BUT : pré-requis CALCUL COURS-Ex JF Ferraris – BUT : pré-requis – Calcul – Cours et exercices – page 1

Table des matières

1 CALCUL NUMERIQUE ... 2

1.1 FRACTIONS 2 1.2 COMPARAISONS, ENCADREMENTS 4 1.2.1 SIGNE D’UN NOMBRE, D’UNE OPERATION : ... 4

1.2.2 SITUER UN NOMBRE : ... 4

1.2.3 COMPARER DEUX NOMBRES : ... 4

1.2.4 ENCADRER UN NOMBRE PAR DEUX AUTRES ... 4

1.3 PROPORTIONNALITE 6 1.3.1 ACTIVITES ... 6

1.3.2 DEFINITIONS ... 7

1.3.3 PROPRIETES DES TABLEAUX DE PROPORTIONNALITE ... 8

1.3.4 FORMULES RECTANGULAIRES ... 8

1.3.5 PROPORTION ET REPRESENTATION GRAPHIQUE ... 8

1.4 TAUX ET POURCENTAGES 11 1.4.1 TAUX ET POURCENTAGE SIMPLE ... 11

1.4.2 TAUX ET POURCENTAGE DE VARIATION ... 12

1.5 LES FORMULES TRIANGULAIRES 13 1.6 PUISSANCES 14 1.6.1 PUISSANCES D’UN NOMBRE ... 14

1.6.2 PARTICULARITES DES PUISSANCES DE 10 ... 15

2 FORMES DU PREMIER DEGRE ... 17

2.1 RAPPELS DE CALCUL 17 2.1.1 NOMBRES RELATIFS ET REGLE DES SIGNES ... 17

2.1.2 PRIORITES DES OPERATIONS... 18

2.1.3 DEVELOPPEMENT : DISTRIBUTIVITE ... 19

2.2 EQUATIONS DU PREMIER DEGRE 20 2.2.1 EQUATION SIMPLE ... 20

2.2.2 EQUATIONS DE PRODUIT NUL ... 21

2.3 INEQUATIONS DU PREMIER DEGRE 21 2.4 SYSTEMES D’EQUATIONS 22 2.4.1 ACTIVITE ... 22

2.4.2 OBJECTIFS ... 23

2.4.3 METHODES DE RESOLUTION ... 23

2.4.4 CAS OU LE SYSTEME N’A PAS UNE SOLUTION UNIQUE ... 23

2.5 MISE EN EQUATION D’UN PROBLEME 24 3 NOTION DE FONCTION ... 26

3.1 EXEMPLE D’APPROCHE 26

3.2 VOCABULAIRE 27

3.3 COURBE REPRESENTATIVE ET LECTURES GRAPHIQUES 28

3.4 FONCTIONS LINEAIRES 28

3.5 FONCTIONS AFFINES 28

1 Calcul numérique

1.1 Fractions

Une écriture fractionnaire est une façon d’exprimer une division : 6

6 5 1,2 5= ÷ = , 3

3 4 0,75 4= ÷ = . La règle des signes s’applique donc aux fractions : 6 6 6

5 5 5

=− = −

− car ⁶÷ − = − ÷ = − ÷ = −

( ) ( )

^{5 6 5}

(

^{6 5}

)

^1,2

6 6 5 5

− =−

On notera que les écritures fractionnaires sont en général plus commodes que leurs homologues « en ligne » : on évite quelques parenthèses et la division et l’addition/soustraction sont bien séparées : il est plus facile de lire 3 7

2 +

− que de lire

(

^{3 7+ ÷ −}

) ( )

² , que l’on risque de confondre avec 3 7 2+ − ^… Les écritures fractionnaires peuvent donc faire partie intégrante d’un calcul. Il faut alors se familiariser avec elles afin de pouvoir les additionner, les multiplier, voire les diviser entre elles !

Voyons d’abord quelques illustrations graphiques qui nous feront comprendre les règles générales :

le disque complet représente l’unité (il vaut 1). A l’intérieur, les secteurs sont des fractions du disque : des divisions, des portions (comme des parts de pizza).

formule générale : a c a

c b b

× = ×

formules générales : c a a c b× =b

× a c a c b d b d

× = ×

×

formule générale : a c a c

b b b

+ = +

formule générale : a c a d b c

b d b d

× + × + = × 1 %

0,25 25

4= =

1=100%

3 %

0,75 75

4= =

1 4 1 4

1 1 3 4

3× =4 4

% % 3 25× =75

1 8 1 8

1 1 8 8 1 8 1 8 1 8

1 8

1 2 1

2× = =8 8 4 1 6 2 3 3

6 8 8 2 4 4

× = = × =

×

2 4 6

8+ =8 8

1 1 1

2× =4 8

1

Pour finir (il manque la division), parlons de l’inverse : L’inverse du nombre a est 1

a et celui de la fraction a b ^est

b a^.

Formules complémentaires : diviser avec des fractions

1 1

; ; ;

a a

b a a c ac b a d ad b a a

a a b b b c b c bc c b c bc

b c d

= = × = = × = = × =

les trois premières formules : diviser par une fraction, c’est multiplier par son inverse, la dernière : diviser par un nombre, c’est… multiplier par son inverse.

Attention : lorsque des fractions sont placées dans des fractions, il faut positionner le trait de la division principale en face du signe « égale » !

Exercices

1.1.1 Compléter le tableau suivant, à l’image de sa première ligne.

littérale décimale fractionnaire taux

un dixième un cinquième

un quart un demi deux tiers trois quarts

un cinq quarts

0,1

0,25

1

1

10 10 %

20 %

≈ 66,67%

1.1.2 Effectuer les calculs proposés ci-dessous (réduire le résultat s’il y a lieu) – les fractions apparaissant en première ligne seront dans un deuxième temps traduites en pourcentages.

; ; ; ; ;

; ; ; ; ;

; ; ; ; ; ; ; ;

1 3 1 3 5 9 3 2 1 1 3 1 2 1

4 4 10 10 10 14 7 7 2 4 2 2 5 10

2 3 3 9 2 9

3 2 9 3 9 2

9 9 2 2 3 3

1 5 3 7 7 6

1 1 5 1 3 2 4 4 11

1 2 1 4 2 9 3 3 12

2 4 9 2 2 22

+ + + − + + − +

× × × × × ×

−

−

− 1.1.3 Calculer

5 3

2 1 ; 5 12 ; 2 ; 8 4

3 4 6 15 2 7 5

A B C D

= − = × = + = ÷

1.1.4 Un père donne en héritage à ses trois enfants toute sa fortune. Le quart de cette somme va à son premier enfant. Le tiers va à son deuxième enfant. Le reste, d'une valeur de 20 000 €, est attribué à son troisième enfant. Quelle est la valeur du total de l'héritage ?

1.1.5 Trois personnes se partagent une pizza. La première en prend un sixième, la deuxième en prend un quart, et la troisième 3 parts d'un huitième. Combien en reste-t-il ?

1.2 Comparaisons, encadrements 1.2.1 Signe d’un nombre, d’une opération :

un nombre réel est positif ou négatif (chacun de ces cas inclut la possibilité qu’il soit nul).

Donner le signe d’un nombre :

erreur : « Le signe de –4 est négatif » erreur : « –4 a un signe négatif » OK : « –4 est négatif »

Signe d’une opération :

On a vu avec la règle des signes que, par exemple, le produit ou le quotient de deux nombres négatifs est positif. Le cas de ces opérations (multiplication et division) est encadré par cette règle.

