Boundary representation (Brep)

(1)

Représentation Représentation frontière

frontière

--11^ière^ière partiepartie –– 2D : 2D : PolygonesPolygones

1. Rappels de géométrie

2. Representation informatique

3. Calcul de l’aire et localisation d’un point...

4. Détection des collisions (Minkowski)

5. Opérations booléennes

(2)

1. Rappels de géométrie 1. Rappels de géométrie

Produits vectoriel, produit scalaire Représentation d’une courbe

Polygones

(3)

Produit Vectoriel Produit Vectoriel

V U W

r r

r = ∧

W w Wr r r =

) sin(θ V

U W

r r r =

















=

z y x

u u u U

r

U r V

r W

r ^W^r = ^U^r ^V^r sin(θ)

θ

















−

=

−

=

−

=

z y y

x z

z x x

z y

y z z

y x

v u v

u w

v u v

u w

v u v

u w

W

. .

Scilab : W=cross (U,V)

4

(4)

Produit scalaire Produit scalaire

y P

V U w

r r

= . U

r

) cos(θ V

U w

r

= r

V V V

r r r

2 . ' =

V r

5

O x

ur V

r

θ

V V V = .

u V

Vr r r

) cos(

'= θ

z

Projection sur l’axe

ur

Scilab : a = U*V’

















 =































=

z y x

z y

z x

z

z y y

x y

z x y

x x

u

u w

v v v

u u

u

u u u

u u

u u u

u u

V P

. . .

. .

*

2 2

2

P_u est la matrice de projection sur l’axe

z z y

y x

x v u v u v

u

w = . + . + . V

U w=^t *

(5)

Représentations d’une courbe Représentations d’une courbe

Représentation algébrique

Représentation paramétrique

a x + b y + c = 0 (implicite)

a² + b² = 1 (normalisée) x(t) = a₁*t+b₁

y= A x + B ou x= A y + B (explicite)

Exemple de la droite

Représentation vectorielle :

7

x(t) = a₁*t+b₁ y(t) = a₂*t+b₂ (O,u) ou (P₁,P₂)

P1

P2

ur

t

x(t) y(t)

(6)

Représentation

Représentation vectoriellevectorielle paramétriqueparamétrique

x(u) = a₀*u+b₀ y(u) = a₁*u+b₁

{

u=0

u=1

x₀ y₀

( )

x₁ y₁

( )

x(u) = x *?+ x *?

{

Exemple d’une droite ou d’un segment

Une courbe polynomiale paramétrique contrôlée par les points

X(u) = Σ X_i P_im(u)

m i=0

x(u) = x₁*?+ x₀*?

y(u) = y₁*?+ y₀*?

{

x(u) = x₁*u+ x₀*(1-u)

y(u) = y₁*u+ y₀*(1-u)

{

P₀(u) P₁(u)

8

(7)

Exemple : la courbe de Bézier Exemple : la courbe de Bézier

P_im(u)=(m!/((m-i)! i!)) uⁱ(1-u)^m-i X(u) = Σ X_i P_im(u)

m i=0

P₀₃

P₁₃ P₂₃ P₃₃

x(u) x₀x₁x₂x₃ y(u) y₀y₁y₂y₃

( )

⁼

( )

1 u u² u³ 1 -3 3 -1

0 3 -6 3 0 0 3 -3 0 0 0 1

Convention : 0⁰ = 1

(8)

Représentations du cercle Représentations du cercle

Représentation géométrique :

10

(9)

Représentations du cercle Représentations du cercle

a*(x-x₀)² + b*( y – y₀) ² +- r² = 0 (implicite) a² + b² = 1 (normalisée)

Représentation géométrique :

11

x(t) = r * cos(t) y(t) = r * sin(t)

(O,r) ou (P₁,P₂,P₃)

(10)

Questions : sur les droites Questions : sur les droites

1. Distance d d’un point P(x,y) à une droite ?

2. Position d’un point P(x,y) par rapport au ½ espace limité par une droite ?

3. Intersection de 2 droites ?

4. « « d’une droite et d’un segment ?

14

(11)

Position et distance d’un Position et distance d’un Point/Droite

Point/Droite

X

Avec la représentation algébrique ?

