ 𝑏 alors 𝑓(𝑎) ≤ 𝑓(𝑏)
𝑓 est dite strictement croissante sur 𝐼 Pour tous 𝑎 et 𝑏 dans 𝐼, si 𝑎 < 𝑏 alors 𝑓(𝑎) < 𝑓(𝑏)
𝑓 est dite décroissante sur 𝐼 Pour tous 𝑎 et 𝑏 dans 𝐼, si 𝑎 ≤ 𝑏 alors 𝑓(𝑎) ≥ 𝑓(𝑏)
𝑓 est dite strictement décroissante sur 𝐼 Pour tous 𝑎 et 𝑏 dans 𝐼, si 𝑎 < 𝑏 alors 𝑓(𝑎) > 𝑓(𝑏)
Idée extremum: Le minimum d’une fonction sur un intervalle est la plus petite image (si elle existe) Le maximum d’une fonction sur un intervalle est la plus grande image (si elle existe)
Définition Soit 𝑓 une fonction définie sur un intervalle 𝐼. Soit 𝑎 ∈ 𝐼
On dit que 𝑓(𝑎) est le minimum de 𝑓 sur 𝐼 lorsque pour tout 𝑥 ∈ 𝐼, 𝑓(𝑥) ≥ 𝑓(𝑎) On dit que 𝑓(𝑎) est le maximum de 𝑓 sur 𝐼 lorsque pour tout 𝑥 ∈ 𝐼, 𝑓(𝑥) ≤ 𝑓(𝑎)
Lectures graphiques
Voici la représentation graphique d’une fonction 𝑓. Il semble que :
l’ensemble de définition soit [−3 ; 7]
sur [−3 ; 0] le minimum de 𝑓 est environ 0,37. Il est atteint pour 𝑥 ≈ −2,64
sur [−3 ; 7] le maximum de 𝑓 est environ 3,03. Il est atteint pour 𝑥 ≈ −0,85
sur [−3 ; 7] le minimum de 𝑓 est environ −1. Il est atteint pour 𝑥 ≈ 2
sur [4 ; 5] le maximum de 𝑓 est environ 2,22. Il est atteint pour 𝑥 ≈ 4,6
sur [6 ; 7] le minimum de 𝑓 est environ −0,64. Il est atteint pour 𝑥 ≈ 6,5
𝑓 est décroissante sur [−3 ; −2,64], sur [−0,85 ; 2], sur [4,65 ; 6,47]
𝑓 est croissante sur [−2,64 ; −0,85], sur [2 ; 4,65], sur [6,47 ; 7]
𝑓 inverse l’ordre en passant aux images 𝑓 conserve l’ordre en passant aux images 𝑓 conserve l’ordre en passant aux images
𝑓 inverse l’ordre en passant aux images
Savoir utiliser les variations d’une fonction
Etudier les variations d’une fonction permet notamment :
de comparer,
d’encadrer,
de conjecturer le nombre de solutions d’une équation
Enoncé Soit 𝑓 définie sur [−3 ; 20] telle que :
𝑓(−3) = 7 𝑓(5) = 9 𝑓(1) = 2 𝑓(20) = 4
𝑓 est strictement décroissante sur [−3 ; 1] 𝑒𝑡 𝑠𝑢𝑟 [5 ; 20]. Elle est strictement croissante sur [1 ; 5]
Sa représentation peut être tracée sans lever le crayon (on dit que 𝑓 est continue sur [−3 ; 20]) 1) Comparer 𝑓(9√2) et 𝑓(5𝜋). Justifier.