Pour l’addition ou la soustraction, il n’y a pas toujours de réponse définie :

(prenez vous-mêmes des exemples numériques de ce qui est énoncé ci-dessous !) - la somme de deux nombres positifs est positive ;

- la somme de deux nombres négatifs est négative ;

- la somme de deux nombres de signes contraires est de signe indéterminé ; - la différence de deux nombres positifs est indéterminée ;

- la différence de deux nombres négatifs est indéterminée ;

- la différence d’un nombre positif par un nombre négatif est positive ; - la différence d’un nombre négatif par un nombre positif est négative ; 1.2.2 Situer un nombre :

Attention au langage des bornes :

« au moins » signifie « au minimum » (donc « supérieur ou égal à »)

« au plus » signifie « au maximum » (donc « inférieur ou égal à »)

« moins de » signifie « strictement inférieur à »

« plus de » signifie « strictement supérieur à » Exemple : parmi les entiers de 0 à 10, lesquels valent…

a. au plus 4 ? 0, 1, 2, 3, 4 b. plus de 4 ? 5, 6, 7, 8, 9 c. au moins 5 ? 5, 6, 7, 8, 9

d. moins de 5 ? 0, 1, 2, 3, 4 e. plus de 3 et au plus 6 ? 4, 5, 6 f. moins de 5 et au moins 4 ? 4 1.2.3 Comparer deux nombres :

2 est inférieur à 5 : 2 < 5 (on dira même « strictement » inférieur) 3 est supérieur à –5 : 3 > –5 (strictement supérieur)

Supérieur/inférieur, plus grand/plus petit ?

Comme on l’a vu, les nombres peuvent être rangés, ordonnés, « sur » un axe orienté (classiquement nombres croissants de gauche à droite, en repérant le 0 à un endroit qui marque la séparation entre les nombres négatifs et les nombres positifs).

Un nombre a est dit « inférieur » à un nombre b lorsque a se trouve à gauche de b dans ce schéma.

b est alors supérieur à a, c’est-à-dire à droite de a sur le schéma.

Par contre, un nombre est dit plus grand qu’un autre si sa distance à 0 est plus grande.

Exemple : –10 est inférieur à 5, mais –10 est plus grand que 5.

1.2.4 encadrer un nombre par deux autres

On dit qu’un nombre est compris entre deux autres lorsqu’il est supérieur à l’un et inférieur à l’autre.

Par exemple : 7 est compris entre 5 et 10, car 7 > 5 et 7 < 10.

On dira que ce nombre est encadré par les deux autres, et on citera cet encadrement par une double

On peut modifier un encadrement par des opérations, par exemple : multiplier par deux chacun des trois nombres. Il faut alors se demander si le nouvel encadrement reste vrai…

On peut aussi vouloir combiner ensemble deux encadrements. Il faut alors respecter des règles.

Modification d’un encadrement par addition ou soustraction : l’encadrement reste vrai Exemple : 5 < 7 < 10 addition de trois unités : 8 < 10 < 13

Modification d’un encadrement par multiplication ou division : l’encadrement reste vrai si le nombre introduit est positif, mais il doit être inversé si ce nombre est négatif.

Exemple 1 : 5 < 7 < 10 multiplication par 2 : 10 < 14 < 20 Exemple 2 : 5 < 7 < 10 multiplication par –3 : –30 < –21 < –15

Combinaison d’encadrements par addition ou multiplication : les deux bornes inférieures se combinent ensemble, ainsi que les deux bornes supérieures

Exemple : 6 < a < 10 et 2 < b < 3 implique : 8 < a + b < 13 et aussi 12 < a×b < 30

Combinaison d’encadrements par soustraction ou division : une borne inférieure d’un encadrement se combine avec la borne supérieure de l’autre encadrement !

Exemple : 6 < a < 10 et 2 < b < 3 implique : 3 < a – b < 8 et aussi 2 < a^÷b < 5

Exercices

1.2.1 La durée d’un jour terrestre est supérieure à 23h59min et inférieure à 23h59min10sec.

a. Convertir ces deux durées en heures dans le système décimal avec 6 chiffres après la virgule.

b. Donner un encadrement à 10^–4 près de la durée d’un jour.

1.2.2

a. Un véhicule consomme habituellement entre 4 et 8 L/100km. Donner un encadrement de la consommation de 50 véhicules.

b. À l’issue d’un contrôle, les notes des élèves sont réparties de 5 à 13. Donner un encadrement des notes si on les relève toutes de 2 points.

1.2.3 On doit planter des pins et des bouleaux sur un espace vert communal. La mairie vous donne les quantités suivantes : entre 4 et 6 pins ; nombre total d’arbres : entre 10 et 13.

Quel est l’encadrement du nombre de bouleaux à prévoir ?

1.2.4 M.Marchand a possédé un nombre variable de vaches au cours de l’année écoulée : entre 8 et 11.

Chaque vache a eu une production journalière variant entre 14 et 20 litres de lait.

Donner un encadrement de la production laitière quotidienne de son exploitation.

1.2.5 Lors d’un concours de dressage hippique, on doit réaliser entre 8 et 10 figures, dont un nombre de figures au pas compris entre 3 et 5, puis des figures de saut. Donner un encadrement du nombre de figures de saut à réaliser.

1.2.6 Un propriétaire de chevaux possède 20 bêtes et désire louer 20 boxes. Il se renseigne dans les environs et remarque que le prix de location mensuel d’un box est compris entre 300 et 450 €.

a. Donner un encadrement du loyer total de 20 boxes.

b. Du fait de la quantité louée, il bénéficierait d’une réduction comprise entre 40 et 60 € par box. Donner un nouvel encadrement du loyer total.

1.3 Proportionnalité 1.3.1 Activités

Exemple d’approche 1

L’échelle d’un plan est le rapport entre une dimension sur le plan et celle qui lui correspond dans la réalité. On la calcule par : ^plan

réel

éch d

= d et on l’exprime sous le forme 1

éch=n où n est le facteur d’échelle.

1. Une maison mesure 16 mètres de longueur et son plan montre une longueur de 32 cm. Quelle est l’échelle du plan ?

2. Dans le plan précédent, combien mesurerait sa largeur si la valeur réelle est 12 mètres ? 1. dplan = 32 cm et dréel = 1600 cm (toujours dans la même unité !). Donc éch = 32/1600.

Comme 1600/32 = 50, on donne l’échelle sous forme : éch = 1/50^e.

2. La réalité est 50 fois plus grande que le plan. Donc la largeur sur le plan est 1200 cm / 50 = 24 cm.

Exemple d’approche 2

Le dosage est une opération de mesures qui intervient :

- en chimie (choix des quantités à mettre en présence pour une réaction, dosage en mol.L^-1), - pour les relevés de pollution (taux d’ozone dans l’atmosphère basse = 200 ppm – parties par

million)

- engrais industriels (engrais à 30% de phosphates – 300 L par m³ d’engrais), carburants, … - béton (dosé à 350 kg par m3 de béton)

- vinaigre titré à 8° (masse d’acide éthanoïque = 8% de la masse totale) - recette de cuisine (240 g de farine pour 6 personnes)

- etc.

