COURS D’OPTI QUE GEOM ETRI QUE
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Table des mati `eres
I
PRI NCI PES FONDAMENTAUX
11 I ntroduction. 2
2 Principes de l’ optique g´eom´etr ique. 3
3 V ´er ifications exp´er imentales et commentaires. 4
3.1 Principe.1. . . . . 4
3.2 Principe.2. . . . . 5
3.3 Principe.3 : Lois de Snell-Descartes. . . . . 5
3.3.1 R´eflexion . . . . 6
3.3.2 R´efraction . . . . 7
4 Propr i ´et ´es des indices. 10 5 Construction du rayon r ´efl ´echi et du rayon r ´efr act ´e. 11 5.1 n2 n1. . . . 11
5.2 n2 n1. . . . 12
I I
APPL I CATI ONS AUX SYST `EM ES PL ANAI RES
14 6 M iroir s plans. 15 6.1 Image d’un point. . . . 156.2 Images et objets r´eels et virtuels. . . . 16
7 Dioptres plans. 19 7.1 Image d’un point lumineux. . . . 19
7.2 Formules du dioptre plan dans l’approximation stigmatique. . . . 21
8 L ames `a faces parall `eles. 23 8.1 Marche d’un rayon lumineux.. . . 23
8.2 D´eplacement lat´eral dans le cas n1 n3 . . . 24
8.3 Image (approch´ee) d’un point lumineux (n1 n3). . . . 25
9 Prisme. 27 9.1 Marche d’un rayon lumineux.. . . 28
9.2 Conditions d’´emergences. . . . 29
9.3 Cas des petits angles. . . . 31
I I I
CONDI TI ONS de GAUSS
3210 D´efinition. 33
11 I mage d’ un point lumineux. 34
I V
L E DI OPTRE SPH ´ERI QUE
3712 D´efinitions. 38
13 Conventions. 39
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14 Relations fondamentales du dioptre sph´er ique. 40
15 Exercices et remarques. 42
V
L ENTI L L ES M I NCES
4316 D´efinitions. 44
17 L entilles minces. 45
18 Bords des lentilles minces. 46
19 L entilles convergentes, lentilles divergentes 47
20 Position de l’ image. 48
21 Points particulier s de l’ axe optique. 49
22 Construction de l’ image d’ un petit obj et AB. 51
23 Formules des lentilles minces. 53
24 Vergence. 54
25 Syst `eme de lentilles. 55
VI
PRI NCI PE de FERM AT
5626 Chemin optique. 57
27 Principe de Fermat. 58
28 M ise en gar de. 60
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Premi `ere partie
PRI NCI PES FONDAMENTAUX
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1 I ntroduction.
La lumi`ere naturelle (par ex. la lumi`ere solaire) est une superposition d’ondes ´electromagn´etiques delongueurs d’ ondes diff´erentes.
Radiations RayonsX
Visible
U.V.
I.R.
en m Ondes Radio
10 2 1 10 4
10 6 10 8
10 10 10 12
10 14
FIG. 1 – Spectre des ondes ´electromagn´etiques.
On sait aussi que cette onde est quantifi´ee : Existence de “grains de lumi`ere” appel´es : Photons.
En principe, pour n’importe quelle longueur d’onde ces deux aspects coexistent tou- jours. Cependant, pour les tr`es grandes longueurs d’onde (ondes radio et plus...), la nature corpusculairede la lumi`ere est difficilement d´ecelable. Aux tr`es petites longueurs d’onde (rayons ), c’est au contraire la nature corpusculaire qui est le plus facilement mise en
´evidence (collisions directes de photons avec d’autres particules en physique des parti- cules). La lumi`ere visible est en quelque sorte `a mi-chemin : l’aspect ondulatoire peut y ˆetre aussi important que l’aspect corpusculaire ; tout d´epend du type de ph´enom`enes
´etudi´es.
Dans l’´etude de la lumi`ere rencontrant les objets d’´echelle macroscopique, la petitesse des longueurs d’onde ( 10 7cm) du visible vis `a vis des grandeurs des objets qu’elle rencontre (L 1cm et plus) a permis d’´elaborer une th´eorie g´eom´etrique de la propagation des ondes lumineuses : L’ optique g´eom´etrique.
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2 Principes de l’ optique g´eom´etr ique.
On oublie l’aspect ondulatoire et corpusculaire de la lumi`ere et on montre qu’un tr`es grand nombre de ph´enom`enes lumineux observ´es peut se d´eduire des principes suivants : Principe.1. Il existe desrayons lumineuxqui restent ind´ependants les uns des autres (pas
d’interaction entre eux).
Principe.2. Dans un milieuhomog`ene, transparentet isotrope, les rayons lumineux sont deslignes droites.
Principe.3. `A la surface de s´eparation de deux milieux, les rayons lumineux ob´eissent aux lois deSnell-Descartes.
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3 V ´er ifications exp´er imentales et commentaires.
3.1 Principe.1.
D´efinition. On appelle rayon lumineux, toute courbe suivant laquelle se propage la lumi`ere.
Remarque.1. Un rayon lumineux n’a pas d’existence r´eelle car pour isoler un rayon lumineux, il faudrait faire passer la lumi`ere par une ouverture de plus en plus petite et par cons´equent d’une dimension devenant du mˆeme ordre de grandeur que la longueur d’onde de cette lumi`ere ; ce qui contredit nos hypoth`eses. D’ailleurs, si on fait l’exp´erience, on obtient un nouveau ph´enom`ene : La Diffraction, qui ne peut ˆetre d´ecrite uniquement `a partir des principes de l’optique g´eom´etrique (fig.2).
Lumi`ere diffract´ee
FIG. 2 – Diffraction de la lumi`ere.
Propr i ´et ´e. Deux rayons lumineux se rencontrant, n’interagissent pas (un rayon lumi- neux ne peut pas ˆetre d´evi´e par un autre rayon lumineux).
Remarque.2.Ceci contredit bien s ˆur la nature “corpusculaire” qu’on attribue par ailleurs
`a la lumi`ere, et en fait elle s’est av´er´ee fausse car on peut r´ealiser actuellement des colli- sions entre photons dans les lasers.
