Travaux Dirigés - M35
Complément de mathématiques PEIP - Semestre 3
Septembre 2015
Calcul Matriciel
Exercice 1. Dans l’espace vectorielR3, on pose
v1 = (1,2,−1), v2 = (−2,−4,1) et on considère les sous-espaces vectoriels
E1= Vect(v1, v2) et E2 =
(x, y, z)∈R3 |2x−y−3z= 0 . 1. Déterminer une base de chacun des sous-espaces E1,E2,E1∩E2 etE1+E2. 2. La somme E1+E2 est-elle directe ?
Exercice 2. On considère les matrices
A=
2 −3 1 0
5 4 1 3
6 −2 −1 7
, B =
7 2
−5 2 3 1 6 0
et C =
−1 2 6 3 5 7
.
Calculer les produits AB,(AB)C,BC etA(BC). Que peut-on en déduire ?
Exercice 3. On considère les matrices suivantes : A=
1 1 1 1 4 5 1 3 4
et B =
1 −1 1 1 3 −4
−1 −2 3
1. Calculer les produitsA×B etB×A.
2. En déduire que la matriceA est inversible. Quelle est son inverse ?
Exercice 4. En résolvant un système, montrer que la matrice M est inversible et calculer son inverse dans les cas suivants :
M =
3 2 3 3
; M =
2 1 1 1 0 1 1 1 2
; M =
3 2 1
3 1 3
0 1 −1
.
Exercice 5. SoitA=
1 0 2
0 −1 1 1 −2 0
. Vérifier que A3−A−4I3 = (0). En déduire que A
est inversible et donner A−1.
Exercice 6. SoitA=
1 1 1 1 1 1 1 1 1
. CalculerA2−3A, et en déduire queAn’est pas inversible.
Exercice 7. SoitT =
2 1 0 0 2 1 0 0 2
. On pose N =T−2I3.
1. CalculerN2 etN3. Que dire deNk pour tout entier naturel k≥3.
2. CalculerTn pourn∈N∗ (ind. utiliser la formule du binôme de Newton).
Exercice 8. SoientB={e1, e2, e3} une base de R3 etf l’endomorphisme de R3 défini par f(e1) =e2−e3, f(e2) =e2−e3 et f(e3) =e1−e2+ 2e3.
On pose u1 =e1−e2,u2=e1+e3 etu3 =e1−e2+ 2e3. 1. Donner la matriceA de f dans la baseB.
2. Exprimer e1,e2,e3 en fonction deu1,u2,u3. En déduire queB0={u1, u2, u3}est une base deR3.
3. Calculer f(u1),f(u2) et f(u3) en fonction de u1, u2 etu3. Donner la matrice B def dans la baseB0.
4. On considère la matrice
P =
1 1 1
−1 0 −1
0 1 2
.
(a) Justifier queP est inversible et donner P−1.
(b) Rappeler et vérifier la relation entreA,B,P etP−1.
Déterminants
Exercice 1. Sans les développer, montrer que les déterminants suivants sont nuls :
1 5 4
13 52 47
3 2 7
;
1 1 1
a b c
b+c a+c a+b
;
a a+ 1 a+ 2 a+ 1 a+ 2 a+ 3 a+ 2 a+ 3 a+ 4 .
Exercice 2. Sachant que 546, 273,169 sont divisibles par13, montrer, sans le calculer, que le déterminant
5 2 1 4 7 6 6 3 9 est un multiple de13.
Exercice 3. Calculer les déterminants suivants :
3 4 −5
8 7 2
2 −1 8 ,
1 2 −3
0 2 1
2 4 1
,
1 2 −1 3
2 1 0 1
1 −1 2 3 3 −1 2 0
.
Exercice 4. En présentant les résultats sous forme factorisée, calculer les déterminants suivants :
x 1 1 1 x 1 1 1 x
,
x+ 2 2x+ 3 3x+ 4 2x+ 3 3x+ 4 4x+ 5 3x+ 5 5x+ 8 10x+ 17
,
1 2−x2 4
2 2 x
1 1 1
.
Exercice 5.
1. Pour quelle valeur de a∈R, la matriceA=
1 1 1 1 2 4 1 3 a
est-elle inversible ? Calculer dans ce cas son inverse.
2. Etudier la liberté de la famille de vecteurs {v1, v2, v3}où
v1 = (1,1,1); v2 = (1,2,3) v3 = (1,4, a).