1. Je dois préparer 150 L d’engrais dosé à 32% de phosphates. Combien de litres de phosphates utiliser ?

2. Ma recette indique 240 g de farine pour 6 personnes. Combien de farine faut-il prévoir pour 8 personnes ?

1. Méthode empirique : Il faut 32 L de phosphates pour 100 L d’engrais. 150 L d’engrais représente une fois et demie la quantité précédente. Il faut donc rajouter la moitié de 32 L.

Pour 150 L d’engrais, on doit utiliser 48 L de phosphates.

Méthode calculatoire : 32% de 150 = 32/100 × 150 = 48.

2. Méthode empirique : 8 personnes représentent 6 plus un tiers de 6. Il faut donc prévoir un tiers de farine en plus : 240 + 1/3 de 240 = 240 + 80 = 320. Il faut 320 g de farine.

Méthode calculatoire : 240 × 8/6 = 320.

Remarque : dans les méthodes calculatoires ci-dessus, une division intervient systématiquement (150/100 ou 8/6). Cette forme est à la base de la définition qui suit.

1.3.2 Définitions Listes proportionnelles

Une liste L est un ensemble de valeurs citées dans un ordre bien précis.

On souhaite comparer deux listes A = (a1, a2, …, an) et B = (b1, b2, …, bn) formées du même nombre de termes (ici : « de longueur n »), tous non nuls.

Par définition, dire que deux listes A et B sont proportionnelles, c'est dire que pour tout entier i compris entre 1 et n le rapport bi/ai est constant.

Notons "c" ce rapport unique, lorsqu'il existe, et appelons-le "coefficient de proportionnalité de A vers B", nombre par lequel il faut multiplier les valeurs de A pour obtenir celles de B.

Exemple 1 : Soit les listes l = (2, 4, 6, 10, 20) et L = (10, 20, 30, 50, 100). Sont-elles proportionnelles ? Calculons les rapports : 10

2 =5 ; 20

4 =5 ; 30

6 =5 ; 50

10 =5 ; 100 20 =5. La liste L est « cinq fois plus grande » que la liste l ; rapport constant : 5.

Elles sont donc proportionnelles et le coefficient de proportionnalité de l vers L est 5.

On peut écrire L= ×5 l. Grandeurs proportionnelles

On peut aussi parler de proportionnalité sans citer de valeurs, mais en parlant plus généralement de

« choses » qui pourraientt se mesurer (des grandeurs) et en les comparant entre elles.

Par exemple : le périmètre et le diamètre d’un cercle sont proportionnels.

Le coefficient de proportionnalité est π.

En effet : quel que soit le cercle, le périmètre vaut π x son diamètre La notion de grandeurs proportionnelles s’associe à une formule.

Dans l’exemple précédent, on écrira la formule générale : p = π x d

Exemple 2 : Une automobile roule à 80 km/h. La distance parcourue et le temps passé sont-ils proportionnels ?

Ici, distance et temps sont deux grandeurs pour lesquelles nous n’avons pas de valeurs.

Nous pouvons :

* soit créer quelques exemples et les représenter :

En une heure, la distance parcourue est 80 km, en deux heures 160 km, en trois heures 240 km, etc. Tableau :

temps de trajet (t, en h) 1 2 3

distance parcourue (d, en km) 80 160 240

Résultat général : il semble bien que, pour n’importe quelle durée t, la distance parcourue se calcule en multipliant t par 80. d et t sont proportionnelles et le coefficient de proportionnalité de t vers d est 80 : d =80×t .

* soit connaître la formule générale qui relie distance, vitesse et temps : d = ×v t.

On remarque que cette formule traduit immédiatement une situation de proportionnalité entre la distance et le temps, avec un coefficient de proportionnalité égal à v.

3 ...

1 2

1 2 3

n n

b

b b b

a =a =a = =a

1.3.3 Propriétés des tableaux de proportionnalité

Lorsque les valeurs de deux grandeurs (ou de deux listes) proportionnelles sont positionnées dans un tableau, ce dernier est appelé tableau de proportionnalité.

Un tel tableau possède des propriétés remarquables :

* la multiplication/division d’une colonne par un nombre de notre choix donne une autre colonne,

* l’addition/soustraction de deux colonnes donne une troisième colonne,

* dans un groupe de deux colonnes, les produits en croix sont égaux.

2 4 6 10 20 1 2 3

7 14 21 35 70 80 160 240

2 × 14 = 7 × 4 (= 28) 1 × 240 = 80 × 3 (= 240)

col.2 + col.3 = col.4 col.3 – col.2 = col.1 col.1 + col.2 = col.3

5 × col.2 = col.5 3 × col.1 = col.3

1.3.4 Formules rectangulaires

Les formules rectangulaires décrivent l’égalité de deux fractions, a c

b=d, b et d non nuls.

Elles font donc état d’une proportion respectée entre les listes (a, b) et (c, d) de longueur 2.

Dans ce cas, on a par équivalence l’égalité des produits en croix :

ad = bc

.

Mais on peut aussi placer ces quatre nombres dans un tableau de proportion et considérer de façon mécanique que chaque trait intérieur de ce tableau peut représenter un trait de fraction :

a c

b=d permet la notation a c b d ^, qui entraîne les égalités : a b b d c d

c =d, a = c , a = b 1.3.5 Proportion et représentation graphique

Deux listes de valeurs peuvent donner lieu à une représentation graphique (page suivante) :

en plaçant les valeurs de la première liste sur un axe horizontal et celles de la seconde sur un axe vertical, on positionne un point sur le plan pour chaque couple de valeurs rencontré.

Dans le premier exemple ci-dessous, on obtient six couples : (2 , 7), (4 , 14), etc. qui se traduisent graphiquement par six points (en rouge).

À partir de l’exemple 2, on obtient de même cinq points (en bleu).

On observe alors que l’ensemble des points issus de deux listes proportionnelles se trouve sur une même droite, et que cette droite contient aussi l’origine de notre repère.

Cette observation est une propriété de la proportionnalité : - elle est vraie pour tout couple de listes proportionnelles - elle n’est vraie que pour des listes proportionnelles

× 5

× 5

× 3

× 3

Exercices

1.3.1 Compléter le tableau suivant constitué de deux listes proportionnelles

14 35 42 1

10 35 1 45

1.3.2 Lesquels sont des tableaux de proportionnalité ?

a. 2 20 b. 20 1 c. 8,5 5,5

5 50 10 2 34 22

d. 2 5 e. 2 4 10 20 50

20 50 14 28 70 140 350

1.3.3 Un producteur de cerises vend pour 22 € sa caisse de 12 kg.

a. À l’aide d’un tableau de proportion, dire combien il vendrait une caisse de 5 kg.

b. Il a estimé son bénéfice à 0,25 €/kg. Quelle quantité devra-t-il vendre pour en retirer un bénéfice de 1000 € ?

1.3.4 a. Un taille-haies mesure 0,80 m pour une puissance de 2 cv ; un autre mesure 1,10 m pour une puissance de 3 cv. Puissance et longueur sont-elles proportionnelles ?

b. Un taille-haies mesure 0,80 m pour une puissance de 2 cv ; puissance et longueur sont proportionnelles. Calculer la puissance d’un taille-haies mesurant 1 m.

1.3.5 Un employé est payé en fonction du temps de travail comme l’indique le tableau ci-contre :

a. Est-ce un tableau de proportionnalité ? pourquoi ?

b. Calculer le salaire correspondant à 85 h 30 min de travail.

c. Calculer le temps de travail nécessaire pour obtenir un salaire de 1 755 € ; exprimer le résultat en heures minutes.