Remarque.3. Cette propri´et´e qu’a la lumi`ere d’ˆetre d´ecrite par des rayons n’est pas propre `a l’onde lumineuse. Des ultrasons aux longueurs d’onde tr`es courtes par rapport aux dimensions des objets qu’ils rencontrent peuvent ˆetre aussi d´ecrits par des rayons g´eom´etriques (approximation eikonale) ; d’o `u la remarque suivante :
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Remarque.4. Il faut se garder de dire que la description g´eom´etrique de la lumi`ere sous forme de rayons de lumi`ere r´ev`ele la nature corpusculaire de celle-ci. Les rayons de lumi`ere ne sont pas les trajectoires des photons. En fait un photon n’est pas localisable et ne poss`ede pas de trajectoire au sens de la m´ecanique classique du point mat´eriel !
3.2 Principe.2.
Lorsque le milieu est transparent, homog`ene, isotrope, les rayons lumineux sont des droites.
Nous savons qu’il est impossible d’isoler un seul rayon lumineux `a cause des ph´enom`enes de diffraction. On a donc en pratique, des ensembles de rayons lumineux constitu ´es en faisceaux lumineux se propageant `a travers des ouvertures de tailles vari´ees : les dia- phragmes. On n´egligera toujours la diffraction. Les diff´erents types de faisceaux lumineux sont repr´esent´es sur la figure.3.
Convergent Divergent
Faisceaux Coniques Faisceau
Cylindrique
FIG. 3 – Diff´erents faisceaux lumineux.
3.3 Principe.3 : L ois de Snell-Descar tes.
Exp´erience. Faisons arriver un faisceau cylindrique de lumi `ere de longueur d’onde donn´ee (Lumi`ere monochromatique) `a la surface de l’eau additionn´ee de fluoresc´eine contenue dans une cuve, rendant ainsi visible les trajets lumineux.
On observe :
a- Un faisceau cylindriquer ´efl´echi par la surface de l’eau.
b- Un faisceau cylindrique r ´efract´e`a travers la surface de l’eau.
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Faisceau
Incident Faisceau
Réfléchi
SURFACE DE L'EAU
Faisceau Réfracté
FIG. 4 – R´eflexion et r´efraction.
Les lois relatives `a ces deux ph´enom`enes : lar ´eflexionet lar´efractiond´ecrivant le com- portement des rayons lumineux, `a la s´eparation de deux milieux, s’appellent les lois de Snell-Descartes.
3.3.1 R´eflexion
Consid´erons un rayon lumineux AI incident arrivant sur la surface de s ´eparation Sde deux milieux.
Il lui correspond un rayon r ´efl´echi IR. Menons la droite normale IN `a la surfaceSenI et situ´ee du mˆeme cˆot´e deSque le rayon incidentAI. Le plan d´efini par le rayon incidentAI et la normaleIN s’appelle leplan d’ incidence, l’angleNIR r est l’ angle de r ´eflexion.
L ois de la r ´eflexion
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:A
I N
R
S i
r
FIG. 5 – Loi de la r´eflexion.
1. Le rayon r´efl´echi est dans le plan d’incidence.
2. L’angle de r´eflexionr est ´egal `a l’angle d’incidencei . i r
3.3.2 R´efr action
Soient deux milieux transparents isotropes s´epar´es par une surface S. `A un rayon inci- dentAI situ´e dans le premier milieu correspond dans le second milieu un rayonIR appel´e rayon r ´efract´e. Menons la droite normaleIN `a la surfaceS. Le plan d´efini parAI etINest le plan d’incidence, l’angleAIN i1est l’angle d’incidence et l’angleN IR i2s’appelle l’ angle de r ´efraction.
Remarque impor tante. `A la surface de s´eparation de deux milieux transparents, il existe toujours un rayon r´efl´echi d`es qu’il existe un rayon r´efract´e ; le rayon r´efract´e par contre n’existe pas toujours mˆeme si le rayon r´efl´echi existe !
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A
I N
N R
S
i2 i1
FIG. 6 – Loi de la r´efraction.
L ois de la r ´efr action
1. Le rayon r´efract´e est dans le plan d’incidence.
2. Pour deux milieux donn´es et une lumi`ere de longueur d’onde donn´ee , il existe un rapport constant entre le sinus de l’angle d’incidence i1 et le sinus de l’angle de r´efractioni2
sini1 sini2 n
o`unest une constante d´ependant de , on l’appelle l’ indice de r ´efractiondu milieu 2 par rapport au milieu 1.
Exemple : L’indice de r´efraction de l’eau par rapport `a l’air est pour la lumi`ere verte d’environ 4 3.
Remarque. Les lois de Snell-Descartes sont relatives `a la r´eflexion et `a la r´efraction de rayons lumineux et ne sont donc pas v´erifiables directement. On ne peut qu’en faire une grossi`ere v´erification en utilisant des faisceaux cylindriques ´etroits. Nous admettrons ces lois comme hypoth`eses fondamentales justifi´ees par leurs cons´equences, lesquelles
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se trouvent ˆetre en bon accord avec les exp´eriences rentrant dans le cadre de l’ optique g´eom´etrique.
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4 Propr i ´et ´es des indices.
1. L’indice n d’un milieu 2 par rapport `a un milieu 1 est ´egal au rapport des vitesses v1 etv2 de l’onde lumineuse dans les milieux 1 et 2
n v1
v2
(Rappelons `a ce propos que la vitesse de l’onde lumineusev dans un milieu quel- conque est toujours inf´erieure `a ce qu’elle serait dans le vide.) On aura donc pour trois milieux 1, 2 et 3 o`u les vitesses respectives de la lumi`ere sont v1, v2 et v3, les indices de ces milieux pris deux `a deux
n2 1 v1
v2 n3 1 v1
v3 n3 2 v2 v3 d’o`un3 2 nn3 1
2 1
2. L’indice relatif de deux milieux est ´egal au rapport de leurs indices relatifs `a une mˆeme substance. Si on prend comme milieu de comparaison le vide, on obtient l’ indice absolu.
Exemple: `A 0 degr´e sous une pression de 76 centim `etres de mercure, l’indice absolu de l’air pour la lumi`ere jaune du sodium vaut 1,000292 .
Cons´equence 1. Deuxi`eme forme de la loi de la r´efraction de Snell-Descartes : Soit n1 et n2 les indices absolus de deux substances, alors n nn2
1 est l’indice du second par rapport au premier et
sini1 nsini2 n2 n1sini2 D’o`u
n1sini1 n2sini2
Avec les indices absolusn1 et n2 , la deuxi`eme loi de la r´efraction prend donc une forme compl`etement sym´etrique.