) ( yx, X

15

X

Avec a² + b² =1

(12)

Position et distance d’un Position et distance d’un Point/Droite

Point/Droite

X

d X

P

ur ∧ =

Avec la représentation vectorielle ?

) ( yx, X

16

P1

P2

X

ax+ by +c = 0

1 0

2

1P ∧ P X =

P

d X

P

ur ∧ ₁ = ur

Avec a² + b² =1

(13)

Point d’intersection d’un segment Point d’intersection d’un segment avec une droite

avec une droite

PI

P2

18

P1

Avec représentation algébrique :

Détection de l’intersection des droites ?

Détection de l’intersection du segment et de la droite ? Calcul de l’intersection…

(14)

Point d’intersection d’un segment Point d’intersection d’un segment avec une droite

avec une droite

Droite : Ax+By+C=0 Droite : x(t)=a₁t+b₁

y(t)=a₂t+b₂

PI

P2

19

P1

Que dire si : ti > 1 ou ti < 0 ?

PI (x(ti), y(ti)) équation linéaire :

ti = -( Ab₁+Bb₂+C ) Aa₁+Ba₂

(15)

Polygones, Polyèdres Polygones, Polyèdres

I

U Polytopes* (EC, borné)

U : union

Polygones compact closed

manifold sets

I,C : Intersection et Complément de ½ espaces ouverts 20

½ espaces ouverts

I, C I

Nef-Polygones

(16)

Convexité (géométrie) Convexité (géométrie)

polytope

Polygone ou polyèdres

convexe

étoilé simple

α <= 180° α

21

(17)

Polygones simples et angles Polygones simples et angles

(4-2)*180° = 4*90° (3-2)*180° = 3*60°

Somme des angles internes = (n-2)*180°

(6-2)*180° = 720°

Somme des angles externes = 360°

22

60° 60° -120°

(18)

Exercice : Exercice :

Principe de l’algorithme qui détermine si un polygone est convexe en O(log(n))?

Modélisation-géométrique - O.Stab 23

(19)

Problème :

Problème : ConvexConvex Hull (2D)Hull (2D)

Écrire un algorithme de calcul d’enveloppe convexe d’un nuage de points à l’aide

des produits scalaire et vectoriel, des fonctions min, max et du tri.

(20)

Problème :

Problème : ConvexConvex Hull (2D)Hull (2D)

Écrire un algorithme de calcul d’enveloppe convexe d’un nuage de points à l’aide

des produits scalaire et vectoriel, des fonctions min, max et du tri.

L’algorithme suivra les étapes suivantes :

1. Choisir un axe s’appuyant sur les points 1. Choisir un axe s’appuyant sur les points

extremum,

2. Trier les points suivant l’abscisse sur l’axe, 3. Calculer l’enveloppe convexe des points au

dessus de l’axe,

4. Faire la même chose pour les points en dessous.

(21)

Connexité

Connexité ((topologietopologie))

Contour externe

Contour interne

• Connexité simple - polygone simple

lacets non-contractiles

Connexité par arc - composante connexe

interne

N

N non connexe Existe A,B séparés, N=AuB Si A et B fermés, A,B séparés AnB=0

A

B

27

(22)

Variétés (manifold) Variétés (manifold)

Une variété est de dimension 1 ssi le voisinage d’un point est homéomorphe à un segment

28

Une variété est de dimension 2 ssi le voisinage d’un point est homéomorphe à un disque

Introduction à la modélisation géométrique

(23)

Question :

Question : varietésvarietés ??

La frontière de ces objets est-elle une varieté de dimension D-1 ?

Trouvez un objet 2D régulier mais dont la frontière n’est pas une varieté de dimension 1 (1-manifold) ?

3D 2D

29 Introduction à la modélisation géométrique

(24)

Questions : polygones valides Questions : polygones valides

Donnez les caractéristiques des polygones suivant.