1.3.6 Afin de monter une petite entreprise, trois amis, Paul, François et Marc ont besoin de 200 000 €. Ils décident d’investir respectivement 94 000 €, 61 000 € et 45 000 €. Au bout d’un an ils réalisent un bénéfice total de 75 000 € qu’ils se partagent proportionnellement à leurs investissements.

Calculer la part de chacun.

1.3.7 Trois vendeurs ont reçu chacun une prime, proportionnelle au montant des ventes qu’ils ont réalisées dans le mois. Le vendeur A a vendu pour 12 000 € , le vendeur B pour 8 000 € et le vendeur C pour 11 000 €. Sachant que le vendeur B a reçu 200 € de moins que le vendeur A, calculer le montant de chaque prime.

Temps (h) 1 10 50 Salaire (€) 12 120 600

1.3.8 On veut réaliser une maquette de la ville de Paris avec ses monuments principaux.

On dispose d'une maquette de la Tour Eiffel de 30 cm de haut (hauteur réelle : 300 m).

a. Quelle sera l'échelle de la maquette ?

b. Sachant que Paris mesure d'est en ouest 12 km, quelle sera la taille de la maquette de la ville ? c. Quelles seront les dimensions de la maquette de l'Arc de Triomphe sachant qu'elles sont en réalité

de 55m × 50m × 20m ?

d. La place de l'Etoile est circulaire et mesure 200 m de diamètre. Les aires des places réelles et maquette respectent-elles le facteur d'échelle ? Pourquoi ?

1.3.9 Le prix d'un diamant est proportionnel au carré de son poids. Un diamant de 0,45 g vaut 3 000 €.

a. Combien coûte un diamant de 0,693 g ?

b. Quel est le poids d'un diamant valant 30 000 € ?

1.3.10 Dire que deux grandeurs x et y sont proportionnelles, c'est dire que le rapport y/x est constant.

Notons donc y/x = K. Nous avons ainsi la possibilité de calculer y pour chaque valeur de x : y = Kx.

Graphiquement, l'ensemble des points (x, y) obtenus est une droite qui contient l'origine.

Placer les points correspondant au tableau de l’exercice 1.3.6, puis en déduire un tracé de la droite :

1.3.11 Une personne a donné la répartition du temps qu’elle passe à diverses tâches, dans une journée type de la semaine : travail : 11/36, TV : 1/12, trajets : 1/18, sommeil : …/…, autres : 2/9. Calculer la proportion du temps consacré au sommeil, puis vérifier si cette personne lui consacre 8 heures/nuit.

1.4 Taux et pourcentages 1.4.1 Taux et pourcentage simple

* Soit une série (liste) de valeurs. On appelle indice une seconde liste proportionnelle à la première, débutant par un chiffre rond (au choix : 10, 100, 1000, 10000, …) nommé base.

exemple :

valeur à suivre 30 24 45

indice (base 1000) 1000 800 1500

* On appelle pourcentage un indice de base 100.

exemple :

valeur à suivre 30 24 45

indice/pourcentage 100 80 150

Le pourcentage de v par rapport à V est le nombre v 100 p= ×V

Le taux de v par rapport à V est le nombre v t=V

Comme on le voit dans la forme des calculs (pourcentage = indice de base 100, formules montrant une division) et dans le schéma ci-dessus, valeur et pourcentage sont deux grandeurs proportionnelles.

Il est donc possible de résoudre un exercice sur les pourcentages avec un tableau de proportionnalité et des calculs de produits en croix, sans utiliser directement les formules.

Exemple 1 : quel est le pourcentage de 250 par rapport à 400 ? valeur pourcentage

référence 400 100

à comparer 250 62,5

250 représente 62,5% de 400

Exemple 2 : quelle est la valeur dont 300 représente 75% ? valeur pourcentage

référence 400 100

à comparer 300 75

300 représente 75% de 400

* Le symbole % signifie « pour cent », c’est-à-dire « divisé par 100 ». C’est une opération.

Par exemple : 80% = 80/100 = 0,8 ; 80% de 5 = 80/100 x 5 = 0,8 x 5 = 4.

Pour calculer des indices, le plus rapide est d’utiliser les produits en croix

24 pour 30 vaut 80 pour cent 24 80

30 =100 =80 %

avec l’exemple précédent : 80 et 80 %

p= t=

« 24 vaut 80 % de 30 »

1.4.2 Taux et pourcentage de variation

* Soit une valeur v₁ évoluant en une valeur v₂.

On appelle pourcentage de variation le pourcentage que représente la variation, v₂−v₁, par rapport à la valeur de référence, v₁.

Le pourcentage de variation de v₁ vers v₂ est donc le nombre ^{2 1}

1

v v 100

p v

= − ×

Le taux de variation de v₁ vers v₂ est le nombre ^{2 1}

1

v v

t v

= −

Il en découle que :

v1

si on veut augmenter une valeur de p 1

100

 p 

 + 

 

%, alors il faut la multiplier par ,

v1

si on veut diminuer une valeur de p 1

100

 p 

−

 

 

%, alors il faut la multiplier par .

Là encore, valeur et pourcentage sont deux grandeurs proportionnelles.

Il est toujours possible de résoudre un exercice sur les pourcentages avec un tableau de proportionnalité et des calculs de produits en croix, la valeur de référence (en face du pourcentage 100) étant toujours la première dans l’ordre chronologique : v1. (mais les formules ci-dessus sont plus efficaces !)

Exercices

1.4.1 L’acier est un mélange de fer et de carbone (maximum 2 % de carbone, en masse). Pour produire une tonne d’acier, quelle est la masse maximale de carbone à utiliser ?

1.4.2 Deux agents immobilier comparent leurs ventes du mois. Le premier a réalisé un total de 3 millions d’euros alors que le second est arrivé à 2,7 millions d’euros. Quel est, en pourcentage, la part du second comparée à celle du premier ?

1.4.3 L’entreprise ABC a augmenté son chiffre d’affaires de 120 000 € par rapport à l’année dernière, ce qui représente une augmentation de 6 %. Quels sont ses chiffres d’affaires actuel et de l’année dernière ? 1.4.4 Le prix de l’abonnement à la piscine est passé de 200 € à 215 €. De quel taux a-t-il augmenté ? 1.4.5 Un vêtement se vend habituellement 60 €. On applique 30% de soldes. Quel sera son prix soldé ? 1.4.6 Un vêtement se vend soldé à 60 €. Le taux de soldes est 30%. Quel est son prix hors soldes ? 1.4.7 Une facture affiche un montant HT (hors taxes) de 526 €. Le taux de TVA est 20 %.

a. Quel est le montant de TVA et le montant TTC (= HT + TVA) ?

b. Le vendeur décide d’apppliquer une remise de 10% à son client : calculer le « Net à payer », pour ce dernier, donc le montant TTC baissé de 10%

c. Le client aurait-il payé la même somme si le vendeur avait décidé d’appliquer d’abord la remise de 10%

avec l’exemple précédent : variation de 30 à 24

24 30 6 24 30 6

100 100 20 et 0,2 20 %

30 30 30 30

p= − × =− × = − t= − =− = − = −

avec l’exemple précédent : diminuons la valeur 30 de 20 % :

( )

2

30 1 20 30 1 0,2 30 0,8 24

v  100

= × − = × − = × =

 

2 1 1

100

v v  p 

= × + 

 

1.5 Les formules triangulaires

Notons aussi un outil pratique pour les formules triangulaires : b a= c .

