Classes logarithmiques signées des corps de nombres

J

OURNAL DE

T

HÉORIE DES

N

OMBRES DE

B

ORDEAUX

J

EAN

-F

RANÇOIS

J

AULENT

Classes logarithmiques signées des corps de nombres

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, tome

12, n

o

_{2 (2000),}

p. 455-474

<http://www.numdam.org/item?id=JTNB_2000__12_2_455_0>

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Classes

_{logarithmiques signées}

des

_corps

de

nombres

par

JEAN-FRANÇOIS

JAULENT

À _{Jacques Martinet,} à l’occasion de son soixantième anniversaire

RÉSUMÉ. Nous définissons le _2-groupe des classes

_{logarithmiques}

signées

d’un _corps de nombres par

analogie

avec le groupe des

classes d’idéaux au sens restreint et nous établissons les résultats de base de

_{l’arithmétique}

des classes

_{logarithmiques signées.}

ABSTRACT. We introduce the

_signed

_logarithmic

2-class _group of a number field as a

cyclotomic analogue

of the restricted ideal class group and we establish the fundamental results of the arithmetic

of

_{signed logaritmic}

classes.

Introduction

Le

_~-groupe

des classes

_{logarithmiques}

d’un _corps de nombres a été in-troduit dans

_[JI]

en liaison avec les _noyaux des

_~-symboles

_sauvages de

la K-théorie. On

_peut

dire

_{schématiquement}

_que son

_{interprétation}

via la

théorie

_~-adique

du _corps de classes

_(cf.

_[J2])

_revient,

_par

_rapport

à celle

classique

du

_~-groupe

des classes

_d’idéaux,

à substituer la notion d’extension

(localement)

cyclotomique

à celle d’extension

_(localement)

non ramifiée :

pour

chaque place

finie p du corps de nombre K

considéré,

le

complété

Kp

de K en p admet entre autres deux

_{Ze-extensions remarquables,}

la non

ramifiée

_K;r

et la

_cyclotomique

_K~,

_qui

se trouvent coïncider

_{lorsque p}

ne divise

pas Ê,

mais diffèrent substantiellement dans le cas

_{contraire ;}

et

le passage du cas

classique

au cas

logarithmique

revient à

échanger

leurs

rôles

_respectifs.

En d’autres

_termes,

la définition des _groupes de classes au sens

_{logarithmique}

consiste à

_remplacer

la valuation _{habituelle vp définie}

sur le

compactifié

_R~

de

_K~

à valeurs dans

_qui

induit le

_plongement

naturel de

_RK

=

Zz

0z K’ dans le

£-groupe

des idéaux

_~K

_{= 0153}

_p7e,

_par

son

analogue logarithmique

_Up

défini à

_partir

du

_logarithme

de la valeur absolue .~-

_adique

attachée à la

_place

finie p.

Lorsque

vaut

_2,

il est

_possible

d’affiner cette définition _pour

_prendre

en

compte

la contribution des

_places

réelles : on tombe alors sur la notion de

classes

_{logarithmiques}

au sens restreint introduite dans

_[S2]

par

analogie

avec la notion habituelle de classes d’idéaux au sens restreint. Tout bien

considéré,

il

_apparaît

_cependant

_que cette dernière notion n’est pas

tota-lement aboutie : s’il est vrai _que c’est le

_concept

d’extension localement

cyclotomique

qui

est au coeur de la

théorie,

il faut considérer _que la notion

de

_"signe"

ne concerne _pas seulement alors les

_places

réelles . Pour f =

2,

en

_effet,

la

_{pro-~-extension cyclotomique}

_Kp

_{[Ç20e d’un}

_corps local

_Kp

n’est pas

toujours

une

_{Zl-extension :}

cela est clair _pour les

_{places réelles,}

_pour

lesquelles

Kp

[Ç20e]

]

= C _est de

degré

2 _sur

Kp

=

R;

mais cela se

produit

aussi _pour les

_{places 2-adiques,}

où il

_peut

arriver que la

Z2-extension

cy-clotomique

_K

de

_Kp

ne contienne _pas les racines

_quatrièmes

de

l’unité,

auquel

cas est encore de

degré

2 sur

_K~,

ce

qui

se traduit _par

l’exis-tence d’une fonction

_"signe"

aux

_places

2-adiques.

D’où

l’intérêt ,

à

l’image

de ce

_qui

a été fait dans

[AJ]

_pour les _corps de

_fonctions,

de

_{généraliser}

proprement

le

_concept

de classes

_{logarithmiques signées}

en cohérence avec

les

_{correspondances}

données _par la théorie

_2-adique

du _corps de classes.

1. Fonction

_signe

attachée à une

_place

non

_complexe

Le nombre

_{premier ~}

= 2 étant désormais

fixé,

nous utilisons dans ce

qui

suit le formalisme de la théorie

_Sadique

du _corps de classes tel

_qu’exposé

dans

_[J2].