Lesquels ne sont pas valide et pourquoi ?

b)

30

a) c)

d)

e)

f) Ensembles régulier : A = Adh(Int(A))

(25)

2. Représentation informatique 2. Représentation informatique

31

(26)

Contraintes

Contraintes dd ’’intégritéintégrité

Ensembles régulier : A = Adh(Int(A)), Polygones

P1: Intersection réduites aux sommets communs Pas de polygones repliés

P2 : Un sommet appartient exactement à 2 arêtes

1

a)

b)

La frontière doit être une variété de dimension 1 (1-manifold)

P2 : Un sommet appartient exactement à 2 arêtes Polygones régulier à frontière 1-manifold

P3 : Il existe une orientation des arêtes telle que chaque sommet est origine d’une arête et extrémité d’une autre.

32

2 c)

d)

Notons que les PP l’intérieur et l’extérieur sont connus au niveau d’une arête :

l’orientation est dite « clockwise » or « counter clockwise » en fonction de la convention

(27)

Structure nécessaire ? Structure nécessaire ?

Un convexe

Plusieurs

(pour décrire un polygone dans les différents cas)

33

Un polygone simplement connexe

Un polygone non simplement connexe

(28)

Description des

Description des polygonespolygones

Polygon { nb_points

< x₁₁,y₁₁ >, … , <, x_1i,y_1i > … < x₁₁,y₁₁>,

< x₂₁,y₂₁ >, … , <, x_2i,y_2i > … < x₂₁,y₂₁>,

< x_j1,y_j1 >, … , <, x_ji,y_ji > … < x_j1,y_j1>

Fichiers de données (utilisateurs) pour PovRay

< x_j1,y_j1 >, … , <, x_ji,y_ji > … < x_j1,y_j1>

}

Scilab :

xfpolys(xpols,ypols[,fill])

34

Comment sait-on que l’on est sur le bord d’un trou ?

Comment peut-on connaitre le contour extérieur à partir d’un trou ?

(29)

Représentation

Représentation informatiqueinformatique

COORD NEXT 1 6, -3 1 2 2 10, 0 2 3 3 7, 0 3 4 4 6, 4 …

… …

COORD= [6, -3; 10, 0; 7, 0; …]; …

… … 8 0, 0 8 1

35

COORD(1,:)

LOOP(1) LOOP(2)

NEXT(1) NEXT(2)

(30)

Représentation

CGAL::Polygon_2< Point_2<Kernel>, Container >

CGAL::Polygon_with_holes_2< Kernel, Container >

36

Point_2 P=vertex(1)

LOOP1.begin() LOOP2.begin()

Vertex_circulator ++

Edge_circulator ++

(31)

Représentation

d h

g

4 5

6 7

9

… 8 _e

f i

Le BSP Tree

43

a

b c

d

1 2

3 8 5

… _e

Skip >

(32)

Représentation

d h

g

4 5

6 7

9

… 8 _e

f i

Le BSP Tree

44

a

b c

d

1 2

3 8 5

… _e

(33)

Binary

Binary SpaceSpace PartitioningPartitioning TreeTree

a

b d

f

c e

g

1 4

2 3

a_ax + b_ay + c_a = 0

> 0

< 0

> 0

> 0 < 0

45

f

i

g h

2 3

5 6 …

7 8

9

a_ax + b_ay + c_a < 0 et a_bx + b_by + c_b > 0 et

a_cx + b_cy + c_c > 0

3 ⁼ ^{> 0}

(34)

3. Interrogation du

3. Interrogation du modèlemodèle

48

?

(35)

CGAL (

CGAL (polygonpolygon package)package)

The following algorithms are available:

find the leftmost, rightmost, topmost and bottommost vertex.

compute the (signed) area.

check if a polygon is simple.

Algo ?

check if a polygon is simple.

check if a polygon is convex.

find the orientation (clockwise or counterclockwise) check if a point lies inside a polygon.

50

http://doc.cgal.org/latest/Polygon/classCGAL_1_1Polygon__2.html

Algo ?