Dans ce cas, on peut « ranger » les données dans un triangle où le trait intérieur traduit le trait de fraction :

entraîne les égalités : b,

c b ac

=a = ^. exemple : résoudre l’équation

x =

−

2 5

1 (pour x ≠ 1) On a immédiatement x – 1 = 2/5 et donc x = 7/5.

De multiples exemples correspondent à ce mode de calcul :

* vitesse = distance / temps

* chiffre d’affaires = prix unitaire x quantité

* puissance = énergie / temps

* taux = valeur 1 / valeur 2

* etc.

1.6 Puissances

1.6.1 Puissances d’un nombre

* Puissances entières positives

Si on considère l’addition répétée d’un même nombre, il peut être plus simple de faire un regroupement, en définissant la multiplication : 7+ + + + = ×7 7 7 7 7 5

De même, la multiplication répétée d’un même nombre pourra être simplifiée en utilisant une puissance : 7 7 7 7 7× × × × =75 qui se lit « 7 puissance 5 » ; le nombre 5 est placé en exposant

Définition : le nombre aⁿ (« a puissance n ») est le produit de a par lui-même, n fois.

a a × × × × = ⋯ a a a

n où n est un entier naturel (0, 1, 2, 3, …) Cas particuliers : a³ = a×a×a se dit « a au cube »; a² = a×a se dit « a au carré »;

a¹ = a ; a⁰ = 1

* Puissances entières négatives

Définition : le nombre a⁻ⁿ (« a puissance moins n ») est l’inverse de aⁿ.

1 1

n

a

n

a a a a a

−

= =

× × × × ⋯

où n est un entier naturel (0, 1, 2, 3, …) et a≠0.

* Propriétés algébriques (règles de calcul)

Si n et p sont deux entiers relatifs (c’est-à-dire positifs ou négatifs), et a et b deux nombres quelconques (non nuls s’ils forment un dénominateur) :

propriétés exemples

n p n p

a × a = a

^{+ 72}× = × × × × =⁷³

(

^{7 7}

) (

^{7 7 7}

)

⁷⁵

( )

6 4 1 2

7 7 7 7 7 7 7 7 7

7 7 7 7

× − = × × × × × × =

× × ×

n

n p p

a a a

=

−

5

2 3

3 3 3 3 3 3

3 3 3 3 3

× × × ×

= =

× ×

( ) ( )

2

8 6

5 5 5

5 5 5 5 5 5 5 5 5

5 1

5 5 5 5 5 5

−

= × = × × × × × × × =

× × × × ×

on voit aussi dans ce deuxième exemple que :

ap a^−p

diviser par , c’est multiplier par

( ) ^a

^{n p}

^{= a}

^{n p×}

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

^{52 4 = 52 × 52 × 52 × 52} = × × × × × × × =

⁽

^{5 5}

^{) (}

^{5 5}

^{) (}

^{5 5}

^{) (}

^{5 5}

⁾

⁵⁸

( ) ( ) ( ) ( )

^{5−2 3= 5−2 × 5−2 × 5−2 =}₅^12×₅^{12 ×}₅^{12 =}₅²_{× ×5}¹² ₅^{2 =}₅^{16 =5−6}

( )

ⁿ

n n

a × b = × a b

⁷²× = × × × = × × × =³²

(

^{7 7}

) (

^{3 3}

) (

^{7 3}

) (

^{7 3}

)

^{21 21}× =²¹²

Attention : les formules sont valables lorsqu’elles font appel à des multiplications. On ne peut pas les transposer à des cas d’addition. Il suffit de constater par exemple que (2 + 3)² vaut 5², donc 25, alors que 2² + 3² = 4 + 9 = 13. Ainsi, par exemple : (a + b)ⁿ≠ aⁿ + bⁿ

n facteurs

n facteurs

1.6.2 Particularités des puissances de 10

Lorsqu’on met le nombre 10 à une certaine puissance, les définitions et propriétés précédentes restent vraies (puisqu’elles le sont pour tout nombre).

Par contre, comme nous écrivons nos nombres en base 10, certaines écritures sont remarquables :

= × = = × × = = × × × × =

= × × × × × × × × =

2 3 5

9

10 10 10 100 ; 10 10 10 10 1000 ; 10 10 10 10 10 10 100 000

10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 1000000000 10ⁿ possède n zéros.

2 1 3 1 6 1

10 0,01 ; 10 0,001 ; 10 0,000001

100 1000 1000 000

− = = − = = − = = 10^-n possède n zéros.

Puissances

de 10 Préfixe sens Symbole exemple écriture sans puissance de 10 10⁹ Giga milliard G 1,2 GW : 1,2 gigawatts 1 200 000 000 watts 10⁶ Méga million M 53 Mo : 53 mégaoctets 53 000 000 octets*

10³ Kilo millier k 25 kg : 25 kilogrammes 25 000 grammes 10² Hecto centaine h 12,5 hL : 12,5 hectolitres 1 250 L

10¹ Déca dizaine da 6 dam : 6 décamètres 60 m

10⁰ = 1 : unité

10^-1 Déci dixième d 5,4 dg : 5,4 décigrammes 0,54 gramme 10^-2 Centi centième c 35 cm : 35 centimètres 0,35 mètre 10^-3 Milli millième m 12 mA : 12 milliampères 0,012 ampère 10^-6 Micro millionième µ 64 µg : 64 microgrammes 0,000 064 gramme 10^-9 Nano milliardième n 4 nm : 4 nanomètres 0,000 000 004 mètre

*en fait, 1 ko = 1024 o et 1 Mo = 1024 ko

* Notation scientifique d’un nombre

Prenons une quantité quelconque : N = 250 m. Cette même quantité peut être exprimée dans diverses unités. Quelques exemples : N = 250 000 mm = 250 m = 2,5 hm = 0,25 km = etc.

En utilisant des puissances de 10 et en se basant sur l’unité « mètre », ces exemples s’écrivent : N = 250 000 × 10^-3m = 250 m = 2,5 × 10²m = 0,25 × 10³m = etc.

Définition : Exprimer un nombre N en notation scientifique, c’est l’écrire sous la forme : N= ×a 10ⁿ où 1≤ <a 10 et n est un entier relatif

Exemples : 250 = 2,5 × 10² 6 000 = 6 × 10³ 22 600 = 2,26 × 10⁴

2,5 centaines 6 milliers 2,26 dizaines de milliers

0,2 = 2 × 10^-1 0,0035 = 3,5 × 10^-3 0,00004 = 4 × 10^-5

2 dixièmes 3,5 millièmes 4 cent-millièmes

On peut remarquer que déterminer le nombre a tel que 1≤ <a 10 revient à déplacer n fois la virgule du nombre N. Si ce décalage se fait vers la gauche, la puissance sera positive, et s’il est vers la droite, la puissance sera négative.

Attention : la calculatrice (pour la plupart des modèles) n’utilise pas la notation 10ⁿ, mais la remplace par « En » (lorsqu’elle emploie le mode scientifique d’écriture d’un nombre).

Par exemple, le nombre 3 000 000, soit 3×10⁶, sera écrit (en mode scientifique) 3E06.