Rappelons qu’en chaque

place

non

_{complexe p}

d’un _corps de nombres

K est défini sur le

_{compactifié 2-adique}

_{Rp -}

fugKpx/K;2n

du _groupe

multiplicatif

_Kx

du

_complété

de K en p une valeur absolue

_2-adique,

à

valeurs dans 1 +

_27~2,

donnée _par la formule :

Dans

_celle-ci,

_sgp

_(x)

est la fonction

_signe

attachée au

_plongement

réel

cor-respondant

à la

_{place p; N~}

est la norme absolue de l’idéal _{p ;} et _vp est la valuation

_p-adique

attachée _{à p.}

La famille des valeurs absolues

_2-adiques

_lorsque

p parcourt l’en-semble des

_places

non

_complexes

de K

_peut

ainsi être

_regardée

comme un

morphisme

sur le

_2-groupe

des idèles

Il"’

_{Rp à}

valeurs dans

et il est bien connu

(cf.

[J3],

_prop.

1.8.)

_que les idèles

_principaux,

i.e. les éléments du tensorisé

_{2-adique RK}

=

regardé

_comme

sous-groupe

Maintenant,

la

_{décomposition canonique}

_{{±l}x(l+4Z2)}

F2 +

Z2 permet

d’écrire tout élément x de

_7G2

comme

_produit

de son

_signe

e(x)

E et de sa

_composante

"positive"

s(x)x

E 1 +

4~2.

Cette observation

naïve conduit à étendre comme suit la notion de

signe

aux

_places

non

réelles :

Définition 1. Nous

_{appelons fonction}

_signe

attachée à une

Place

non

com-pte p de Ki’ application

à valeurs dans

_définie

sur le

_{com,vactifié}

2-adique

Rp

= du

groupe

K~

par la

formule :

OÙ é est la

_fonction

_{signe canonique}

sur

Zg .

Il est commode de dire

_qu’une

_place

est

_signée

_lorsque

la fonction

_signe

attachée est non trivale. Les

places

réelles sont évidemment

signées.

Plus

généralement :

Proposition

2. Soit PlS’ l’ensemble des

_places

_signées

du _corps K. On a :

- - .

--Preuve. Il

_s’agit

de vérifier _que la fonction

_signe

_sgp

est triviale si et seule-ment si le

_complété

_Kp

contient les racines 4-ièmes de

_{l’unité ;}

ce

_qui

est bien évident pour les

places

à l’infini. Pour les

places finies,

distinguons :

Si p

est

_impaire

_{f 2),}

il vient directement :

Si p est

_paire

_(i.e.

p

2),

introduisons la 2-sous-extension maximale

Kp

de

_Kp

abélienne sur

Q2,

et observons que le groupe de normes

(dans

le

compactifié

profini

R2

de associé à l’extension abélienne _par la théorie

_Ê-adique

locale du _corps de classes est

_{(1 +422)}

2Z2.

Nous obtenons donc :

comme annoncé.

Corollaire 3. Nous disons _que le _corps K est

_{signé lorsqu’il}

existe au

moins une

place

_p de K

_qui

est

_{signée ;}

ce

_qui

a lieu si et seulement si

on

Preuve. Le théorème de

Cebotarev

montre

_qu’un

_corps

_signé

admet une

infinité de

_{places signées :}

ce sont celles

_qui

ne se

décomposent

_pas dans

l’extension

_quadratique

Nous supposerons

implicitement

dans tout ce

qui

suit

que K

est

signé.

En

_fait,

nous allons même faire

_apparaître

une condition

plus forte,

celle

de corps

logarithmiquement signé,

en dehors de

laquelle

la définition des

classes

_signées

est de _peu d’intérêt. Nous avons besoin _pour cela d’introduire

la notion d’élément totalement

_positif

_(au

sens

logarithmique).

Définition 4. Nous

_appelons

sous-groupe des éléments

positifs

de

Rp

et

nous notons le _noyau dans

_Rp

de la

_fonction

_signe

_sgp.

Le

_2-groupe

Rt

est donc d’indice 2 dans

_Rp

_{si p}

est

_{signée ; il}

coïncide avec

Rp

sinon.

/V N N

Le _sous-groupe

_U:

=

Up n

_Rt

( où Up

= _e

= :f:1})

est

le _groupe des unités

_{logarithmiques}

_positives

dans

_{Rp ;}

c’est aussi le _noyau dans

_Rp

de la valeur absolue

_p-adique

₁

_~~.

Enfin,

le

_produit

_{Ll~ _}

_~~

_up

est ainsi le _sous-groupe de

UK

=

~~

Up

f ormé

des unités

_{logarithmiques}

_positives.

IV N

Remarque.

Aux

_places

finies

_impaires,

nous avons

U:

=

Up;

aux

places

réelles,

Up

=

Rp =

et

_Llâ

=

Rt

=

1;

_aux

places paires

mais _non

signées,

_U/

=

Up

et

_R)

=

Rp ;

enfin,

aux

places

signées

paires,

il faut

distinguer :

(i)

pour i e

_K~,

le _groupe

_np/u:

est

_procyclique,

isomorphe

à

_22,

ce

_qui

_permet

d’écrire :

(ii)

pour i

e

Kp,

le groupe est

bicyclique,

isomorphe

à

_{Z2 ?}

_IF2,

de _{sorte que} l’on a :

_{Up =}

_ep &#x3E; _pour une unité

logarithmique

ep g

_U:

dont le carré est dans

_ut,

_{puis :}

Notons _que

_lorsque

_{[Kp : Q2]}

est

_impair,

il vient

qui

permet

de choisir

_{E~ _ -1}

et donne

_{T~p = {±1}}

_U:

_7r~2

avec _{7r p} E

_7~~.