Cons´equence 2. De la sym´etrie de la relation pr´ec´edente on d´eduit le principe du retour inverse de la lumi `ere. Dans l’exp´erience de r´efraction, si un rayon arrive suivantR I, il se r´efracte selon IA: Le trajet de la lumi`ere r´efract´ee ne d´epend pas de son sens de propagation. En g´en´eral, lorsque deux rayons lumineux r´efract´es ont une partie de trajet identique delongueur non nulle, ils sont alors superpos´es sur tout leur parcours (une conclusion identique s’impose pour les rayons r´efl´echis).
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5 Construction du rayon r ´efl ´echi et du rayon r ´efr act ´e.
a. Pour le rayon r´efl´echi, il suffit de construire le rayon sym´etrique du rayon incident par rapport `a la normale au point d’incidence.
b. Pour le rayon r´efract´e d’un milieu d’indice n1 vers un milieu d’indicen2 nous devons envisager deux cas.
5.1 n2 n1.
Soit 0 i1 2. Du point I, trac¸ons le plan P tangent `a S. Deux cercles de rayons respectifsn1etn2sont trac´es dans le plan contenant la normaleIN `aPet le rayon incident AI. On a alors (fig.7)
IH IDsini1 ID sini2 donc
n1sini1 n2sini2 c’est `a dire la relation de Snell-Descartes.
A
P I H
R S
D
i2 D i1
n2 n1
FIG. 7 – Construction du rayon r´efract´e (n2 n1).
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Remarque.1.Quelque soit 0 i1 2, le rayon r´efract´e existe toujourset se rapproche de la normale.
Remarque.2.Lorsquei1devient pratiquement ´egal `a 2, la relation de Snell-Descartes montre que
1 sin 2
n2 n1siniL o`u l’angle iL tel que siniL nn1
2 est l’angle maximum que peut faire le rayon r´efract´e IR avec la normale `a la surface S; le rayon incident AI est alors tangent enI `aS.
5.2 n2 n1.
A
P I H
R S
D i2 D
i1
n2 n1 iL
FIG. 8 – Construction du rayon r´efract´e (n2 n1).
On r´eit`ere la construction pr´ec´edente quine donne un rayon r ´efract´e que pour i1 iL
o`uiL est tel que pouri2 2, ce qui correspond `a un rayon r´efract´e tangent en I `aS
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On aura
n1siniL n2sin
2 n2
d’o`u la d´efinition de l’ angle limiteiLque peut faire le rayon incident avec la normale `a S siniL n2
n1
Remarque.1.Lorsque le rayon r´efract´e existe : il s’ ´ecarte de la normale; on a toujours 0 i2 2.
Remarque.2. Pour un angle d’incidence i1 iL, il n’ y a pasde rayon r´efract´e, seul subsiste le rayon r´efl´echi : il y a r´eflexion totalede la lumi`ere `a la surface de s´eparation des deux milieux. On a constitu´e ainsi un miroir parfait. Ceci veut dire qu’`a part la perte d’intensit´e de la lumi`ere due aux rugosit´es plus ou moins importantes de la surface de s´eparation des deux milieux toute l’´energie lumineuse est r´efl´echie par la surface.
La r´eflexion totale est largement mise `a profit dans certains appareils d’optique tels que les jumelles o`u une disposition judicieuse de prismes permet de r´ealiser des r´eflexions totales (fig.9). Un des avantages d’un tel dispositif est alors de r ´eduire l’encombrement de l’appareil.
Conditions : La r´eflexion totale n’est possible que lors du passage de la lumi `ere d’un milieu plus r ´efringent d’indice n1 vers un milieu moins r´efringent d’indice n2. On obser- vera la surface de l’eau d’une carafe d’eau par les c ˆot´es et par en dessous.
PrismeP1
PrismeP2
FIG. 9 – Deux prismes `a r´eflexion totaleP1etP2.
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Deuxi `eme partie
APPL I CATI ONS AUX SYST `EM ES PL ANAI RES
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6 M iroir s plans.
D´efinition.Un miroir planest une surface plane Sr´efl´echissante (Existence d’un rayon lumineux r´efl´echi d´ecelable).
Remarque.Toute r´eflexion sur une surface polie est accompagn´ee d’une perte de lumi`ere soit par absorption, soit par diffusion, soit par r´efraction. Dans le cas d’une r´eflexion to- tale, ce dernier ph´enom`ene disparaissant, il ne subsiste que les deux premiers ph ´enom`enes qui ne sont jamais totalement absents.
6.1 I mage d’ un point.
Soit Aun point lumineux, envoyant ses rayons sur un miroir plan M. Un observateurO est situ´e du mˆeme cˆot´e du miroir que A.
A
O
M
FIG. 10 – Exp´erience du miroir plan.
Le pointAposs`ede une imageA, observable par tout observateur Osi tousles rayons r´efl´echis par M issus deAsemblent provenir de ce pointA.
D’apr`es les lois de Snell-Descartes, le rayonAH perpendiculaire `aM est r´efl´echi sur lui- mˆeme. Tout rayon AI passant par I est r´efl´echi sym´etriquement par rapport `a la normale INselonIR(i r). Pour un observateurOquelconque, le rayonIRsemble provenir d’un pointA, sym´etrique deApar rapport `a M.
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A
A H
I
M N
i
r
FIG. 11 – Image d’un point dans un miroir.
Propr i ´et ´e.Un miroir plan donne d’un point Aune image A sym´etrique par rapport au plan du miroir : le miroir plan est dit stigmatique, car l’image de tout point de l’espace est un point.
Remarque.C’est leseul syst`eme optique `a poss´eder cette propri´et´e.
6.2 I mages et obj ets r ´eels et virtuels.
Consid´erons un objet ponctuel lumineux A (fig.12) face au miroir M : c’est un objet r ´eel.
Pour un observateur O, les faisceaux de lumi`ere issus de Asemblent en fait provenir de l’image A, or aucune ´energie lumineuse n’est ´emise en A (pas de signal lumineux d´etectable en A). On dit queA est une image virtuelle.
Inversement, consid´erons un faisceau de lumi`ereconiquede sommetA(fig13.)
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A A
M
O
FIG. 12 – Objet r´eel, image virtuelle.
A A
M
Lentille
FIG. 13 – Objet virtuel, image r´eelle.
Interposons un miroir dans le faisceau ; celui-ci est alors d ´evi´e, r´efl´echi de telle sorte qu’il se forme une image lumineuse en A. Le point A est une image r ´eelle de A car l’´energie lumineuse se concentre r´eellement en A. Par contre, aucun signal lumineux n’est d´etectable en A; le pointAest consid´er´e comme objet virtuel.
