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1.8 Initialisation : Pour n = 1, on constate que 1

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Academic year: 2022

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1.8 Initialisation : Pour n= 1, on constate que 13+ 5·1 = 6est divisible par 3. Hérédité : Supposonsn3+ 5n divisible par3pour un certainn ∈N. Il existe

donc un entiera tel que n3+ 5n = 3a. (n+ 1)3+ 5 (n+ 1) =

n3+ 3n2+ 3n+ 1 + 5n+ 5 = n3+ 3n2+ 8n+ 6 =

(n3+ 5n) + (3n2+ 3n+ 6) = 3a+ 3 (n2+n+ 2) =

3 (a+n2+n+ 2)

Voilà qui montre que (n+ 1)3 + 5 (n + 1) = 3 (a +n2 +n+ 2) est un multiple de 3 ou, si l’on préfère, est divisible par 3. La preuve est donc terminée.

Analyse : raisonnement par récurrence Corrigé 1.8

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