(36)

Calcul

Calcul de lde l ’’aireaire

f(x)

Sur une représentation :

• Algébrique : f(x) = y = A x + B

•Paramétrique : x_i(t), y_i(t)

•Vectorielle :

+1 i iS S

S_i

S

51

S_i+1

(37)

Calcul

f(x) Exemple cas linéaire :

f(x)= (x-x_i)(y_i+1–y_i)/(x_i+1–x_i)+ y_i Approche triviale : représentation algébrique explicite : y = A x + B

x_i x _i+1

f(x)= (x-x_i)(y_i+1–y_i)/(x_i+1–x_i)+ y_i Ou encore

f(x)=Ax+B

avec A=(y_i+1–y_i)/(x_i+1–x_i) et B=(x_i+1y_i–x_iy_i+1)/(x_i+1–x_i)

52

(38)

f(x)

Calcul

Calcul de de l’Airel’Aire

Avec changement de variable : représentation paramétrique x

0 u

1 x_i

x_i+1

x_i x _i+1

Exemple cas linéaire : t(u) = ux_i+1 +(1-u)x_i f(t(u))= uy_i+1 +(1-u)y_i

x = t(u), u dans [0:1]

0 1

53

(39)

Calcul

Approche pragmatique (vectorielle)

Algorithme :

« Calcul » du point O, A=0

S_i

S

∑⁻

= + − +

= ¹

0

1

1 )

2 ( 1 ⁿ

i

i i i

iy x y

x A

« Calcul » du point O, A=0

Pour toutes les sommets du poly 2 1

1

Λ +

+

= A OS_i S_iS_i A

56

O

S_i+1

(40)

Aire

Aire & Centre de & Centre de gravitégravité

f(x)

Formules (rappels)

∑⁻ + − +

= ¹( ₁ ₁ )

2 1 ⁿ

i i i

iy x y

x

A ∑

= + − +

=

0

1

1 )

2 _i (xⁱyⁱ xⁱ yⁱ A

∑⁻

= + + + − +

= ¹

0

1 1

1)( )

6 ( 1 ⁿ

i

i i i

i i

i

G x x x y x y

x A

∑⁻

= + + + − +

= ¹

0

1 1

1)( )

6 ( 1 ⁿ

i

i i i

i i

i

G y y x y x y

y A

57

(41)

Point

Point dansdans polygonepolygone ??

60

(42)

Point dans polygone ? Point dans polygone ?

P₂ P₃

P Point dans un triangle ?

61

P₁

P

Et si on ne connait pas l’orientation du triangle ?

(43)

Point

Le principe

2 1

4

0

5

1 1

2

67

(44)

Point

Le principe

+1 2 0

Y_p

r2 r0

+1

0

0 0 Y_p

X_p

r3 r1

(45)

r2 r0 Les cas simples

Compter les intersections (1) Compter les intersections (1)

r3 r4

r1 r5 r6

+1 +1

69

(46)

r2 r0 Singularité simples

0

r3 r4

r1 r5 r6

+1

θ

70

(47)

r2 r0 Singularité compliquée

r3 r4

r1 r5 r6

+1

71

(48)

r2 r0 Cas terminaux

SurS

r3 r4

r1 r5 r6

SurA

72

(49)

Point dans polygone ?

L ’algorithme

r0 r1 r2 r3 r4 r5 r6 r0

r1

SurS SurS +1

+1

0 0

r1 r2 r3 r4 r5 r6

SurA 0

0 0

SurS SurS

SurS SurS SurS

SurS SurS

SurS

0 0 SurA 0

0 0 0

0 0

Test de l ’angle Parcours structure

73

(50)

Autres algorithmes Autres algorithmes

74

http://geomalgorithms.com/

From Dan Sunday

(51)

Exercice :

Exercice : findfind in CGAL doc.in CGAL doc.

Dans la documentation CGAL (www.gcal.org) retrouvez l’équivalent de la fonction

point_dans_ polygone(). Vérifiez que

l’algorithme repose sur le même principe que celui présenté en cours, justifiez (extraire les celui présenté en cours, justifiez (extraire les lignes correspondantes).

78

(52)

4. Intersection et collisions 4. Intersection et collisions

79

Skip >

End >

(53)

Intersection avec une droite 2D ? Intersection avec une droite 2D ?