Piège : cela ne signifie pas « 3 exposant 6 » (nombre qui vaudrait 3⁶ = 729), mais bien 3×10⁶ ! Les grands nombres (ceux qui ne rentrent pas dans l’écran) seront automatiquement écrits en notation scientifique par une calculatrice : 5 000 000 x 3 000 000 donnera 1.5E13.

Exercices

1.6.1 Simplifier les expressions suivantes : a. 2⁵×3⁵ b. 2²×2³ c.

3 2

2 −5

× ×

×

X X X

X X d. 2³+ +2² 2⁴ (mettre 2² en facteur) 1.6.2 Calculer (donner le résultat sous forme décimale) :

a. 1,2 10× ³ b. 7 10× ⁻³ c. 4 10× ²×1,5 10× ³ d. 5 10× ²×3,5 10× ⁻⁵ 1.6.3 Recopier et compléter avec l’exposant qui convient :

a. _...

12

7 3

3 = 3 b. 5⁸× =5^... 5⁶ c.

( )

^{23 ...=212} d. 10⁻⁶×10^...=10⁻⁴ e. 4⁴× =2⁴ ...^... f. ...^...

4 4

6

3 = g. _...

1

5 3

5 5

− = −

1.6.4 Compléter les expressions suivantes :

a. 1200= ×12 10^... b. 265000=0,265 10× ^... c. 9050000000= ×... 10⁸ d. 0,084= ×84 10^... e. ...=0,000 001 250 10× ⁷ f. 0,000 052 800=5,28 10× ^...

1.6.5 Ecrire la notation scientifique des nombres suivants :

a. 55000 b. 0,002 c. 65 000 000 d. 0,000 003 550

1.6.6 Un cultivateur vient de labourer son champ et va semer des graines de maïs.

Aire du champ : 12 hectares (1 ha = 10000 m²) ; besoins en graines : 100 grammes par m².

a. Donner l’aire du champ en m², en notation scientifique.

b. Quels sont les besoins en graines sur ce champ ? Répondre en grammes (en notation scientifique), puis en kg.

1.6.7 L’astronome distrait. Un astronome débutant a pour mission de mesurer les distances entre quelques étoiles et la Terre. Il peut les mesurer en km, ou alors en années-lumière (a.l.), unité mieux adaptée ici.

On donne : 1 a.l. = 10 000 000 000 000 km environ.

a. Ecrire une année-lumière en km, en utilisant la bonne puissance de 10.

b. Notre astronome mesure la distance entre la Terre et Proxima du Centaure (étoile la plus proche du Soleil), et il trouve 4,2 a.l. . Sachant que le Soleil est à 150 millions de km de la Terre (= 1 unité astronomique, U.A.), combien d’U.A. nous séparent de Proxima ? (effectuer des calculs en utilisant des distances en km écrites en notation scientifique)

c. Cette fois, il observe la galaxie « Bonané 2021 » située à 400 millions d’années-lumière de nous.

Ecrivez cette distance en km, en notation scientifique.

1.6.8 Dans le schéma ci-dessous (les dimensions y sont données en mètres), remplacer les points d’interrogations par les bonnes valeurs.

2 Formes du premier degré

2.1 Rappels de calcul

2.1.1 Nombres relatifs et règle des signes

On appelle nombres relatifs les nombres positifs ou négatifs.

Exemples : 2 –5 4,8 –12,45

La valeur absolue d’un nombre relatif est sa valeur sans tenir compte de son signe.

Exemples : les valeurs absolues des quatre nombres ci-dessus sont 2, 5, 4,8 et 12,45.

Deux nombres relatifs de signes contraires et de même valeur absolue sont dits opposés.

Exemples : 3 et –3 sont opposés (–3 est l’opposé de 3 et 3 est l’opposé de –3).

(0 est son propore opposé : –0 = 0)

On peut bien sûr effectuer tout calcul avec des nombres relatifs, à commencer par les quatre opérations de base : l’addition, la soustraction, la multiplication et la division.

Pour bien décrire les mécanismes de ces opérations, on aura parfois recours (ci-dessous) à des notations entre parenthèses : (+a) au lieu de a et (–a) au lieu de –a.

Addition et soustraction

Ces deux opérations sont équivalentes, dans l’ensemble des nombres relatifs : soustraire, c’est ajouter l’opposé.

Soit deux nombres a et b. On a alors :

a + (+b) = a + b a – (+b) = a – b a + (–b) = a – b

« ajouter une perte, c’est enlever »

a – (–b) = a + b

« enlever une perte, c’est ajouter » Exemples :

5 + (+3) = 5 + 3 = 8 5 – (+3) = 5 – 3 = 2 5 + (–3) = 5 – 3 = 2 5 – (–3) = 5 + 3 = 8

Une succession d’additions et de soustractions peut être effectuée dans l’ordre de notre choix :

( )

2− + − − = + − + = + − + = + + − =5 7 1 2 7 5 1 7 1 5 2 1 2 7 5 etc.

Multiplication et division

Ces deux opérations sont équivalentes, dans l’ensemble des nombres relatifs… si on met le cas de 0 à part : diviser, c’est multiplier par l’inverse.

Exemple : « la moitié de 100 » peut être vu comme 100 2÷ =50 ou comme 1

100 50

× =2 . Ci-dessous, nous ne travaillerons pas sur des questions d’inverses, mais ce qui vient d’être montré nous fera admettre que les règles de calcul de ces deux opérations sont les mêmes, sur les nombres relatifs.

Soit deux nombres a et b. On a les règles des signes suivantes :

( ) ( )

^{+ × + = ×a b a b}

( ) ( )

− × + = − ×^{a b a b}

( ) ( )

+ × − = − ×^{a b a b}

( ) ( )

^{− × − = ×a b a b}

Ces règles sont identiques pour la division (b non nul) :

( ) ( )

^{+ ÷ + = ÷a b a b}

( ) ( )

− ÷ + = − ÷^{a b a b}

( ) ( )

+ ÷ − = − ÷^{a b a b}

( ) ( )

^{− ÷ − = ÷a b a b}

Exemples :

( ) ( )

+ × + = × =^{6 3 6 3 18}

( ) ( )

− × + = − × = −^{6 3 6 3 18}

( ) ( )

+ × − = − × = −^{6 3 6 3 18}

( ) ( )

− × − = × =^{6 3 6 3 18}

Attention :

( )

^{− − = −6 3 9} : addition de deux nombres négatifs, résultat négatif

( ) ( )

^{− × − =6 3 18} : multiplication de deux nombres négatifs, résultat positif

( ) ( )

+ ÷ + = ÷ =^{6 3 6 3 2}

( ) ( )

− ÷ + = − ÷ = −^{6 3 6 3 2}

( ) ( )

+ ÷ − = − ÷ = −^{6 3 6 3 2}

( ) ( )

− ÷ − = ÷ =^{6 3 6 3 2}

Une succession de multiplications et de divisions peut être effectuée dans l’ordre de notre choix : 10 2 4÷ × = × ÷ = ÷ ×10 4 2 4 2 10= × ÷ =4 10 2 etc.

2.1.2 Priorités des opérations

Un calcul impliquant plusieurs nombres (plusieurs = au moins trois) et les deux catégories d’opérations ne peut pas être mené « dans le désordre » ; de même que sur la route la priorité à droite est une règle, il existe des priorités en calcul.

Priorité des multiplications/divisions sur les additions/soustractions

Dans un calcul faisant intervenir les deux types d’opérations, les multiplications et divisions doivent être effectuées d’abord.