Ce choix _est, bien

_entendu,

_impossible

_lorsque

_{[Kp : Q2]}

est

_pair.

Définition &#x26;

_Proposition

5. Nous

_{appelons logar’ithmiquement signées}

celles des

_places

du _corps K

_qui

_vérifient

i

_~

_Kg.

L’ensemble

_PLSK

des

places

de K

_qui

sont

_{logarithmiquement signées}

est donc

_formé:

(i)

des

_places

réelles d’une

_part,

(ii)

et de celles des

_places

_2-adiques

_pour

_lesquelles

le _groupe de Galois

Preuve. Pour

_{chaque place p}

de

_K,

notons

_K~

l’extension locale associée à

la

_Z2-extension

_cyclotomique

de K. Il

_s’agit

de caractériser les conditions locales i E Or :

(i)

pour p finie

impaire,

la condition i E

_K~

est

_{automatiquement}

satis-faite ;

(ii)

pour p

infinie,

nous avons

_K~

=

K~

et la condition

précédente

s’écrit

tout

_simplement

_{C ;}

(iii)

pour p finie et

_paire,

_enfin,

il

_peut

arriver que le groupe

ne soit _pas

procyclique

(i.e.

_que

contienne -1) ;

ce cas se

_produit

si et seulement si on a

i e

_{K~ .}

Définition 6. Par _groupe des

_signatures

_{logarithmiques}

d’urc _corps de

nom-bres

_K,

nous entendons le

F2-espace

vectoriel

défini

_{par .’}

qui

a _pour dimension le nombre SK de

places

de

PLSK.

Lorsque

~~ n’est pas

nul,

nous disons _que le _corps K est

logarithmique-ment

_{signé ;}

ce

_qui

a lieu si et seulement si l’extension attachée à la

_Z2-extension

_cyclotomique

KC de K n’est _pas localement triviale

par-tout,

en d’autres termes si et seulement si l’élément i

_{n’appartient pas à}

la 2-extension abélienne localement

_cyclotomique

maximale

Klc

de K.

Il est alors commode de

_{poser Ul}

=

f(UP)p c-

UK

1

_11P

1

up

1p

=

en

indiquant

_par un tilde la restriction induite

par la

f ormule

du

produit.

Exemple.

Les _corps

_{quadratiques logarithmiquement signés}

sont les _corps

quadratiques

réels et les _corps

_{quadratiques imaginaires}

avec

_{d ~}

1, 2

[mod 8].

2. Construction du

_2-groupe

des classes

_{logarithmiques signées}

Rappelons

que la valuation

logarithmique

Ue

attachée à une

place finie p

est définie sur le

compactifié 2-adique

R~

de

K~

_par la formule :

où

_{deg p}

est choisi de telle _{sorte que} soit

_égale

à

_Z2

_(cf.

_(J1~,

Déf

1.1).

Le noyau

Up

de

_Sp

_est,

_par

_définition,

le _sous-groupe des unités

loga-rithmiques

de

_{Rp ;}

il coïncide avec le sous _groupe de torsion

Up =

_{pp de}

Rp

pour p t

200,

mais en diffère

_{généralement}

sinon.

Introduisons maintenant le 2-adifié

_JK

=

n;es

Rp

du _groupe des idèles

- p

réciproque

de _par

_{l’application}

_TIp

₁

et notons

_Lfx

=

llpùp le

sous- _groupe des unités

_{logarithmiques}

locales. Le

_quotient

est le

_2-groupe

des diviseurs

_{logarithmiques}

_(de

_degré

_nul)

du _corps

_{x ;}

on

peut

le

_regarder

comme l’ensemble des combinaisons linéaires

¿p

_{vp p} de

places

finies de K à coefficients

_{dams 22 qui}

satisfont la condition de

_degré

Ep

vp

deg p

= 0.

L’image

dans

Dé K

du

2-groupe

des idèles

principaux

Z2

oz K’

_(considéré

comme un _sous-groupe de est

_alors,

_par

définition,

le

_2-groupe

des diviseurs

_{logarithmiques}

_principaux.

La condition de

_degré

mise à

_part,

le

_quotient

peut

être tenu comme

_{l’analogue logarithmique}

du

_2-groupe

des classes

d’idéaux du _corps K. C’est le

_2-groupe

des classes

_{logarithmiques}

du corps considéré. Il est d’ailleurs fini sous les

_conjectures

_~-adiques

standard

(cf.

[Jl])

et

_{s’interprète}

par la théorie

2-adique

du corps de classes comme

groupe de Galois attaché à la 2-extension abélienne

loca-lement

_cyclotomique

maximale

Kl~

de K relativement à la

_Z2-extension

cyclotomique

KC.

Pour construire le

_2-groupe

des classes

_{logarithmiques}

au sens

_restreint,

il est tentant de

_procéder

_par

_analogie

avec le cas

_classique

en

_remplaant

simplement

le _sous-groupe

_principal

au dénominateur de _par le

sous-groupe

engendré

par les seuls éléments totalement

positifs

(au

sens

logarithmique).

Malheureusement la formule du

produit

_pour les va-leurs absolues introduit ici une

_complication

_{supplémentaire}

dont il est

indispensable

de tenir

_compte

_{scrupuleusement}

_pour

_respecter

la cohérence

avec les

isomorphismes

du _corps de classes

global.