P₂

> 0

∧ PP X

P

Le polygone = {P_i(x_i,y_i)}

80

P₂

P₁

2 0

1

1X ∧ PP =

P

2 0

1

1X ∧ PP >

P

2 0

1

1X ∧ PP <

P

(54)

Intersection de 2 polygones Intersection de 2 polygones

1. Détecter : englobants & structures

2. Calculer/estimer : C= AnB

3. Éviter (trajectoire) : somme de Minkowski

84

Définir la zone accessible Détecter une collision

(55)

AABB

AABB : Axis-Aligned Bounding Box

85

Balayage

(56)

Boites d’encombrement Boites d’encombrement

et géométries englobantes

86

Boites hiérarchiques Rotation AABB (vs OBB, cercle)

(57)

Oriented

Oriented BoundingBounding BoxBox

Même dans des environnements

87

Même dans des environnements statiques on peut préférer des OBB

(58)

Volumes englobant Volumes englobant

45°

d(C₁,C₂)<R₁+R₂

88

d(C₁,C₂)<R₁+R₂

?

Principe : 2 convexes non intersectant peuvent être séparé par une droite D // à un côté d’un polygone Algo : Trouver D_i, les projetés des 2 polygones sur la droite D_i sont disjoints

?

(59)

Détecter l’intersection Détecter l’intersection

Hiérarchie Volume englobant

89

Structures d’accès / subdivision spatiale**

*Q.Avril

**Autre approche que l’on verra plus tard (algorithmique géométrique)

Balayage

(60)

Éviter les «

Éviter les « CollisionsCollisions »»

P1 P1

P1

On veut éviter l’intersection P1 en mouvement (de translation)

93

P2

Planification de trajectoires P2 immobile = obstacle

(61)

«

« CollisionCollision » entre 2 polygones» entre 2 polygones

P1

« configuration space »

Robot

P1’(0,0) Somme de Minkowski

94

P2 Obstacle

FS(P2,P1) = P2 + P1’(0,0) Intersection P1 n P2 =0 ? Point « c1 » hors FS(P2,P1) ?

(62)

«

P1

P1 P1’(0,0)

?

95

P1

P2 Obstacle

FS(P2,P1) = P2 + P1’(0,0)

?

(63)

«

P1

P1’(0,0) -P1(0,0)

P1

96

P1

P2 Obstacle

FS(P2,P1) = P2 + -P1(0,0)

(64)

Sommes de Minkowski Sommes de Minkowski

Polygones convexes

Vr= Pr SUIV[Pr]

Vp=Pp SUIV[Pp]

Si( PrV( Vr, Vp )> 0 )Alors Pr = SUIV[Pr]

FS = FS u { Pp + Pr }

Vp Pp Vr

Pr Pp

Vr

VSi Pr

97

Les sommets du polygone P1+P2 = sommets de P2 + VSi

Pr Pp

FS = FS u { Pp + Pr } Sinon Pp = SUIV[Pp]

FS = FS u { Pp + Pr }

Vr Vp Vp

Vr

Pr Vp

Vr Pr Vp Pp

Pr Vp

VSi Pp

(65)

Sommes de Minkowski Sommes de Minkowski

Polygones non convexes

Dilatation Décomposition en convexes

98

Opération booléenne d’union entre les 2 polygones dilatés

U

(66)

Motion planning…

2D : jeux vidéo

rotation translation Somme de Minkowski

99

rotation

3D : Robotique

(67)

5. Opérations booléennes 5. Opérations booléennes

= TRUE

100

Skip >

End >

(68)

Opérations booléennes Opérations booléennes

Fr(B)dans A

Fr(A)dans B Fr(B)hors A

Fr(AnB) = Fr(AuB) =

Fr(A) hors B Fr(A), Fr(B)

AnB AuB

A B

102

(69)

Opérations booléennes Opérations booléennes régularisées

régularisées

103

(70)

régularisées

Fr(A)dans B Fr(B)sur- A

Fr(B)dans A

Fr(A)dans B

Fr(B)sur+ A

104

(71)

Fr(AnB) = Fr(A) dans B + Fr(B) dans A + Fr(B) sur + A

régularisées

Fr(AuB) = Fr(A) hors B + Fr(B) hors A + Fr(B) sur +A Fr(A-B) = Fr(A) hors B + Fr(B) dans A + Fr(B) sur - A

106

(72)

6. Transformations &

coordonnées Homogènes coordonnées Homogènes

End > 108

(73)

