Equation du Cercle´ Cercle.tex
Equation du Cercle dans ´ R ou dans C
Le cercle est l’ensemble des points ´equidistants d’un point fixe appel´e le centre.
On consid`ere le cercle de centre Ω et de rayon R ∈R+∗.
R iR
O 1 8
i
3i •Ω (8 + 3i)
•M(x+yi)
Equation du cercle ci-dessus :´ x2+y2 −16x−6y+ 48 = 0 ensemble des points d’affixe z = 8 + 3i+ 5eiθ avec 06θ 62π
Equation Cart´ ´ esienne dans R
Le centre du cercle Ω a pour affixe (a+bi) et donc pour coordonn´ees a; b
Un point quelconque M du cercle a pour affixe (x+yi) et donc pour coordonn´ees x; y Le vecteur −−→
ΩM a pour affixe (x−a) + (y−b)i
et donc pour coordonn´ees x−a; y−b Comme le point M est sur le cercle de rayonR on a, pour tourM : ΩM2 =R2 et on peut donc ´ecrire la relation suivante :
(x−a) + (y−b)i
2
=R2
(x−a)2+ (y−b)2 =R2 et en d´eveloppant : x2+y2−2ax−2by+a2+b2−R2 = 0 Donc, l’´equaation : x2 +y2−2ax−2by+c= 0 est celle d’un cercle si et seulement si : a2+b2−c > 0 et dans ce cas, le centre Ω de ce cercle a pour coordonn´ees a; b
et le rayon de ce cercle est : R=√
a2+b2−c
Repr´ esentation dans C
Le cercle de centre Ω et de rayon R est l’ensemble des points du plan d’affixe : z =a+bi+Reiθ avec : 06θ62π
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♠ LATEX 2ε