Conclusions.
a. Dans un miroir plan :
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1. Si l’objet est r´eel, l’image est virtuelle.
2. Si l’objet est virtuel, l’image est r´eelle.
b. On peut facilement se convaincre que dans un miroir un objet ´etendu et son image ont effectivement la sym´etrie ... miroir ! Ils ne sont donc pas superposables (fig.14).
MIROIR
FIG. 14 – Objet ”Gauche”, image ”Droit”.
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7 Dioptres plans.
D´efinition. Un dioptre plan est constitu´e de deux milieux transparents, homog`enes, d’indices diff´erents, s´epar´es par une surface plane.
7.1 I mage d’ un point lumineux.
Soit n1 et n2 les indices des deux milieux, avec n1 n2 par exemple (fig.15). Soit d’autre part un point lumineux objet A dans le milieux 1. Montrons que ce point A n’ a pas d’ image.
A A
H I
S
n1 n2
i1
i2
FIG. 15 – Un point n’a pas d’image par r´efraction.
L’image deA, si elle existait, serait sur la normaleAHd’apr`es les lois de Snell-Descartes.
Un second rayonAI issu deA, se r´efracte suivant IS. L’image deA, si elle existait, devrait se trouver au point A, intersection de AH et du prolongement de SI. Montrons que la position deA d´ependdu rayonA I ´emis.
Soit i1 et i2 les angles d’incidence et de r´efraction du rayonAI ´emis. On a HI HAtani1
et
HI HA tani2
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donc
HAtani1 HA tani2 ce qui donne
HA HAtani1
tani2 HAsini1 sini2
cosi2 cosi1 et en utilisant la relation de Snell-Descartes
n1sini1 n2sini2 on aura
sini1 sini2
n2 n1 et
cosi2 cosi1
1 sin2i2 1 sin2i1
1 nn1
2
2sin2i1 1 sin2i1 soit en reportant
HA HAn2 n1
1 nn1
2
2sin2i1 1 sin2i1 On voit sur cette expression que :
a. HA d´ependde l’angle d’incidence i1. Ceci implique que l’image d’un point n’est pas unique, ce n’est pas un point ! On voit donc que contrairement au miroir, le dioptre plann’ est pas un syst`eme optique stigmatiquepour un point quelconque de l’espace.
b. HA est ind´ependant de i1 si HA 0, alors HA 0 ou bien HA , et HA : Le dioptre plan est stigmatique pour les points de sa surface ou bien pour les points tr`es ´eloign´es.
c. HA est pratiquement ind´ependant de i1 si les quantit´es sin2i1 et nn1
2
2sin2i1 sont n´egligeables, donc, lorsque i1 0 ; c’est-`a-dire pour des observateurs ne recevant que des rayons voisins de la normale au plan du dioptre. Ces conditions constituent un des termes de l’ approximation de Gaussque nous d´etaillerons par la suite. En conclusion, le dioptre plan est approximativement stigmatique, seulement dans des conditions particuli`eres.
V ´er ification exp´er imentale.
On consid`ere l’exp´erience d´ecrite sur la figure.16 : un bac transparent rempli d’eau rec¸oit un faisceau de lumi`ere qu’on dirige grˆace `a une lentille sur un miroir.
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air
miroir eau
P
FIG. 16 – Astigmatisme du dioptre plan.
En faisant pivoter le miroir on constate que :
1. Pour des faisceaux proches de la normale `a la surface de l’eau, l’image est un point P (stigmatisme).
2. Pour des faisceaux inclin´es par rapport `a la normale, l’image n’est plus un point, elle devient floue (astigmatisme).
2. Pour une inclinaison donn´ee par rapport `a la normale, l’image est d’autant plus proche d’un point que la largeur du faisceau incident est faible.
7.2 Formules du dioptre plan dans l’ approximation stigmatique.
Orientons la verticale au plan issue de H du milieu d’indice n1 vers le milieu d’indice n2 (fig.15). Lorsque sin2i1est n´egligeable, on peut ´ecrire en valeurs alg´ebriques
HA HAn2 n1
soit encore n1
HA
n2
HA 0
posons, pour les valeurs alg`ebriques, p1 HA et p2 HA. On obtient alors, pour une image donn´ee A
n1 p1
n2 p2 0
Remarque.1.Pour que cette formule soit v´erifi´ee, il faut que p1et p2aient le mˆeme signe, donc que le point et son image (approch´ee !) soient situ´es du mˆeme cot´e de la surface du
dioptre plan.
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Remarque.2.On remarque aussi qu’ils sont de nature diff´erente : si l’un(e) est r´eel(le), l’autre est virtuel(le), et r´eciproquement.
Exercice. Calculer le facteur de grandissement A B AB d’un petit objet lin´eaire AB parall`ele `a la surface du dioptre plan. Mˆeme question pour le mˆeme objet, mais perpendi- culaire `a la surface.
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8 L ames `a faces parall `eles.
D´efinition.Unelame `a faces parall `elesest constitu´ee de deux dioptres plans parall`eles entre eux.
8.1 M arche d’ un rayon lumineux.
Nous nous limiterons au casn2 n1 etn2 n3.
A
I1
I2 N2 N1 i1
i2
i2
i3
n1
n2
n3
FIG. 17 – Lames `a faces parall`eles.
Rappelons les relations de Snell-Descartes pour les deux dioptres consid ´er´es n1sini1 n2sini2
n2sini2 n3sini3 d’o`u
n1sini1 n3sini3
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Cons´equences.
1. L’anglei3estind´ependantden2: pour un angle d’incidence donn´e, l’angle de r´efraction du rayon ´emergent est ind´ependant de l’indicen2 de la lame interm´ediaire.
2. Lorsque n1 n3 alors i1 i3, le rayon ´emergent est parall `eleau rayon incident. En pratique, cela veut dire que les rayons d’un faisceau incident de rayons parall`eles restent parall`eles et ressortent parall`element `a la direction des rayons incidents.
8.2 D´eplacement lat ´er al dans le cas n1 n3
Soit une lame `a faces parall`eles d’indicen, d’´epaisseur e, plac´ee dans le vide. Un rayon incident AI1ressort parall`element `a lui-mˆeme. Calculons le d´eplacement lat´eralI1H qu’il subit lors de la travers´ee de la lame (fig.18).
A
I1
I2 H
I1
i1 i1
i2 i2
R
e j
FIG. 18 – D´eplacement lat´eral.