2) Soit 𝑎 ∈ [−3 ; 5], encadrer 𝑓(𝑎)
3) Conjecturer le nombre de solution de 𝑓(𝑥) = 8
Correction On va s’appuyer sur le tableau de variations
Valeurs de 𝑥 −3 1 5 9 √2 5𝜋 20
7 9
Variations de 𝑓 𝑓(9 √2)
𝑓(5𝜋)
2 4
1) On sait que : 5 < 9 √2 < 5𝜋 < 20
Comme la fonction 𝑓 est décroissante sur [5 ; 20], elle inverse l’ordre en passant aux images 𝑓(5) > 𝑓(9 √2) > 𝑓(5𝜋) > 𝑓(20)
2) Quand 𝑥 augmente de −3 à 1, 𝑓(𝑥) diminue de 7 à 2 Quand 𝑥 augmente de 1 à 5, 𝑓(𝑥) augmente de 2 à 9 Ainsi, pour 𝑎 ∈ [−3 ; 5] on a : 2 ≤ 𝑓(𝑎) ≤ 9
3) Quand 𝑥 augmente de −3 à 1, 𝑓(𝑥) diminue de 7 à 2 donc 𝑓(𝑥) ne prend pas la valeur 8 Quand 𝑥 augmente de 1 à 5, 𝑓(𝑥) augmente de 2 à 9 donc 𝑓(𝑥) prend la valeur 8 Quand 𝑥 augmente de 5 à 20, 𝑓(𝑥) diminue de 9 à 4 donc 𝑓(𝑥) prend la valeur 8 Il semble que l’équation 𝑓(𝑥) = 8 aura deux solutions : l’une dans [1; 5], l’autre dans [5; 20]
Savoir prouver les variations d’une fonction affine
1) Soit 𝑔 la fonction définie par 𝑔(𝑥) = √3 𝑥 + 2. Justifier la variation de 𝑓 sur ℝ 2) Soit 𝑓 la fonction définie par 𝑓(𝑥) = −𝑥 − 8. Justifier la variation de 𝑓 sur ℝ
Correction
1) 𝑎 ≤ 𝑏 en multipliant chaque membre par √3 qui est positif
√3 𝑎 ≤ √3 𝑏 en ajoutant 2 à chaque membre
√3 𝑎 + 2 ≤ √3 𝑏 + 2
𝑔(𝑎) ≤ 𝑔(𝑏) donc 𝑔 est strictement croissante sur ℝ
2) 𝑎 ≤ 𝑏 en multipliant chaque membre par −1 qui est négatif
−𝑎 ≥ −𝑏 en ajoutant −8 à chaque membre
−𝑎 − 8 ≥ −𝑏 − 8
𝑓(𝑎) ≥ 𝑓(𝑏) donc 𝑓 est strictement décroissante sur ℝ
Savoir prouver qu’une fonction n’est pas monotone sur un intervalle 𝑰 (ni croissante sur 𝑰, ni décroissante sur 𝑰) Soit 𝑓 la fonction définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) = −𝑥2+ 3𝑥 + 7. Prouver que 𝑓 n’est pas monotone sur ℝ
Correction pour montrer qu’une proposition « pour tous … » est FAUSE il suffit de trouver un contre-exemple Prenons 𝑎 = −4 𝑒𝑡 𝑏 = −3
donc 𝑓(𝑎) = −21 et 𝑓(−3) = −11
On a bien 𝑎 ≤ 𝑏 et pourtant on n’a pas 𝑓(𝑎) ≥ 𝑓(𝑏) Donc 𝑓 n’inverse pas l’ordre sur ℝ
Donc 𝑓 n’est pas décroissante sur ℝ (ce qui ne veut pas dire qu’elle est forcément croissante).
Prenons 𝑎 = 2 𝑒𝑡 𝑏 = 3 donc 𝑓(𝑎) = 9 et 𝑓(3) = 7
On a bien 𝑎 ≤ 𝑏 et pourtant on n’a pas 𝑓(𝑎) ≤ 𝑓(𝑏) Donc 𝑓 ne conserve pas l’ordre sur ℝ
Donc 𝑓 n’est pas croissante sur ℝ (ce qui ne veut pas dire qu’elle est forcément décroissante).