Exercice 6. Soita, b∈R. Résoudre, en utilisant les formules de Cramer, les systèmes linéaires suivants :
x+y+z = 1 x+ 2y+ 2z = 0 2x+y+ 3z = −1.
ax+y+z = 1 x+ay+z = b x+y+az = 1.
Exercice 7. Pour tout a∈R et tout entier n≥2, on considère la matrice
An=
a 1 . . . 1 1 a . .. ...
... . .. ... 1 1 . . . 1 a
∈Mn(R).
1. Montrer que
det(An) =
a+ (n−1) 1 1 . . . 1 a+ (n−1) a 1 . . . 1 a+ (n−1) 1 a . .. ...
... ... . .. ... 1 a+ (n−1) 1 . . . 1 a puis calculerdet(An).
2. Pour quelle(s) valeur(s) de a, la matrice An est-elle inversible ? Calculer dans ce cas son inverse lorsquen= 3.
3. On suppose que a= 1−n. Calculerdet(An−1) et en déduire le rang deAn. 4. En déduire, selon les valeurs de a, le rang de An.
Exercice 8. Soit(a, x)∈R3. Pour n∈N,n≥2, on note An le déterminant suivant :
An=
a x x · · · x 1 a 0 · · · 0 1 0 a . .. ...
... ... . .. ... 0 1 0 · · · 0 a
.
1. CalculerA2 etA3.
2. Montrer que, pour n≥3, An =aAn−1−xan−2. En déduire une expression de An en fonction den,aetx.
Exercice 9. Soientn∈N\ {0,1} et(a1, . . . , an)∈Rn. On pose
V(a1, . . . , an) =
1 a1 a21 . . . an−11 1 a2 a22 . . . an−12
... ... ... ... 1 an a2n . . . an−1n
.
1. Montrer queV(a1, a2) =a2−a1 et que, pourn≥3, V(a1, . . . , an) =V(a2, . . . , an)
n
Y
k=2
(ak−a1).
2. En déduire que V(a1, . . . , an) = Y
1≤i<j≤n
(aj −ai).
3. Pouri= 0, . . . , n−1, on note par Pi un polyôme unitaire de degré i. Montrer que
V(a1, . . . , an) =
P0(a1) P1(a1) . . . Pn−1(a1) P0(a2) P1(a2) . . . Pn−1(a2)
... ... . .. ... P0(an) P1(an) . . . Pn−1(an)
.
Diagonalisation
Exercice 1. Diagonaliser la matrice carrée Aet en déduire le calcul de An,n∈N∗, dans les cas suivants :
A=
3 1 2 2
, A=
−3 −1 6 6 4 −12
1 1 −2
, A=
2 1 −2 2 3 −4 1 1 −1
.
Exercice 2. Pour quelles valeurs des réelsa,bet cles matricesA etB suivantes sont-elles diagonalisables sur R?
A=
1 a 1 0 1 b 0 0 c
et B=
0 0 a 0 0 b a b c
.
Exercice 3. Déterminer le réel a pour que la matrice A =
1 −1 0
a 1 1
0 a+ 1 3
admette 2 comme valeur propre et la diagonaliser alors.
Exercice 4. Soita∈R. Montrer que la matrice A=
2 0 a 0 2 0 0 0 2
est diagonalisable si et seulement sia= 0.
Exercice 5. Soienta∈R∗ etA=
1 0 a 0 1 0 a 0 1
.
1. Rien qu’en examinant la matriceA, déterminer des vecteursv1, v2 etv3 tels que Av1 =v1, Av2 = (1 +a)v2 et Av3= (1−a)v3.
2. En déduire que Aest diagonalisable, et diagonaliser A.
3. Pour quelles valeurs de a, la matriceA est-elle inversible ?
Exercice 6. Soitf l’endomorphisme deR3 dont la matrice dans la base canonique est
A=
2 0 1 0 a 0 1 0 2
, a∈R.
1. Déterminer en fonction deales valeurs propres def, leurs multiplicités et les sous-espaces propres associés. Que peut-on en conclure ?
2. Pour quelles valeurs de a,f est-il un automorphisme ?
Exercice 7. Soitf l’endomorphisme deR2[X]défini par
f :P ∈R2[X]7→(2X+ 1)P −(X2−1)P0. 1. Donner la matriceA de f dans la base{1, X, X2}.
2. Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de f.
3. L’endomorphismef est-il diagonalisable ?
Exercice 8. SoitA=
1 . . . 1 ... ... ... 1 . . . 1
∈Mn(R).