Le triangleI1HI2 est rectangle et
j i1 i2 I1H I1I2sin i1 i2 D’autre part, dans le triangleI1I1I2 on a
I I I I cosi e
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d’o`u
I1I2 e cosi2
finalement, le d´eplacement lat´eral du rayon ´emergent I1H vaut esin i1 i2
cosi2
Exercice. Exprimer cette relation en fonction uniquement dei1 et den. Cas particuliers :
a. Rayon normal `a la surface
i1 0 i2 0 0
b. Rayon rasant
i1
2 ?
8.3 I mage (approch´ee) d’ un point lumineux (n1 n3).
Le dioptre plan ´etant astigmatique, il en est de mˆeme pour la lame `a faces parall`eles. On montre cependant (comme pour le dioptre) qu’il y a stigmatisme approch ´e lorsqu’on ne rec¸oit du point Aqu’un faisceau de rayons ´etroit et proche de la normale `a la lame. Nous ne consid´ereronsque ce cas.
Pour calculer la position de A, image approch´ee du point A, nous consid´erons deux rayons particuliers issus de A, comme il est indiqu´e sur la figure 19. Le rayon AH1 n’est pas d´evi´e. Le rayon AI1 est d´eplac´e et donneI2R.
Soit A le point d’intersection deI2RavecAH1. Calculons AA. On a AA I1J KI1 KJ
OrJ n’est autre que l’image du point I1 dans le dioptre sup´erieur, et on sait que KJ 1
nKI1 d’o`u
AA KI1 1 nKI1
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A I1
I2 K
H1 H2
A e J
FIG. 19 – Image d’un point `a travers un dioptre.
Et finalement la distance objet image
AA e1 1 n
Conclusions. Dans les conditions de stigmatisme approch´e on a
a. La distance objet-image est ind´ependante de la distance du point A`a la lame.
b. `A un objet r´eel correspond une image virtuelle et r´eciproquement (faire la construction dans ce dernier cas).
Exercice. Calculer le d´eplacement d’un point Avu `a travers une vitre d’indicen 1 5 et d’´epaisseur 3mm. Est-ce d´ecelable `a l’œil nu ?
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9 Prisme.
En optique, unprismeest constitu´e par un milieu transparent limit´e par deux surfaces planes non-parall `eles.
D´efinitions.
1. Lesfacesdu prisme sont les deux surfaces planes pr ´ec´edentes.
2. L’ar ˆetedu prisme est l’intersection des deux faces du prisme.
3. Unesection principaleest l’intersection du prisme par un plan perpendiculaire `a l’arˆete du prisme.
4. L’angledu prisme est l’angle au sommet de la section principale.
Nous supposerons ici que l’indice de la mati`ere constituant le prisme est sup´erieur `a celui du milieu dans lequel baigne le prisme.
Rouge
Violet
PRISME
ECRAN
Lumière blanche
FIG. 20 – Dispersion du prisme.
Propr i ´et ´es physiques.Le prismed´ecomposela lumi`ere blanche. Il y a dispersionde la lumi`ere par le prisme et la dispersion est d’autant plus importante que la longueur d’onde de la lumi`ere incidente est courte.
Conditions d’utilisation du prisme dans ce cours :
1. La lumi`ere est monochromatique (constitu´ee d’une seule longueur d’onde).
2. Chaque rayon incident est dans un plan de section principale (et y reste apr `es r´efraction).
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9.1 M arche d’ un rayon lumineux.
Nous consid´erons un prisme d’indice n plong´e dans l’air d’indice pris ´egal `a 1. Nous supposerons en outre qu’il existe un rayon ´emergentI Rdonc quer iL, o`uiL est l’angle limite correspondant `a la s´eparation milieu/air consid´er´e (fig.21).
A A
I
I
K H
D
S
i r
r i
R
FIG. 21 – Marche d’un rayon lumineux dans le prisme.
´Ecrivons les relations de Snell-Descartes
sini nsinr sini nsinr
L’angle entre les deux normales aux faces du prisme passant par I et I est ´egal `a l’angle Adu prisme. D’autre part on a dans le triangle II K
r r A
D´esignons par Dla d´eviation du rayon ´emergentI Rpar rapport au rayon incident SI. On a dans le triangle HII
HII i r HI I i r
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D HII HI I donc
D i r i r i i r r
et finalement
D i i A
En r´esum´e, les quatre formules fondamentales du prisme sont les suivantes sini nsinr sini nsinr
A r r D i i A
CONVENTI ON de SI GNE. Les formules pr´ec´edentes ont ´et´e ´etablies dans un cas par- ticulier. On d´emontre qu’elles sont toujours valables , lorsqu’il y a ´emergence du rayon,
`a condition de consid´erer les angles i r i r comme positifs dans le cas de fi- gure consid´er ´e et n´egatifslorsque le rayon change de cˆot ´epar r apport aux normales.
L’angle Adu prisme ´etant pris positif on peut voir que la d´eviation D est alors toujours positive.
9.2 Conditions d’ ´emergences.
On supposera toujours que le rayon lumineux ne rencontre pas la base du prisme. La condition n´ecessaire et suffisante d’´emergence du rayon au travers du prisme est que le rayon II attaque la face de sortie sous un angle par rapport `a la normale
r iL o`uiL est l’angle limite d´efini par siniL 1n.
Th´eor `eme 1. Pour qu’un rayon sorte du prisme , il faut et il suffit qu’il arrive sur le prisme sous un anglei sup´erieur `a l’anglei0 d´efini par
sini0 nsin A iL
Th´eor `eme 2.Une conditionn´ecessaire(mais pas suffisante !) d’´emergence du rayon est A 2iL
On a en fait (Voir le polycopi´e des T.P.) : a. Pour A 2iL, aucun rayon ne sort.
b. Pour A 2iL, on a deux cas (figure.22).
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A iL A iL A A
N N
i0 0 i0 0
i0 i0
FIG. 22 – Condition n´ecessaire d’´emergence.
D0 D
Dm
i
i0 im
FIG. 23 – Variation de la d´eviationD.