Précisons ce _que nous

entendons _par là :

Définition 7. Dans un _corps

_{logarithmiquement signé}

_K,

nous disons

qu’un

idèle E sens

logarithmique :

(i)

globalement positif,

lorsqu’il

satisfait

la

_formule

du

_produit

_pour les

fonctions

signes

_sgp

attachées aux

places

de K. Le _groupe des idèles

globa-lement

_positifs

est ainsi

(ii)

totalement

_{positif, lorsqu’il}

est

_{globalement positif et d’image}

triviale dans le _groupe des

_signatures

_{5 gl! K.}

Le _sous-groupe de

_,7K

_formé

des idèles totalement

_positifs

est ainsi :

Son _sous-groupe unité

_(au

sens

logarithmique)

est de même :

En

_particulier,

le _groupe des éléments

_globaux

totalement

_positifs

est le

no yau

Rk

=

TZx fl

J:

dans

RK

du

_morphisme

_signature

_sglK

à valeurs dans

8g£K-On

_{prendra garde}

_que les idèles totalement

_positifs

sont

_pris

dans

_,7x,

et

_qu’ils

vérifient donc la condition de

_{positivité globale}

_fl

_{sg (zp )}

= + 1.

Les idèles

_principaux

sont,

eux,

globalement positifs

en vertu de la formule du

_produit

_pour les valeurs absolues.

Lemme 8. On a les

égalités

entre groupes

,~x

=

J:

d’où résultent les

_{isomorphismes}

entre

_{quotients :}

Preuve. La

_première

_égalité

est une

conséquence

facile du théorème

d’ap-proximation simultanée ;

la seconde résulte de l’identité :

où le tilde sur le

_signe

fI

est induit _par la formule du

_produit.

Le passage

aux

_quotients

est alors immédiat.

_ _

On observera toutefois

_qu’en

_général

les deux _groupes et

ne coïncident _pas.

Définition &#x26;

_Proposition

9. Nous

_appelons

_groupe des classes

logarith-miques

signées

d’un _corps de nombres K

_{logarithmiquement signé le}

quo-tient

(i)

Définissant

le

_2-groupe

des diviseurs

_{logarithmiques}

_signés

_(de

_degré

nul)

comme le

_quotient

MK =

notant son _sous-groupe

principal

i. e.

l’image

canonique

de

_RK),

et écrivant de même

PÊK

le

sous-groupe de

VfK =

ÎKIÛK

formé

des diviseurs

logarithmiques

principaux

(au

sens

ordinaire)

engendrés

_par les éléments totalement

positifs

(au

sens

(ii)

Et la théorie

_2-adique

du _corps de classes

_interprète

ainsi le _groupe des classes

_{logarithmiques signées}

comme _groupe de Galois

de la

_{plus grande}

_{pro-2-eztension}

abélienne

Klcs

de K

_{complètement}

_décomposé

sur KCS = en chacune de ses

_places,

relativement à la

_{pro-2-extension}

cyclotomique globale

KCS de K.

Preuve. Le seul

_{point qui}

_pose réellement

_problème

est

_{l’isomorphisme}

puisque

le

_premier

groupe s’écrit

canoniquement

Jz /

ux

R%

et le second

RI

Et,

comme on a banalement =

LlK

Ri,

tout

N N N

revient donc à s’assurer de la trivialité du

_quotient

_Or,

dans la

correspondance

du _corps de

_classes,

celui-ci

_{s’interprète}

comme le _groupe de

Galois en

effet,

JK

fixe son _sous-groupe

_,%K

fixe

enfinUKRK

fixe

_{Klc. Et,}

le _corps K étant

_réputé

_{logarithmiquement}

signé,

la définition 6 nous dit

_{précisément}

_que l’extension n’est

pas localement

triviale ;

d’où le résultat.

Corollaire 10. Dans un _corps

_{logarithmiquement sigrcé,}

diviseurs

logarith-miques

signés

et diviseurs au sens ordinaire sont liés par la suite exacte courte :

En

_particulier,

le _noyau de la

_{f ormule}

du

_produit

dans le

_2-groupe

des

signatures SgéK s ’identifie

au _sous-groupe de torsion de et au

quotient

de sorte

_qu’on

a

(non canoniquement) :

Remarque.

Même

_{lorsque les places}

_2-adiques

ne sont pas

signées,

le

2-groupe des classes

signées

ne coïncide donc _pas en

_général

avec le

2-groupe

des classes

_{logarithmiques}

au sens restreint

reg

défini dans

[S2],

du fait de la condition de

_positivité

_globale

introduite dans la définition 9.