Comme 𝑓 n’est ni croissante, ni décroissante, elle n’est pas monotone sur ℝ
II. Maximum, minimum d’une fonction sur un intervalle
Conjecture par lectures graphiques
1) Quel est le maximum de 𝑓 sur [0 ; 9] ? sur [−3 ; 15] ? 2) Quel est le minimum de 𝑓 sur [0 ; 9] ? sur [−3 ; 15] ?
Correction
1) Parmi les points de 𝐶𝑓 ayant leur abscisse dans [0 ; 9], on cherche celui qui a la plus grande ordonnée.
Le maximum de 𝑓 sur [0 ; 9] est environ 0,9. Il est atteint lorsque 𝑥 ≈ 3,9
Parmi les points de 𝐶𝑓 ayant leur abscisse dans [−3 ; 15], on cherche celui qui a la plus grande ordonnée.
Le maximum de 𝑓 sur [−3 ; 15] est environ 3,5. Il est atteint lorsque 𝑥 = 15
2) Parmi les points de 𝐶𝑓 ayant leur abscisse dans [0 ; 9], on cherche celui qui a la plus petite ordonnée.
Le minimum de 𝑓 sur [0 ; 9] est environ −2,2. Il est atteint lorsque 𝑥 = 9
3) Parmi les points de 𝐶𝑓 ayant leur abscisse dans [−3 ; 15], on cherche celui qui a la plus petite ordonnée.
Le minimum de 𝑓 sur [−3 ; 15] est environ −2,4. Il est atteint lorsque 𝑥 ≈ 9,9
Conjectures à la calculatrice
1) Soit 𝑓 la fonction définie sur [−3 ; 1[ par 𝑓(𝑥) =𝑥2+1
𝑥−1. Conjecturer les extrémums de 𝑓 sur [−3 ; 1[
2) Soit 𝑓 la fonction définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) = −𝑥2
4 + 25𝑥 − 30. Conjecturer les extrémums de 𝑓 sur ℝ
Réponses
1) Le maximum de 𝑓 sur [−3 ; 1[ semble être environ −0,875. Il est atteint pour 𝑥 ≈ −0,696 𝑓 n’a pas de minimum sur [−3 ; 1[
2) Le maximum de 𝑓 sur ℝ semble être environ 595. Il est atteint pour 𝑥 = 50 𝑓 n’a pas de minimum sur ℝ
Savoir prouver qu’une fonction admet un extrémum Soit 𝑓 la fonction définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) = −𝑥2+ 4𝑥 + 5 a) Conjecturer la valeur de 𝑚, l’extrémum de 𝑓 sur ℝ b) Prouver la conjecture en factorisant 𝑓(𝑥) − 𝑚
Correction (méthode de preuve à connaitre !)
a) Avec la calculatrice, il semblerait que la maximum soit 9 et qu’il soit atteint pour 𝑥 = 2
b) 𝑓(𝑥) − 𝑓(2) = 𝑓(𝑥) − 9 = −𝑥2+ 4𝑥 + 5 − 9 = −𝑥2+ 4𝑥 − 4 = −(𝑥2− 4𝑥 + 4) = −(𝑥 − 2)2 Comme (𝑥 − 2)2≥ 0, on a : −(𝑥 − 2)2≤ 0
Donc 𝑓(𝑥) − 𝑓(2) ≤ 0
donc 𝑓(𝑥) ≤ 𝑓(2) pour tout 𝑥 ∈ ℝ
Le maximum de 𝑓 sur ℝ est 9. Il est atteint pour 𝑥 = 2.