Variation de D en fonction de i. L’´etude de la variation de la d´eviation D du rayon
´emergent en fonction de l’angle d’incidenceidu rayon incident est ´etudi´ee en T.P. L’allure de la courbe exp´erimentale est indiqu´ee sur la figure 23. Il est recommand´e de reporter sur cette figure les valeurs effectivement mesur ´ees. On montre que D passe toujours par
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une valeur minimumDmqui est telle que nsinA
2 sin A Dm 2
9.3 Cas des petits angles.
Ce cas correspond `a des angles d’incidence i et de r´efraction r petits, c’est-`a-dire `a des rayons lumineux proches de la normale. L’angle au sommet A du prisme doit , par cons´equent, ˆetre lui aussi petit. Les relations du prisme se r ´eduisent alors `a
i nr i nr
et `a
A r r Aest donc petit et on a
D i i A nr nr A n r r A nA A
et Dqui est aussi petit vaut
D n 1 A
Propr i ´et ´e. `A l’approximation des petits angles, la d´eviationDestind´ependantede l’angle d’incidence i.
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Troisi `eme partie
CONDI TI ONS de GAUSS
Nous pr´ecisons dans ce chapitre les conditions n ´ecessaires `a l’obtention d’images cor- rectes dans les syst`emes optiques que nous ´etudions. Certaines de ces conditions ont ´et´e
´evoqu´ees `a propos des syst`emes planaires : les miroirs, qui sont toujours stigmatiques, et dioptres qui ne peuvent ˆetre stigmatiques que d’une mani`ere approch´ee.
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10 D´efinition.
1. Unsyst`emeoptiqueest un ensemble de milieux transparents isotropes ou r ´eflecteurs. En pratique, les surfaces de s´eparation seront toujours des formes g´eom´etriques simple (plans, sph`eres..).
2. Un syst`eme optique est dit centr ´e si les diff´erentes surfaces de s´eparation entre les milieux sont des surfaces de r´evolution autour d’un mˆeme axe : l’axe du syst`eme.
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11 I mage d’ un point lumineux.
D´efinition.Un point lumineuxest un objet lumineux vu par l’œil humain sous un angle suffisamment petit pour que sa surface apparente soit consid ´er´ee comme n´egligeable, soit un angle de vision inf´erieur `a 1 minute d’arc.
Plac¸ons un point lumineuxAdevant un syst`eme optique. Un faisceau conique divergent est rec¸u par le syst`eme optique centr´e sur sa face d’entr´ee.
Système Optique
Axe Optique
Entrée Sortie
A
FIG. 24 – Faisceau entrant dans un syst`eme optique.
`A la sortie, la nature du faisceau d´epend du syst`eme optique consid´er´e et de la position du pointApar rapport `a ce syst`eme. Trois situations doivent ˆetre envisag´ees.
1. Le faisceau ´emergent est un faisceau conique de sommet A. Tous les rayons issus de Apassant par le syst`eme optique arrivent pratiquement en un point A. Le pointA est alors l’image du pointAet le syst`eme optique est dit stigmatiquepour les pointsAet A.
a. Si le faisceau conique est convergent, tous les rayons se concentrent en A : l’image A est une image r ´eelle. ATTENTION ! Cette situation peut ˆetre dangereuse soit pour votre œil, soit pour l’appareil optique lui-mˆeme : une quantit´e importante d’´energie lumineuse peut se concentrer en A.
b. Si le faisceau conique est divergent, tous les rayons semblent provenir de A : l’image A est uneimage virtuelle. Aucune ´energie lumineuse ne se concentre en A.
Les deux situations sont repr´esent´ees sur la figure 25.
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2. Les rayons lumineux ´emergents, dans le cas d’une image r´eelle (ou leurs prolonge- ments, dans le cas virtuel) passent tous au voisinaged’un pointA. Dans le cas ouA est r´eel, on n’observe qu’une tache lumineuse, image “floue” du pointA. Nous dirons qu’il y a stigmatisme approch´e pourAetA si la tache est tr`es petite.
Image réelle Image virtuelle
A A
FIG. 25 – Image r´eelle, image virtuelle.
3. Dans le cas o`u il n’y a ni stigmatisme rigoureux ni stigmatisme approch´e, il n’y plus d’image de A, mais on constate que les rayons issus de A sortent du syst `eme selon des rayons tous tangents `a une mˆeme surface. Cette surface s’appelle unecaustique. Exp´er ience. ´Eclairez un rond de serviette bien poli par une source lumineuse ponc- tuelle. Si le rond de serviette repose sur une feuille blanche, la trace de la caustique sur la feuille se voit sous la forme d’une courbe plus lumineuse que le reste.
Seul le miroir plan est pourvu d’un stigmatisme rigoureux pour tous les points de l’espace.
Les appareils d’optique travaillent donc toujours dans des conditions de stigmatisme ap- proch´e : l’image d’un objet donn´e n’est jamais parfaite. Il est donc n´ecessaire de donner les conditions dans lesquelles les images sont les meilleures, ce sont les conditions de Gauss.
D´efinition.On dit qu’un syst`eme optique est utilis´e dans les conditions de l’approxima- tion de Gauss lorsque sont r´ealis´ees les conditions suivantes :
1. Chaque point lumineux n’envoie effectivement dans le syst`eme qu’un pinceau lumi- neux dont les rayons ne s’´ecartent quetr`es faiblementde la normale `a chaque surface rencontr´ee `a l’int´erieur du syst`eme optique consid´er´e.
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2. L’objet est plan (ou rectiligne), perpendiculaire `a l’axe du syst`eme et suffisamment petitpour que l’image puisse ˆetre aussi consid´er´ee comme plane (ou rectiligne).
Remarque. Lorsque les conditions de Gauss ne sont pas r´ealis´ees les “images” obte- nues, au lieu d’ˆetre proportionnelles `a l’objet, sont d´eform´ees : le syst`eme produit dans ce cas des aberrations g´eom´etriques. Le calcul de ces aberrations est extrˆemement diffi- cile, mˆeme si au cours de ces derni`eres d´ecennies des m´ethodes puissantes de la physique math´ematique, (th´eorie de Lie) ont ´et´e utilis´ees avec un certain succ`es.
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Quatri `eme partie
L E DI OPTRE SPH ´ERI QUE
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12 D´efinitions.
1. Un dioptre sph´eriqueest constitu´e par deux milieux transparents homog`enes et iso- tropes d’indices n1 et n2 diff´erents, s´epar´es par une surface sph´erique de rayon de courbure R 0.
2. Nous nous limiterons ici aux surfaces sph´eriques qui sont des calottes sph´eriquesde centreCet de sommetS, l’axe principal du dioptre passant par les pointsCetS.
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13 Conventions.
Il y a quatre cas de figure possibles selon l’orientation de l’axe principal et les valeurs respectives des indices n1 etn2(figure.26).