Exemples :

1+ × − = + − =4 2 3 1 8 3 6 ¹+ × − − − = − + = −⁴

( ) ( )

^{2 3 1 8 3 4}

3 5 3× − =15 3− =12 1+ ÷ − = + − =4 2 3 1 2 3 0 Erreurs classiques : ¹+ × − = × − = −^{4 2 3 5}

( )

^{1 5}

3 5 3× − = × =3 2 6

Cette règle de priorité nous conduit à bien regarder la structure d’un calcul dès qu’il est posé : un calcul se compose de termes (blocs additionnés ou soustraits entre eux) ;

les termes sont composés de facteurs (nombres multipliés ou divisés entre eux).

Exemples :

( ) ( )

1+ − × − − ÷4 2 9 3 a. on repère les termes :

( ) ( )

1+ − × − − ÷4 2 9 3 b. on multiplie les facteurs :

( ) ( )

1+ − − −8 3 c. on ajoute les termes :

1 8− + = −3 4

( ) ( ) ( )

60÷ − × − − × + −2 3 5 7 2 a. on repère les termes :

( ) ( ) ( )

60÷ − × − − × + −2 3 5 7 2 b. on multiplie les facteurs :

( ) ( ) ( )

^{−90 − −35 + −2}

c. on ajoute les termes : 90 35 2 57

− + − = − Priorité des calculs entre parenthèses (lorsqu’il y en a…)

Exemples

(

⁶+ − × × − + ÷

( )

^{2 2}

) ^{( )}

^{5 20 4}

=

(

⁶+ − × × − + ÷

( )

^{2 2}

) ^{( )}

^{5 20 4}

=

(

^{6+ −}

( )

⁴

)

^{× − + ÷}

^{( )}

^{5 20 4}

= ^{2× − +}

( )

^{5 20÷4}

= ^{2× − +}

( )

^{5 20÷4}

=− + = −10 5 5 Exercices

2.1.3 Développement : distributivité Exemple d’approche

Imaginons le serveur d’un restaurant prenant la commande de la part d’une table de trois clients.

Chacun d’eux souhaite des crudités (c), un steak-frites (s) et une glace (g).

Le serveur a deux possibilités pour noter (ou retenir) ces commandes identiques : 3×(1c+1s+1g) ou alors 3c + 3s + 3g

forme factorisée forme développée un terme de deux facteurs trois termes Ces deux façons d’exprimer la commande sont équivalentes, elles sont égales.

D’une manière générale, on dit qu’il y a distributivité de la multiplication sur l’addition :

( )

a× + = × + ×b c a b a c Exemples :

( )

3 x+ =2 3x+6 ^5a+20=5

(

^a+4

) (

^7+2y

)

^{× =5 35 10+ y}

( )

3 x− =2 3x−6 ^{− +5a 20= − +5}

(

^{a 4}

) (

^{7 2− y}

) ( )

^{× − = − +5 35 10y}

(

²

)

^{2 2}

x x− =x − x ^{x2+6x=x x}

(

⁺⁶

) (

^{− +7 2y}

)

^{× = − +5 35 10y}

Double distributivité

Lorsqu’une somme multiplie une somme, on peut faire une décomposition complète :

(

^{3+7 2}

)(

+ = × + + × + = × + × + × + ×⁵

)

³

(

^{2 5}

)

⁷

(

^{2 5}

)

^{3 2 3 5 7 2 7 5}

En effet :

(

^{3 7 2+}

)(

^{+ = × =5}

)

^{10 7 70 et 3 2}× + × + × + × = +^{3 5 7 2 7 5 6 15 14}+ +³⁵=⁷⁰

(

^{a+b c}

)(

^+d

)

^=ac+ad+bc+bd

Exemples :

(

^x+3

)(

^{x+ =2}

)

^{x2+2x+3x+ =6 x2+5x+6}

(

^2−x

)(

^{y+ =4}

)

^{2y+ −8 xy−4x}

(

^x−3

)(

^{x− =2}

)

^{x2−2x−3x+ =6 x2−5x+6}

(

^x−2

)(

^y+4

)

^{= − − +2y 8 xy+4x}

( )( )

2 2

3 2 5 6 3 5 3 6 2 5 2 6

3 5 3 6 2 5 2 6

15 18 10 12

15 28 12

x x x x x x

x x x x

x x x

x x

+ + = × + × + × + ×

= × × × + × × + × × + ×

= × + × + × +

= + +

Réduction

Comme on a pu le voir dans certains exemples ci-dessus, un développement s’accompagne d’un regroupement des termes de même nature, aussi appelé réduction.

Il s’agit de cumuler ces termes en un seul : les termes constants, ceux « en x », ceux « en x² », etc.

Exemple : ^{x2+2x− +5 7x+ + =x2 3}

(

^x2+x2

)

⁺

⁽

^2x+7x

^{) (}

^{+ − + =5 3}

⁾

^2x2+9x−2

Exercices : développer

2.1.3 ⁷

(

^{x− −2}

) (

^{4 2x−3}

)

^{; 7}

(

^{x− −2}

) (

^{6 x−2}

)

^{; 1−x}

(

^1−x

)

^{; 4 2}_ ^a−3₂^_

2.1.4

(

^{3x−1 2}

)(

^x−5

)

^{; 4 3}

(

^x−2

)

^_2^x+1_ ^;

(

^3x+1

)

^{2 ;}

(

^1−x

)(

^{1 2− x}

)(

^{1 3− x}

)

2.2 Equations du premier degré

Une expression comme celles données au-dessus fait intervenir un nombre x qui peut être variable (choisi comme bon nous semble).

On appelle équation le fait de poser que l’expression doit être égale à un nombre donné (ou à une autre expression). Ex : 5x− = −6 8 2x

Cette égalité ne sera vraie que si x prend une valeur précise ou un certain ensemble de valeurs.

x est alors ici l’inconnue à déterminer. Résoudre l’équation, c’est trouver cette ou ces valeurs, qui s’appellent alors les solutions de l’équation. (dans l’exemple ci-dessus, la solution est 2)

2.2.1 Equation simple

Une équation ne comportant que des termes en x et des termes constants est dite du premier degré.

Une équation du premier degré possède une solution unique.

Ces équations se ramènent toujours à la forme ax+ =b 0 où le nombre a est non nul.

Solution : l’inconnue est déterminée par b x a

=−

Cependant, on aura le plus souvent à traiter une forme plus quelconque (voir ci-dessous).

Une équation du premier degré est en général posée sous une forme moins simple que ax+ =b 0. Il faut alors la simplifier.

Une équation exprime l’égalité entre deux expressions ou valeurs : un membre de gauche et un membre de droite.

Multiplier/diviser les deux membres par le même facteur ne modifie pas l’équation.

Ex1 : 3 ²

5 4 3 10 8 2

2x x x x

− = − ⇔× − = − , Ex2 :

6

6x+12=18 ⇔^÷ x+ =2 3 Ajouter/soustraire le même terme aux deux membres ne modifie pas l’équation.

Ex1 : ^{2 10} 18

3 10 8 2 5 10 8 5 18 et on finit en divisant par 5 : 5

x

x x x x x

+ +

− = − ⇔ − = ⇔ = =

Ex2 : x 2 3 ² x 1 + = ⇔− = Une égalité peut se retourner !