III. Projeté orthogonal
Projeté orthogonal d’un point sur une droite
Le projeté orthogonal d’un point 𝐴 sur une droite 𝑑 est le point d’intersection entre
la droite 𝑑
et la perpendiculaire à 𝑑 passant par 𝐴
Propriété Soit 𝐻 le projeté orthogonal du point 𝐴 sur la droite 𝑑 Pour tout point 𝑀 ∈ 𝑑, 𝐴𝐻 ≤ 𝐴𝑀
Dit autrement, la distance 𝐴𝐻 est la plus petite distance entre 𝐴 et un point de 𝑑 On dit que 𝐴𝐻 est la distance du point 𝑨 à la droite 𝒅
Preuve : Pour 𝑀 ≠ 𝐻 , dans le triangle 𝐴𝐻𝑀 rectangle en 𝐻, d’après le théorème de Pythagore on a : 𝐴𝑀2= 𝐴𝐻2+ 𝐻𝑀2 or 𝐴𝑀2 > 0 donc 𝐴𝑀2 > 𝐴𝐻2 donc 𝐴𝑀2− 𝐴𝐻2> 0
donc (𝐴𝑀 + 𝐴𝐻)(𝐴𝑀 − 𝐴𝐻) > 0
Comme 𝐴𝑀 + 𝐴𝐻 > 0, en divisant chaque membre par 𝐴𝑀 + 𝐴𝐻 𝐴𝑀 − 𝐴𝐻 > 0
Donc 𝐴𝑀 > 𝐴𝐻
Exercice
Dans un repère orthonormé, 𝐴(0 ; −6) 𝐵(5 ; 4) 𝐶(−4 ; 1). M est un point de [𝐴𝐵].
On pose 𝑥 = 𝐴𝑀. On considère la fonction qui à 𝑥 fait correspondre la distance 𝐶𝑀 1) Donner 𝐷𝑓 l’ensemble de définition de 𝑓
2) Conjecturer le minimum de 𝑓 et le maximum de 𝑓 sur 𝐷𝑓 3) Prouver que 𝑓(2 √5) est le minimum de 𝑓 sur 𝐷𝑓
4) Conjecturer le tableau de variation de 𝑓
Correction 1) 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ( 5
10) donc 𝐴𝐵 = ‖𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ = √52+ 102= √125 = √25 × 5 = √25 × √5 = 5 √5
Comme M parcourt [𝐴𝐵], 𝐴𝑀 varie de 0 à 5 √5 donc l’ensemble de définition de 𝑓 est [0 ; 5 √5]
2) La plus grande valeur de 𝐶𝑀 est 𝐶𝐵.
Comme 𝐶𝐵 = √(5 − (−4))2+ (1 − 5)2= √92+ (−4)2 = √97
Le maximum de 𝑓 sur [0 ; 5√5] semble être √97. Ce maximum semble atteint pour 𝑥 = 5 √5
En s’appuyant sur le graphique, on appelle 𝐻 le point de coordonnées (2 ; −2).
𝐴𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (2
4) donc 𝐴𝐻 = √(2)2+ (4)2= √20 = √4 × 5 = √4 × √5 = 2 √5 𝐶𝐻⃗⃗⃗⃗⃗ ( 6
−3) donc 𝐶𝐻 = √(6)2+ (−3)2= √45 = √9 × 5 = √9 × √5 = 3 √5
Le minimum de 𝑓 sur [0 ; 5√5] semble être 3 √5. Ce minimum semble atteint pour 𝑥 = 2 √5
3) 𝐴𝐶 = √(4)2+ (−7)2= √65
D’une part 𝐶𝐻2+ 𝐴𝐻2= 45 + 20 = 65
D’autre part 𝐴𝐶2= 65
Donc 𝐴𝐶2= 𝐴𝐻2+ 𝐶𝐻2, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle 𝐴𝐻𝐶 est rectangle en H.
Ainsi 𝐻 est le projeté orthogonal de 𝐶 sur (𝐴𝐵) donc pour tout point 𝑀 de la droite : 𝐶𝑀 ≥ 𝐶𝐻 Ce qui s’écrit autrement 𝑓(𝑥) > 𝑓(2 √5)
4) Valeurs de 𝑥 0 2 √5 5 √5
𝐴𝐶 = √65 𝐶𝐵 = 3 √10
Variation de 𝑓(𝑥) = 𝐶𝑀
𝐶𝐻 = 3 √5
Soit 𝐻 le pied de la hauteur issue de 𝐶 dans le triangle 𝐴𝐵𝐶. Par lectures graphiques, il semble que 𝐻(2 ; 4)