A B
+ +
n1
n1 n2 n2
C1 S1 S2 C2
FIG. 26 – Cas A :n1 n2oun1 n2et cas B :n1 n2oun1 n2
On remarquera que dans les deux cas A on a en valeur alg ´ebrique C1S1 0 et dans les deux cas B on a par contreC2S2 0.
On peut montrer que le dioptre sph´erique n’est pas stigmatique pour des points quel- conques de l’espace, pour ces raisons, nous travaillerons syst ´ematiquement `a l’approxi- mation de Gauss comme nous l’avons annonc´e pr´ec´edemment.
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14 Relations fondamentales du dioptre sph´er ique.
Consid´erons le cas particulier o `u n1 n2 et CS 0 et A1 un point lumineux situ´e sur l’axe optique comme indiqu´e sur la figure 27.
+
n1
n2
C A1 A2 S
I B
i1
i2
FIG. 27 – Trajet d’un rayon dans un dioptre sph´erique.
`A l’approximation de Gauss, le rayon incidentA1I doit ˆetre proche de la perpendiculaire au cercle de centreCet de rayonCI R. Il en r´esulte que l’anglei1 est tr`es petit et qu’il n’y a pas de r´eflexion totale en I lors du passage du rayon du milieu 1 vers le milieu 2. Si i1 est tr`es petit, il en est de mˆeme pour i2. Le rayon r´efract´e IBcoupe l’axe principal en A2; siA1est r´eel, A2 est virtuel. Appliquons la relation des sinus aux deux trianglesCA1I etCA2I,(on a pos´e SCI).
CA1 sini1
IA1 sin CA2
sini2
IA2 sin
d’o`u la relation.(On a suppos´e que est diff´erent de 0) sini1
CA2 sini2
CA1
IA2 IA1
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La relation de Snell-Descartes nous donne par ailleurs sini1
sini2 n2 n1 On obtient donc
n2 n1
CA2 CA1
IA2 IA1 soit finalement
n2CA2
IA2 n1CA1 IA1
Remarquons que cette relation est ind´ependante de la condition de Gauss :elleest la mˆeme pour tout rayon lumineux, on l’appelle larelation fondamentale du dioptre sph´er ique. Nous l’avons ´etablie dans un des quatre cas possible, on peut montrer que c’est la m ˆeme dans les autres cas.
Dans l’approximation de Gauss, que nous consid´erons ici, le pointI est toujours voisin de S, on peut donc admettre que IA2 SA2 et IA1 SA1. La relation fondamentale du dioptre sph´erique s’´ecrit alors
n2 n1
CA2 CA1
SA2 SA1
les points A1, A2, SetCsont maintenantalign´es, sur l’axe principal du dioptre que nous avons orient´e. On peut alors se convaincre que la relation fondamentale est aussi vraie pour les valeurs alg´ebriquesCA1,CA2, SA1 et SA2 mesur´ees sur l’axe principal orient´e.
Soit n2
n1 CA2 CA1
SA2 SA1
On v´erifie que cette relation reste valable pour les quatre cas de figure possibles.
En vue de l’application du dioptre sph´erique aux lentilles il est commode de choisir le sommet Sdu dioptre comme originedes valeurs alg`ebriques des longueurs mesur´ees sur l’axe principal (et seulement celles-l`a). Posons pour simplifier p1 SA1, p2 SA2 et en remarquant que SC R(toutes ces quantit´es peuvent ˆetre n´egatives ou positives !) ; on a
CA2 CS SA2 p2 R CA1 CS SA1 p1 R
La relation fondamentale du dioptre sph´erique s’´ecrit donc `a l’approximation de Gauss.
n2 n1
p2 R p1 R
p2 p1 soit en supposant p1, p2 etRdiff´erents de 0
n1 p1
n2 p2
n1 R
n2
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R15 Exercices et remarques.
1. D´eterminer le rayon r´efract´e d’un rayon passant par le centreCdu dioptre.
2. Montrer que tous les rayons parall`eles `a l’axe principal sont r´efract´es de telle sorte qu’ils passent par le mˆeme pointF situ´e sur cet axe `a l’abscisse
p2 F n2R n2 n1
Le pointF s’appelle lefoyer imagedu dioptre sph´erique. Discuter la nature virtuelle ou r´eelle deF selon les quatre cas de figure.
3. Montrer que tout rayon lumineux passant par le point F situ´e sur l’axe principal `a l’abscisse
p1 F n1R n1 n2
est r´efract´e parall`element `a cet axe. Le point F s’appelle le foyer obj et du dioptre.
Discuter la nature virtuelle ou r´eelle deF selon les quatre cas de figure.
4. Connaissant la position des foyersF et F du dioptre, construire en utilisant les rayons consid´er´es en [2.] et [3.], l’image A B d’un petit objet ABperpendiculaire `a l’axe principal.
Remarque.Les quantit´es f p1 F et f p1 F sont appel´eesdistances focalesdu dioptre sph´erique et on a
f f
n1 n2 Vergence.La quantit´e suivante
D n2 f
n1 f
n2 n1 R
s’appelle la vergencedu dioptre, elle a la dimension de l’inverse d’une longueur et s’ex- prime en dioptr iessiRest exprim´e en m`etres.
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Cinqui`eme partie
L ENTI L L ES M I NCES
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16 D´efinitions.
1. Une lentilleest un milieu transparent (n 1) limit´e principalement par deux dioptres sph´eriques ou un dioptre plan et un dioptre sph ´erique.
FIG. 28 – Types de lentilles.
2. La droite qui joint les centres des deux dioptres sph´eriques s’appelle l’axe principalou axe optique. Lorsque l’une des faces est un dioptre plan, l’axe est la droite passant par le centre du dioptre sph´erique et perpendiculaire au dioptre plan.
3. Les rayons de courburede la lentille sont les rayons de courbure R1 et R2 des deux dioptres sph´eriques. Lorsque l’une des faces est plane, son rayon de courbure est pris par convention ´egal `a .
Remarque. Les rayons de courbure sont compt´es alg´ebriquement sur l’axe principal que nous avons orient´e. Par exemple, si S1 etS2 sont les sommets des dioptres etC1etC2 leurs centres respectifs, les quantit´es S1C1 R1 et S2C1 R2 sont n´egatives ou positives selon qu’elles sont orient´ees contrairement ou dans le mˆeme sens que l’axe optique.
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17 L entilles minces.