Comme dans le cas

_classique,

le groupe des classes

_signées

est un

in-variant

_{arithmétique}

_plus

fin _que son

homologue

au sens ordinaire. Plus

précisément,

si

_SK

=

désigne

le

(globales)

du corps K et

-E+

= _son

sous-groupe totalement

positif

(au

sens

logarithmique),

il existe une suite exacte

_{canonique :}

En

_particulier,

il suit :

Proposition

11. Sous la

_conjecture

de Gross

_{généralisée,}

le

_2-groupe

des classes

_{logarithmiques signées}

est un

_2-groupe

_fini,

d’ordre :

Et,

pour tout corps

logarithmiquement signé K,

on

a l’équivalence :

3. Formule des 2-classes

_{logarithmiques}

_{signées ambiges}

Comme _pour les 2-classes

_{logarithmiques}

au sens

ordinaire,

le

_problème

de la

_propagation

de la trivialité du

_2-groupe

des classes

_{logarithmiques}

signées

se _pose naturellement dans le cadre des 2-extensions

(i.e.

des

exten-sions

_galoisiennes

_{L / K}

de

_degré

une

_puissance

de

_{2 ) , où}

l’on

_peut

_espérer

relier l’ordre du _sous-groupe des

_points

fixes dans

_CÊSL

_pour l’action de G =

Gal(L/K)

à celui de

Cés K

par une formule

explicite

ne faisant

inter-venir _que des invariants

_{arithmétiques}

_simples

de l’extension

_{considérée,}

à

l’image

du

_classique

résultat de

_Chevalley

sur les classes

ambiges

d’idéaux.

L’expérience

montrant toutefois

_qu’une

telle formule est rarement

ex-ploitable

en dehors du cas

cyclique,

du fait de l’occurence de facteurs

co-homologiques

difhcilement calculables en toute

_{généralité,}

et la formule du

produit

venant

_apporter

des

_{complications supplémentaires}

par

rapport

au cas des

_idéaux,

nous n’hésitons _pas dans cette section à faire

_quelques

hypothèses

simplificatrices, quitte

à _renvoyer l’étude

_générale

à la section

suivante consacrée aux classes

_{logarithmiques}

centrales,

dont la définition

est

_plus

directement reliée aux outils habituels de la théorie du _corps de

classes.

Considérons donc une 2-extension

galoisienne

de _corps de nombres

lo-garithmiquement signés

et notons G =

_Gal(L/K)

son _groupe de

Galois. Sous

_{l’hypothèse}

de

_primitivité

0

_(que

nous

discu-terons

_plus

_loin),

_partant

de la suite exacte courte

_qui

définit le

_2-groupe

CÎSL =

prenant

les

_points

fixes _par

_G,

et

comparant

la suite

commutatif

_(où

les flèches verticales sont induites par les

morphismes

ca-noniques

d’extension) :

Formant alors le

_diagramme

du

_serpent,

nous obtenons immédiatement

l’identité entre ordres de _groupes finis

_(avec

=

Ker dlL K

= 1) :

(

I

L/K

I

I

/

I

D’où la formule

_(où

les deux membres sont simultanément finis ou

infinis) :

Cela

_étant,

il vient successivement :

- _G

-Lemme 12. Sous la condition =

0,

l’indice

qui

mesure alors la

ramification logarithm2que,

est donné

_{par la formule :}

où

_désigne

l’indice de

_{ramification logarithmique}

de la

_place

_finie

p dans l’extension

L/K.

Preuve. C’est le résultat établi dans

_[Jl]

_(cf.

_Prop.

_4.4),

sous la condition

H1 (G,

ViL)

=

0,

qui exprime

_en termes

cohomologiques

la

primitivité

de

la ramification

_{logarithmique.}

Lemme 13.

_Lorsque

l’extension

_galoisienne

_L/K

est

_cyclique,

les

rela-tions entre la

_cohomologie

des diviseurs

_{logarithmiques}

_principaux

totale-ment

_positifs

et celle des unités

_{logarithmiques}

totalement

_positives

four-nissent l’identité :

Preuve. Partons de la suite exacte courte

_qui

définit le _groupe

Pf1 ;

_L formons la suite de

_{cohomologie associée,}

_{et comparons} la à la même suite écrite pour

. Le

diagramme

obtenu commence ainsi :

Et le lemme du

_serpent

nous donne la suite exacte

_{longue :}

- I 1

Maintenant,

si G est

_cyclique,

il vient :

ce

_qui

_permet

de

_remplacer

la seconde

_partie

de la suite exacte

_précédente

par :

Et le résultat annoncé

_{suit, compte}

tenu de

_{l’égalité}

entre _groupes de

normes :

Ek n

NL/K(RL) =

EL n

Lemme 14.

_Toujours

_lorsque

l’extension est

_cyclique,

le

_quotients

de Herbrand attachée au

2-groupe

des unités

logarithmiques globales

totalement

positives

est

_donné,

sous la

_conjecture

de Gross

_{généralisée,}

_par la

formule ;

où

_ID,1

₁

_désigne

le

_degré

local _{en p} de l’extension

_{L/ K}

et p

parcourt

l’ensemble

_PlK

des

_places

à

_l’infini

du _corps K.

Preuve. Le _groupe

S£

étant d’indice fini dans

_EL,

il a le même

_quotient

de Herbrand. Le lemme résulte donc directement du calcul de

_{q(G, EL)}

effectué dans

_{[J 1] (cf.}

cor.

3.7).