Transformations : la rotation Transformations : la rotation

( ) _







 −

= sin( ) cos( ) ) sin(

) cos(

α α

α α α

Rz

Composition : R_oz(α)o R_oz(β) = R_oz(α+β)













+

=

−

= =

= sin( ) cos( )

) sin(

) ) cos(

)(

( _'

' '

α α

α α α

y x

y

y x

P x R

P _z

Rappels de géométrie (1)

109









=

= =

) sin(

) cos(

θ θ r

y r P x

x

y P

α

R P’

θ













+

=

+

= =

) sin(

) cos(

' ' '

θ α

θ α r

y r P x

En coordonnées polaires

(74)

Rotations et complexes Rotations et complexes

P ( x + i y )

P ( r ( cos(θ^{) + i sin(}θ^{)) )}

Représentation complexe :

P ( x - i y ) P = P.P

y P

Conjugué :

Comment représenter une rotation sous la forme d’un complexe ?

110

P₁.P₂ = x₁.x₂ –y₁.y₂+ i (x₁.y₂+y₁.x₂) x

y P

θ R

P

Multiplication :

Conjugué :

rotation d’angle α

multiplication par un complexe d’arg α et de norme 1

P₁.P₂ = r₁.r₂ ( cos(α₁+α₂^{) + i sin(}α₁+α₂^{) )}

(75)

Transformations en Coordonnées Transformations en Coordonnées

Homogènes Homogènes

z

















= 1

y x

 Pc







=  y Pc x

Coordonnées Homogènes géométrie projective d=2

( ) ( ) ( )

( ) ( )















 −

=

1 0

0

0 cos

sin

0 sin

cos

θ θ

z θ R







= 

1 /

1 / y Pc x

Matrice de transformation dans R^d+1

112

z=1

x y z

P_c



 0 0 1

















=

1 0

0

1 0

0 1

y x

T t

t

M 











 1

y

P_c‘ = M_T * P_c x

(76)

Bibliographie Bibliographie

Introduction à la modélisation et à l’algorithmique géométrique Olivier STAB

◦ http://people.mines-paristech.fr/olivier.stab/geomodeling.pdf

Geometric Modeling

Michael MORTENSON -Wiley Michael MORTENSON -

Computer Graphics, principles and practice

Foley, Van Dam, Feiner, Hughes - Addison Wesley Advanced Animation and Rendering Techniques,

Alan & Mark Watt, Addison Wesley

Modélisation et construction de surfaces pour la CFAO, J.C. Léon, Hermes

Géométrie discrète en analyse d ’images

J.M Chassery & A. Montanvert - Hermes

113

(77)

Programing

Programing -- LibrariesLibraries

CGAL (The Computational Geometry Algorithms Library)

VCG (The Visualization and Computer Graphics Library)

Dan Sunday http://geomalgorithms.com/

Graphics Library)

Geometric-tools (www.geometrictools.com) GLM (OpenGL Mathematics)

Boost (polygon) ₁₁₄

(78)

Organisation des travaux Organisation des travaux

pratiques sous

pratiques sous ScilabScilab

Données :

◦ fichier d’énoncé (sujet_TPx.sci), scripts et exemples.

http://people.mines-paristech.fr/olivier.stab/TP_scilab_MG91

exemples.

Travail :

◦ répondre aux questions dans le fichier, sauver les données de test et les figures d’exemple…

Me rendre :

◦ le travail : le répertoire avec les fichiers à la fin de la séance.

115

(79)

TP 0 : introduction à TP 0 : introduction à

Scilab Scilab

Premiers pas

Vecteurs & matrices Graphisme

Graphisme IO fichiers

Scripts & fonctions

Exercices d’application

116

(80)

1. Polygones : MyPoly=[1,2;1,3;...;1,2];

◦ Manipulations simples

◦ Fonctions élémentaires :

Aire, boite d’encombrement

SCILAB

Une introduction par la pratique

TP 1 : Boundary Representation

Aire, boite d’encombrement

2. Test de point_dans_poly

◦ PIP_Demo(XYcoord)

◦ [pos]=PIP_PointLocalization(XYcoord, XYP, eps) avec pos =(DANS/HORS/SURA/SURS)

117

Estimation de l’Aire du polygone à partir de point_dans_poly() ?