Une lentille est une lentille mincelorsque son ´epaisseur au sommet S1S2 est tr`es petite par rapport aux deux rayons R1 , R1 et leur diff´erence
Exemples.
a. S1S2 1 mm,R1 1 m,R2 1m, c’est-`a-dire que R1 R2 2m,
C1
C2 S1 S2
FIG. 29 – Lentille mince.
est une lentille mince. En effet, S1S2 R1, S1S2 R2 et S1S2 R1 R2 sont de l’ordre du milli`eme.
b. S1S2 1mm,R1 R2 1m,n’ est pasune lentille mince car R1 R2 0 !
C1 C2 S1 S2
FIG. 30 – Lentille ´epaisse !
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18 Bords des lentilles minces.
a. Lorsque le bord de la lentille est moins ´epais queS1S2, on dit que la lentille est `a bord mince.
b. Lorsque le bord de la lentille est plus ´epais que S1S2, on dit que la lentille est `a bord
´epais.
On a les repr´esentations graphiques des deux lentilles sur la figure 31.
Lentille mince à bord
mince Lentille mince à bord épais
O O
FIG. 31 – Les deux types de lentille mince.
Dans cette repr´esentation graphique, on confond les points S1 et S2, qu’on d´enote par O et qu’on appelle le centre optiquede la lentille. Nous omettrons d´esormais le qualificatif
“mince” : toutes nos lentilles serons ici des lentilles minces et nous nous situerons dans les conditions de Gauss.
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19 L entilles convergentes, lentilles divergentes
Si nous r´ealisons l’exp´erience d’envoyer un faisceau de lumi`ere cylindrique sur une lentille parall`element `a l’axe optique , nous observons les deux cas suivants (figure 32.)
Lentille à bord mince: CONVERGENTE
Lentille à bord épais:
DIVERGENTE O O
FIG. 32 – Lentille convergente, Lentille divergente.
Remarque. En principe, lorsqu’on travaille dans les conditions de Gauss, le faisceau
´emergent semble converger (ou diverger) en un point. Il est facile, en inclinant de plus en plus l’axe principal de la lentille par rapport `a celui du faisceau d’observer la perte du stigmatisme. On peut mˆeme observer, pour de grandes inclinaisons la surface caustique qui remplace alors l’image r´eelle.
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20 Position de l’ image.
Consid´erons (fig.33) le cas d’une lentille convergente par exemple (le cas divergent est tout `a fait semblable). Soient S1 et S2 les sommets respectifs de ses deux dioptres constituants que nous consid`ereront comme confondus avec le centre optique O de la lentille. Un petit objet lumineux ABest situ´e en A, perpendiculairement `a l’axe optique.
C1
C2 S1 O S2
A B
A
B A1
B1
FIG. 33 – Principe de la formation d’une image dans dans une lentille.
Le premier dioptre de sommet S1 O donne une image A1B1 de AB. Pour le second dioptre de sommet S2 O, A1B1 joue le rˆole d’un objet (´eventuellement virtuel) dont l’image finale (r´eelle ou virtuelle) est A B.
D´enotons les valeurs alg`ebriques par p OA, p1 OA1, p OA. Les rayons de courbure des deux dioptres ´etant respectivement ´egaux `a R1 et R2 , on a OC1 R1 et OC2 R2 qui est n´egatif dans le cas de figure consid´er´e. Les formules du dioptre sph´erique donnent respectivement pour chaque dioptre
1 p
n p1
1 R1
n R1 n
p1 1 p
n R2
1 R2 Additionnons les deux membres et changeons de signe
1 p
1
p n 1 1
R1 1 R2 C’est la formule fondamentaledes lentilles minces.
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21 Points particuliers de l’ axe optique.
Nous ´etudions maintenant des points particuliers de l’axe optique, caract ´eristiques d’une lentille donn´ee.
I . L e foyer image : C’est le point F de l’axe optique, image d’un point situ´e `a l’infini (p ) ; son abscisse f p F s’appelle la distance focale image. La formule fondamentale des lentilles nous donne
1
f n 1 1
R1 1 R2
1. Le foyer image d’une lentille convergente est un point r´eel situ´e du cˆot´e de la lentille qui ne contient pas la source.
2. Le foyer imaged’une lentille divergente est un point virtuel situ´e du cˆot´e de la lentille qui contient la source.
I I . L e foyer obj et : C’est le point F de l’axe optique dont l’image F est `a l’infini (p F ). Son abscisse f p F , s’appelle ladistance focale objet. La formule fondamentale des lentilles nous donne alors
1
f n 1 1
R1 1 R2 On voit donc que
f f
C’est `a dire que les distances focales image et objet sont oppos ´ees : Les deux foyers d’ une lentille mince sont sym´etriques par rapport `a la lentille.
I I I . L ecentreoptique :C’est le pointOo`u la lentille rencontre l’axe optique et il poss`ede la propri´et´e que tout rayon rayon qui passe par le centre optique n’ est pas d´evi´e. Ceci peut se comprendre par le fait qu’au voisinage des points sommets S1 et S2 des deux dioptres, la lentille est pratiquement une lame `a faces parall`eles de tr`es faibles
´epaisseur et par cons´equent ne d´eviant pratiquement pas les rayons incidents passant au voisinage de ces points.
Donnons un r´esum´e g´eom´etrique des points caract´eristiques des lentilles que nous avons introduits.
a. Foyer s r ´eels L entille convergente.
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O F
F
FIG. 34 – Lentille convergente.
b. Foyer s virtuels L entille divergente.
O F
F
FIG. 35 – Lentille divergente.
Rappelons la formule fondamentale des distances focales f OF et f OF
f f R1R2
n 1 R1 R2
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22 Construction de l’ image d’ un petit obj et AB.
Le type d’image obtenue d´epend du type de la lentille (convergente ou divergente) mais aussi de la position relative de l’objet par rapport aux points F, F et O. Nous allons donner la construction de l’image dans le cas d’un objet r ´eel, la construction se fait d’une fac¸on tout a fait analogue dans le cas d’un objet virtuel (Voir l’exercice).
I . L entille convergente.
a. L’objet ABest compris entre et le foyer F (voir figure 36.).
I
J O A
B
A
B F
F
FIG. 36 – Lentille convergente : Cas a.
L’image A B estr ´eelle et renver s´eepar rapport `a l’objet.
b. L’objetABest compris entre le foyer F et le centre O(voir figure 37.).
I J
A O B
A B
F F
FIG. 37 – Lentille convergente : Cas b.