Lemme 15. Dans une 2-extension

L/K

de _corps

logarithmiquement

signés,

on

a l’égalité :

Preuve. Partons du

_diagramme

commutatif

_(où

nous avons

remplacé

_par 0

le _groupe de

_cohomologie

en vertu du théorème 90 de

_{Hilbert) :}

Nous obtenons immédiatement les

_{isomorphismes :}

-

-d’où l’identité attendue :

Lemme 16. Convenons de dire

_{qu’une place}

_{logarithmiquement signée}

du corps K se

dessigne

dans l’extension

L/K

lorsqu’aucune

des

places

au-dessus n’est

_signée

dans L. Ecrivons alors l’ensemble

_PLSK

des

_places

logarithmiquement signées

du _{corps K} comme la réunion

disjointe

du sous-ensemble

_formé

des

_places

_p

_qui

se

déssignent

dans

L/K

et du sous-ensemble

_formé

de celles

_qui

restent

_{logarithmiquement}

_signées

dans

L

₍

de _{sorte que}

_PLSK

=

P LDr; K

U est la

_partition

naturelle

de l’ensemble des

_places

réelles de K entre celles

_qui

se

complexifient

dans

L/K

et celles

_qui

se

_décomposent

complètement).

Cela

_étant,

il vient :

où le tilde

_{représente la formule}

du

_produit,

_Dp

est un _sous-groupe de

décomposition

de la

_place

p dans l’extension

L / K

et l’indice vaut

0 si l’un au moins des

_Dp

_{pour p} e

_PLSLIK

est

_égal

à G et 1 dans les autres cas.

Preuve. La définition du _groupe des

_signatures

_{logarithmiques}

nous donne :

puisque

la formule du

_produit

n’intervient _que si l’un au moins des

_Dp

est

égal

à G. L’identité

donne alors le résultat annoncé.

En fin de

_compte,

nous _pouvons énoncer comme suit le théorème

fonda-mental de cette section :

Théorème 17. Dans une 2-extension

cycliq2ce priraitiverraent

ramifiée

L/ K

de _corps de nombres

_{logarithmiquement signés,}

le nombre de 2-classes

lo-garithmiques signées

invariantes _par G =

Gal(L/K)

est

_{donné par}

la

for-mule :

où

_{PLD 2}

_{(respectivement}

est l’ensemble des

_places

_2-adiques

du _corps K

_qui

sont

_{logarithmiquement}

_signées

dans K mais non dans L

(respectivement

et

_qui

le restent dans

_L),

est l’indice de

ramifica-tion

_{logarithmique}

de la dans l’extension

_L/K,

et

_8L/K

est nul

_sauf

si les _sous-groupes de

_{décomposition}

_Dp

des

_places

de

_PL8’i/K

sont tous distincts de

_{G, auquel}

cas il vaut 1.

4. Formule des 2-classes

_{logarithmiques signées}

centrales Pour aborder maintenant le cas des 2-extensions

(galoisiennes)

en toute

généralité,

nous allons nous intéresser non

plus

au

plus

grand

_sous-groupe

-G

invariant du _groupe des classes

_{logarithmiques signées,}

mais

_plutôt

à son

plus

grand

_quotient

_qui

est invariant _pour l’action du groupe

de Galois G de l’extension

_L/K

considérée. Contrairement au _sous-groupe

ambige

le

_quotient

_{admet ,}

en

effet,

une

interprétation

galoi-sienne

_{particulièrement simple,}

ce

_qui

le rend

_plus

accessible aux

_techniques

classiques

de la théorie du _corps de classes.

Bien

_entendu,

si G est

_cyclique

_(et

_{fini) ,}

on a banalement :

ce

_qui

redonne la formule du théorème

_17,

mais en

_général

ces deux

quan-tités ne coïncident _pas.

Il est commode d’introduire d’abord _{le genre}

_{logarithmique signé :}

Définition 18. Le

_2-corps

des genres

logarithmiques signés relatif

à une 2-extension

_L/K

de _corps de nombres

_{logarithmiquement}

_signés

est la

_plus

grande

pro-2-extension Llcs

fl

LKab

de L

_qui

est

_{complètement}

_décomposée

sur LCS = = et

_provient

(par

composition

avec

L)

d’une

pro-2-extension abélienne de K.

Le _groupe de Galois =

GaI (Lies

fl

LKab / LCS)

est,

_par

définition,

le

_2-groupe

des _genres

_{logarithmiques signés}

de l’extension

_L/K.

Comme

_{expliqué plus}

_haut,

la détermination du _genre

_{logarithmique}

signé

d’une 2-extension

_L/K

relève des méthodes du _corps de classes

2-adique.

Considérons,

en

effet,

le schéma de _{corps :}

Notons _pour

_simplifier

N la norme

_{arithmétique}

_NL/K

attachée à

l’exten-sion

_L/K.

Comme

_expliqué

dans la section

_2,

la 2-extension

_cyclotomique

LCS = de L est associée _au

2-groupe

d’idèles

:Ji,

et la

_{pro-2-extension}

abélienne au _sous-groupe

ut

_RL.

_D’après

la théorie du _corps de

_classes,

leurs sous-extensions maximales LCS n

LKab

et

Llcs

n

LKab qui

pro-viennent

_(par

_composition

avec

L)

d’une 2-extension abélienne de K sont

donc

_{respectivement}

associées aux saturés _pour la norme

et des _groupes

_{précédents.}

En

_particulier,

il vient ainsi :

et,

par suite :

Dans la formule obtenue le facteur

_U£RK)

n’est autre _que le dénominateur

_{(~K :}

_N(Ji)RK)

est

_égal

à

_[LCS

n

Kab :

_Kcs];

et le dernier

facteur s’écrit encore :

puisque

l’intersection de

RK

avec

NL/KCUt)

est évidemment contenue dans

le _sous-groupe

_£j(

des unités

_{logarithmiques}

_positives

_globales

du corps K.