Ex3 : 2 8 8 2 8 2 2 ⁸ 2 6 ² 3

retournement x

x x x x ⁺ x ⁻ x ^÷ x

− = + ⇔ + = − ⇔ + = ⇔ = − ⇔ = −

Enfin, lorsqu’une solution est trouvée, il est préférable de la vérifier dans l’équation de départ ! Ex1 :

18

3 5 3 18 18 27 25 20 18 2 2

5 4 5 4 OK !

2 2 5 5 5 5 5 5 5 5

x

x x

=

− = − ⇔ × − = − ⇔ − = − ⇔ =

Ex2 : 6 12 18 ¹ 6 12 18 OK !

x

x

+ = ⇔= + = Ex3 : 2 8 ³2 3 8 3 OK !

x

x x

− = + ⇔ + = −=−

Exercices : Résoudre les équations suivantes

2.2.1 a. 3x+ =1 2 b. 3x+ =1 2x c. 3x+ = −2 8 2x d. 1− = − +x 5 x 2.2.2 a. 6x− =6 12 b. 8x− =4 12+4x c. 25x+30=10−5x d. ^{3 1 2}

(

^{− x}

)

⁼⁰

2.2.3 a. 8 3+ =

x x b. 3 1 7

4x− =2 4 c. ²

(

⁴

)

¹

3 x+ = −x 3 d.

(

^{x+1 3}

)(

^{x− =7}

)

^3x2+9

2.2.2 Equations de produit nul

On rencontre aussi des équations, d’une inconnue x, de degré supérieur à 1 (contenant un terme en x², ou x³, etc.).

Lorsque c’est possible, il est préférable de :

- ramener tous les termes dans un seul membre (le second membre devient nul) - factoriser le premier membre en produit de facteurs du premier degré

- résoudre chaque équation du premier degré correspondant à chaque facteur.

En effet, les nombres et opérations avec lesquels nous travaillons possèdent une propriété bien pratique : A B× =0 ⇔ A=0 ou B=0

Exemples :

Ex1 : ^{3 2= −12 ⇔3 2+12 = ⇔0 3}

(

^{+ = ⇔4}

)

^{0 }_ou ³_{+ =}⁼₄⁰ ₀^⇔_ou ⁼_{= −}⁰ ₄

 

x x

x x x x x x

x x

L’équation de départ possède deux solutions : 0 et –4 (que l’on vérifiera pour s’en assurer).

On peut écrire aussi : l’ensemble solution est S = {–4 ; 0}

Ex2 :

(

³

) (

^{2 3}

) (

³

) (

^{2 3}

)

⁰

(

²

)(

³

)

^{0 2 0 2}

ou 3 0 ou 3

− = =

 

+ = + ⇔ + − + = ⇔ − + = ⇔ ⇔

+ = = −

 

x x

x x x x x x x x

x x

L’ensemble solution est S = {–3 ; 2}

Exercices : Résoudre les équations suivantes

2.2.4 a. x² =7x b. 4x² =8x c. x²+ = +1 x 1 d. x² = −x

2.2.5 a. ^{x x}

(

⁺¹

)(

^{x+ =2}

)

^{0 b. 4x2=8x c.}

(

^x+1

)

^{2= +x 1 d. x x}

(

^{− =5}

) (

^{2 5−x}

)

2.3 Inéquations du premier degré

Elles prennent les formes ax+ ≤b 0 , ax+ <b 0 , ax+ ≥b 0 , ax+ >b 0 (où a est non nul).

Solution : l’inconnue peut prendre une infinité de valeurs ; l’ensemble solution est un intervalle dont b

a

l’une des bornes vaut − et dont l’autre borne est infinie.

Attention au sens de l’inégalité et au signe du nombre a !

Rappel sur inégalités et changements de signe : Si x représente tous les nombres supérieurs à un nombre c, alors –x représente tous les nombres inférieurs à –c.

x c

− < − x>c

Dans tous les cas, le changement de signe des membres s’accompagne d’un changement de sens de l’inégalité posée.

Par exemple : − > ⇔ <x 3 x 3, − < − ⇔2x 5 2x>5, 4− >x 10⇔ − < −x 4 10

Une inéquation exprime l’inégalité entre deux expressions ou valeurs : un membre de gauche et un membre de droite.

Multiplier/diviser les deux membres par le même nombre peut modifier son sens.

Ex1 : 3 ²

5 4 3 10 8 2

2x x x x

− < − ⇔× − < − , Ex2 :

( )⁶

6x 12 18 x 2 3

− + < − ÷ −⇔ − >

Ajouter/soustraire le même terme aux deux membres ne modifie pas l’inéquation.

Ex1 : ^{2 10} 18

3 10 8 2 5 10 8 5 18 et on finit en divisant par 5 : 5

x

x x x x x

+ +

− < − ⇔ − < ⇔ < <

Ex2 :

2

2 3 5

x x

− > ⇔+ >

Une inégalité peut se retourner ! A < B ⇔ B > A.

Ex3 : ^{x+ < −2 6 x ⇔+x 2x+ <2 6 ⇔−2 2x<4 ⇔÷2 x<2 S= −∞}

]

^{; 2}

[

Ex4 :

3 1 2 1 1

3 1 5 5 1 3 2 1 0 2 1 ;

2 2

retournement x

x x x x x x x S

− − ÷ − − 

< + ⇔ + > ⇔ + > ⇔ > − ⇔ > = + ∞

Exercices : Résoudre les inéquations suivantes

2.3.1 a. x+ ≤2 3 b. 5 2− x> −9 c. 4x− < −6 10 d. 3−5x≥8

2.3.2 a. x− > −1 1 x b. 14−5x≤14+5x c. 5x− >4 3x−2 d. ^{− + < −6x 9 2 3}

(

^x−4

)

2.4 Systèmes d’équations 2.4.1 Activité

Exemple d’approche

Les animaux de M.Berger sont tous dans un pré. Il y a des vaches et des oies. On compte 37 têtes et 104 pattes. Combien y a-t-il de vaches et d’oies ?

On a affaire ici à un problème plus compliqué que celui menant à la résolution d’une simple équation.

En effet, il y a cette fois deux inconnues. L’énoncé donne par contre deux indications et, sauf cas particulier, cela mènera à un couple unique de valeurs solutions.

Notons x le nombre de vaches et y le nombre d’oies, tous deux inconnus.

L’information « on compte 37 têtes » nous permet d’écrire l’équation x+ =y 37 ; l’information « 104 pattes » nous permet d’écrire une seconde équation : 4x+2y=104. Ces deux équations doivent être vérifiées à la fois, ce qui se traduit par un système :

37

4 2 104

x y

x y

+ =



+ =



Pour résoudre ce problème, nous n’avons pas d’autre choix que de combiner ces équations ensemble.

Par exemple, la première nous informe que y=37−x. Nous pouvons donc remplacer y par 37−x dans la seconde : ^{4x+2 37}

(

^{− =x}

)

^104.

Il ne reste plus qu’à résoudre cette nouvelle équation d’une inconnue :

( )

4x+2 37− =x 104⇔4x+74−2x=104⇔2x=104−74=30⇔ =x 15. Enfin : y=37− =x 37 15− =22.

M.Berger possède 15 vaches et 22 oies.

Bien sûr, il est salutaire de vérifier ces solutions dans le systême de départ, car il y a toujours un risque d’erreur de calcul :

Nombre de têtes : 15+22=37 OK