Montrer que pour toutn∈N,Kn∈C(K)

ECE2 Khôlle 3 Septembre 2021

- EXERCICE1 (NIVEAU1) -

Soitpun entier naturel non nul. On noteMp(R) désignant l’ensemble des matrices carrées d’ordrep.

SiKest une matrice fixée deMp(R), on appelle commutant deK, le sous-ensemble suivant, notéC(K) : C(K)=©

M∈Mp(R),K M=M Kª 1. Montrer queC(K) est un espace vectoriel.

2. Montrer que pour toutn∈N,Kⁿ∈C(K).

3. Montrer que si les matricesMetNappartiennent àC(K), alors le produitM Nappartient aussi àC(K).

4. SoitA,BetPtrois matrices vérifiant la relation : A=P B P⁻¹. Pour toute matriceMdeMp(R), on poseM⁰=P⁻¹M P. Montrer que : M∈C(A)⇐⇒M⁰∈C(B).

5. Dans cette question, on choisitp=3 et on considère la matrice : T=



 1 0 0 0 2 1 0 0 2



.

(a) SoitN∈M3(R). Montrer queN∈C(T) si et seulement siNest de la forme



 a 0 0 0 b c

0 0 b



avec (a,b,c)∈R³. (b) En déduire une base deC(T).

- EXERCICE2 (NIVEAU2) -

SoitA∈Mn(R) une matrice carrée telle queA²=A. On pose : E_A=©

X∈Mn,1(R)|AX=Xª

et F_A=©

X∈Mn,1(R)|AX=0ª . 1. Montrer queE_AetF_Asont des espaces vectoriels.

2. SoitU∈Mn,1(R). On cherche à montrer qu’il existe un unique vecteurV appartenant àE_Aet un unique vecteurWappartenant àF_Atels que :U=V+W.

Pour cela, on va faire un raisonnement par analyse synthèse. On suppose dans la phase d’analyse que le résultat est vrai pour obtenir des candidats pour les vacteursV etW. Puis on montre dans la phase de synthèse que ces candidats répondent à la question.

(a) Analyse.Montrer que si U=V+W avecV∈E_A et W∈F_A alors : V=AU et W=(I−A)U.

(b) Synthèse.En déduire que pour toutUdeMn,1(R), il existe un uniqueV∈E_Aet un uniqueW∈F_Atels que :U=V+W.

3. On notepla dimension deE_Aetqcelle deF_A.

Soient (V1,· · ·,V_p) une base deE_Aet (W1,· · ·,W_q) une base deF_A.

(a) Montrer, à l’aide de la question 2b, que (V1,· · ·,V_p,W1,· · ·,W_q) est une famille génératrice deMn,1(R).

(b) Montrer que la famille (V1,· · ·,V_p,W1,· · ·,W_q) est une famille libre deMn,1(R).

(c) En déduire que dimE_A+dimF_A=n.

- EXERCICE3 -

Soitn∈N^∗. On se propose d’étudier les racines de l’équation (E_n) suivante pourx>0.

(E_n) : lnx+x=n

1. Dresser le tableau de variations de la fonctionfdéfinie surR^∗₊par :f:x7→lnx+x. 2. En déduire que, pour toutn∈N^∗, (E_n) admet une unique racinex_n. Donner la valeur dex₁. 3. Montrer que la suite (x_n)_n∈Nest strictement croissante puis quex_n>1 pour toutn∈N^∗. 4. (a) Justifier quefest bijective et donner le tableau de variation def⁻¹.

(b) En déduire la limite de la suite (x_n)_n∈N∗.

5. (a) En utilisant (sans le redémontrer) que : ∀x∈R^∗₊, lnx<x, prouver que : ∀n∈N^∗,n

26^xn6^n.

(b) En déduire que ln(x_n)

n tend vers 0 quandntend vers+∞. (c) En déduire que : x_n ∼

+∞n.

(d) Montrer que : ∀n∈N^∗,x_n+1−x_n=1−ln µx_n+1

x_n

¶ . (e) En déduire la limite de x_n+1−x_n.

6. Compléments :On pose :∀n∈N^∗,u_n=n−x_n lnn . (a) Montrer que :∀n∈N^∗,u_n−1=ln¡_xn

n

¢ lnn .

(b) Quelle est la limite deu_nquandntend vers+∞? (c) Montrer que x_n

n =1−u_nln(n)

n puis en déduire que : u_n−1 ∼

n→+∞−1 n. (d) En déduire que, pour toutn>^{2, on a : x}n=n−lnn+lnn

n +o µlnn

n

¶ .

- EXERCICE4 - Retour sur le DM2.