Lemme 19. Pour

_{chaque place}

p du corps

K,

l’indice

normique

(?,f~ :

(~))

est donné

_{par la}

_formule

suivante

_(où

épb(L/K)

désigne

l’indice de

_ramification

abélianisé de la

_place

p dans l’ ex-tension

_{L/K) :}

Preuve. Pour

_{chaque place p}

de K

_{et q3}

arbitraire de L au-dessus de p,

désignons

par

L p bla

sous-extension maximale de

L~

qui

est abélienne sur

_

Si p

et

_réelle,

nous avons trivialement

Zlp

=

1,

d’où

éâb+(L/K) -

1;

si p est finie mais

_impaire

nous avons

p

et

Ll + _

d’où

directe-par définition de l’indice de ramification

logarithmique

(cf.

(J1~) ;

enfin,

si p est

_paire,

nous _{pouvons écrire}

(en

abrégeant

_par

N) :

Maintenant,

l’indice

_{(Lf~ :}

_ut)

au dénominateur est

égal

à 1 ou

_{2 ;}

et le deuxième cas n’a lieu _{que si} la

place

_p est

logarithmiquement signée

dans

K. Dans cette

_hypothèse,

l’indice

_{(N(Û,3) :}

au numérateur n’est

lui même

_égal

à 2 _que si les

_{places 13}

au-dessus de p sont encore

logarithmi-quement

signées

dans L. En fin de

_compte

le

_quotient

_{(Lfp :}

vaut donc _{2 si p} est dans

_PLDL~K

et 1 dans tous les autres cas.

Quant

à l’indice

_{(Lfp :}

c’est tout

_simplement

comme

Nous pouvons donc énoncer :

Théorème 20. Dans une 2-extension

L/K

de _corps de

nombres,

le _genre

logarithmique signé

est

_{donné par}

la

_{f ormule :}

Dans celle-ci

_EK

_désigne

le

_2-groupe

des unités

_{logarithmiques}

_positives

de K

_{et ,}

_pour

_chaque

_{place p}

du _corps de

_base,

_{p (LIK)}

est l’indice de

ramification loganithmique

de la sous-extension abélienne maximale

_{Lab lKp}

associée à l’extension locale

_LTIKP.

Remarques.

(i)

Contrairement à la formule des classes

_ambiges

_qui

ne _{vaut que} dans

le cas

cyclique,

la formule des _genres ne

requiert

aucune

hypothèse

sur la

nature de l’extension

_L~K.

Elle ne _{suppose pas} non

plus

_que K vérifie la

conjecture

de Gross

_(pour

le

_{premier 2 : lorsque}

celle-ci est en défaut dans

K,

la formule obtenue montre _que est

_infini,

et le corps L ne la

vérifie _pas non

_plus.

(ii)

Pour K fixé

_(en

_particulier

dès _que

CésK

et

£K

sont

_donnés),

la formule obtenue ne fait intervenir _que les

_{propriétés galoisiennes}

ou locales de l’extension

_{considérée,}

et non ses

propriétés globales.

Corollaire 21. Dans une 2-extension abélienne

LK

de _corps de nombres

logaritmiquement signés,

le _genre

_{logarithmique signé}

est donné _par la

for-mule :

Preuve. Seule reste à vérifier

_{l’égalité}

_{Kc’] = [Lc :}

_qui

résulte du fait

_qu’on

a

i e

Lc, puisque

le _corps L est

réputé

logarithmiquement signé.

Le corollaire 21 ci-dessus nous donne ainsi une condition nécessaire de

tri-vialité du

_2-groupe

des classes

_{logarithmiques}

_signées

dans une 2-extension

abélienne de _corps de

_{nombres, qui}

_généralise

exactement celle obtenue dans le cas

_cyclique

à l’aide de la formule des classes

_ambiges.

Pour obtenir en

retour un critère

suffisant,

il convient

cependant

de

remplacer

le

_quotient

des _{genres par} un invariant

plus

fin,

le

_2-groupe

des classes

_{logarithmiques}

signées

centrales,

que nous allons maintenant introduire :

Définition &#x26; Théorème 22. Nous

_{appelons 2-groupe}

des classes

corps de nombres le

plus grand

quotient

du _groupe

_CJ;L

sur

lequel

le _groupe de Galois G =

Gal(L/ K)

opère

trivia-lement.

-(i)

La condition

GCJ;L

= 0 caractérise les 2-extensions L de K

qui

ont _un

2-groupe

ÉÊSL

trivial. En d’autres

_termes,

on a :

CfSL

= 0 _t~

GCJ;L

= 0.

(ii)

Le nombre de classes

_{logarithmiques}

centrales est

_donné,

avec les

notations du théorème

_précédent

par la

formule :

où est le _sous-groupe de

_RK

_formé

des éléments

_qui

sont normes

/

locales,

_LIK

_NL/KRL)

désigne

le nombre de noeuds de

l’ex-/ _ _ _

tension

_L/K

et l’indice = est induit

par la

formule

du

_produit

_pour les valeurs absolues.

Remarque.

Comme

_expliqué

dans

_[Jl]

et

_[AJ],

le nombre de noeuds est un invariant

_purement

galoisien

de l’extension

L/K.

Par

exemple,

si

G est

_abélien,

il est

_égal

à l’indice dans le carré extérieur G n G de G du _sous-groupe

_engendré

_par les

_Dp

A

_Dp

_lorsque

_Dp

décrit les _groupes de

décomposition

des

_places

de K. En

_particulier,

il vaut 1 dans le cas

_cyclique.

Preuve du théorème. L’assertion

_(i)

est

_purement

_{algébrique :}

si G est un

2-groupe fini,

l’idéal

_{d’augmentation}

IG

de

_{l’algèbre 2-adique}

_{7~2 ~G~}

est

topologiquement nilpotent,

de _{sorte que pour tout}

_Z2[G]-module

noethérien

M,

on _a, en notations additives : M = 0 _~ M =

IG M,

_{en vertu} du

lemme de

_Nakayama.

Et tout le

_problème

est donc d’évaluer le nombre de classes centrales.

Ecrivons le _pour cela comme

_produit

de trois entiers sous la forme :

et examinons successivement chacun des trois facteurs :

(a)

Le

_premier

facteur a n’est autre que le nombre de _genres

signés

1

puisque l’égalité

LI’ = entraîne

(b)

Transporté

par la norme

globale

N =

NL/K,

le second b s’écrit encore :

or :

Lemme 23.

_SOitAfLIK

=

Alors,

dans le

quotient

précédent,

(i)

le numérateur

_(RK

n

_{N(JL) : N(RL)) =}

_N(RL))

est le nombre de noeuds de l’extension

_L/K,

(ii)

et le dénominateur vaut Preuve. On a en effet :

(c)

Enfin,

il est intéressant de _{remarquer que} le dernier facteur c s’écrit :

les deux indices étant induits _par la formule du

_produit,

le

_premier

_pour les valuations

_{logarithmiques,}

le second _pour les

_signatures.

Corollaire 24. Sous les

_hypothèses

du

_théorème,

le

_2-groupe

des clas-ses

_{logarithmiques}

_signées

du _corps L est trivial si et seulement si les trois

conditions suivantes sont réalisées :

Remarque.

En dehors du cas

_cyclique,

où

_s’applique

le

_principe

de

_Hasse,

le calcul de l’indice

_normique

_{(SK :}

ne relève _pas des

seules méthodes locales mais fait intervenir de faon effective

_{l’arithmétique}

globale

de l’extension considérée.

Index des

_principales

Notations Notations attachées à un _corps local

Kp :

Rp

_{= lim}

le

_{compactifié 2-adique}

du _groupe

_{multiplicatif}

_{Kpx ;}

R ’

t°’" :

le

_2-groupe

des racines de l’unité dans

_Kp

v~

( ) : la

valuation

(au

sens

ordinaire)

sur

~Zp

à valeurs dans

~2 ;

Up

= Ker vp le sous-groupe unité de

Up

- Ker le _sous-groupe des unités

_{logarithmiques}

dans

1 IP

la valeur absolue

_2-adique

sur

_{R p}

à valeurs dans

ut

Ker 1 p :

le sous-groupe des unités

logarithmiques

positives

de

Rp;

sg~ ( )

- ~ ( ~ ( ~ ) :

la fonction

_signe

sur

_Rp

à valeurs

dans +1 ;

Rt

= Ker

_sgp

le sous-groupe des éléments

positifs

de

Notations attachées à un _corps de nombres K :

,~x

Rp :

le 2-adifié du _groupe des idèles

~x

= ~2

0z KX : le sous-groupe des idèles

principaux ;

UK

_FIP

le _groupe des unités

_{logarithmiques}

_{locales ;}

£K RK n

le _groupe des unités

_{logarithmiques globales ;}

JKIÛK :

le groupe des diviseurs

logarithmiques

(au

sens

_{ordinaire) ;}

JK

le sous-module des éléments de

_degré

nul dans

_{JK ;}

le groupe des diviseurs

logarithmiques

de

degré

nul ;

RKIÈK

le _sous-groupe des diviseurs

_{logarithmiques}

_{principaux ;}

êÊK

= VfK/PfK :

le _groupe des classes

_{logarithmiques}

_(au

sens

ordinaire) ;

le _noyau dans

_JK

de la formule du

_produit

_pour les valeurs

_{absolues ;}

sous-groupe unité de

le _sous-groupe

_{logarithmiquement positif}

de

Ri

RK

n le sous-groupe

logarithmiquement positif

de

U£

= UK

n

_{J- +}

_{le sous-groupe} unité de

_{~K ;}

Ex

sous-groupe

logarithmiquement positif

de

EK ;

sous-groupe

principal

totalement

positif

de

V£K;

cli

- le _groupe des classes

logarithmiques

ositives ;

x

_

l_x

g P g q P

le _groupe des diviseurs

_{logarithmiques}

_{signés ;}

7Zx/~K :

le _sous-groupe

_principal

de

le _groupe des classes

_{logarithmiques signées ;}

JZ :

le _groupe des

_signatures

_{logarithmiques}

du corps

x ;

Notations attachées à une 2-extension

L / K

de _corps de nombres :

l’ensemble des

_places

_{logarithmiquement signées}

dans l’ensemble des

_{places logarithmiquement dessignées}

dans

Bibliographie

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