1. Sans calculer le polynôme caractéristique de A, montrer que 0est une valeur propre de A et déterminer le sous-espace propre associé.
2. Que vaut la multiplicité de0? En déduire le spectre deA.
3. Justifier que la matrice Aest diagonalisable.
4. Calculer A2. Donner un polynôme annulateur de Ade degré 2, et retrouver le résultat de la question précédente.
Exercice 9. SoitA=
3 −5 3 2 −1 0 2 −2 1
.
1. Sans calculer A2 etA3, montrer queA3−3A2+ 3A−I3= 0.
2. En déduire que Aest inversible et donner A−1.
Exercice 10. Donner un polynôme annulateur de A, en déduire que A est inversible et expliciterA−1 dans les cas suivants :
A=
3 −2 −1 2 −1 1 6 3 −2
, A=
2 1 2 1 2 2 2 2 1
.
Exercice 11. Soit A ∈ Mn(R) telle que A3 −2A2 −A + 2In = 0. Montrer que A et diagonalisable, et donner un ensemble fini contenant les valeurs propres de A.
Exercice 12. Soit J =
1 1 1 1
etA=
0 J J 0
.
1. CalculerA2,A3 et donner un polynôme annulateur de Ade degré3.
2. En déduire que Aest diagonalisable.
3. Sans calculer le polynôme caractéristique de A, donner un ensemble fini contenant les valeurs propres deA, puis déterminer les valeurs propres deAainsi que leurs multiplicités.
4. En déduire le polynôme caractéristique deA.
Trigonalisation et systèmes différentiels
Exercice 1. Les matrices A=
0 1 2
−2 3 6
−3 3 15
et B=
1 0 0
0 0 1
0 −1 0
sont-elles trigonalisables dansM3(R)?
Exercice 2. Trigonaliser les matrices suivantes dans M3(R): A=
3 1 0
−4 −1 0 4 −8 −2
, A=
3 1 −1
1 1 1
2 0 2
, A=
7 −6 −2 2 0 −1 2 −3 2
.
Exercice 3. Soitf l’endomorphisme deR3 dont la matrice dans la base canonique est A=
2 1 1 1 2 1 0 0 3
.
1. Calculer le polynôme caractéristique def, et justifier que R3= ker(f−IdR3)⊕ker(f−3IdR3)2. 2. Déterminer une base deR3 par rapport à laquelle la matrice def est
T =
1 0 0 0 3 1 0 0 3
.
3. En déduire le calcul deAn,n∈N∗.
Exercice 4. Soitf l’endomorphisme deR4 dont la matrice dans la base canonique est
A=
−7 3 1 −6
−6 2 1 −6
0 0 2 0
6 −3 −1 5
.
1. Calculer le polynôme caractéristique def, et justifier que R4 = ker(f −2IdR4)2⊕ker(f + IdR4)2. 2. Déterminer les sous-espaces propres et caractéristiques de f.
3. Donner une base deR4par rapport à laquelle la matriceT def est triangulaire supérieure.
4. Déterminer la décomposition de Dunford de T, et calculer An,n∈N∗.
Exercice 5. Soienta∈RetA=
1 1 1
0 −2 0
a 2 +a a
.
1. Calculer le polynôme caractéristique deA.
2. Pour quelles valeurs de ala matrice A admet-elle trois valeurs propres distinctes ? Que peut-on conclure dans ce cas ?
3. On suppose que a=−3. Montrer queA est diagonalisable, on donnera une matriceP inversible telle queP−1AP soit diagonale.
4. On suppose que a=−1.
(a) Déterminer les sous-espaces propres et caractéristiques de A.
(b) Donner une matrice Q inversible de sorte que B = Q−1AQ soit triangulaire supérieure.
(c) En déduire la décomposition de Dunford deB et le calcul deAn,n∈N∗. (d) Déterminer les suites (un),(vn) et(wn) telles que
∀n∈N, Xn+1=AXn,où Xn=
un
vn
wn
Exercice 6. Résoudre le système différentiel Y0=AY dans les cas suivants : A=
3 1 2 2
, A=
1 1 1
0 −2 0
−3 −1 −3
, A=
1 1 0
−1 2 1 1 0 1
.
Exercice 7. SoitA=
−4 1 1 1 −1 −2
−2 1 −1
.
1. Résoudre le système différentiel X0 =AX avec la condition initialeX(0) =
1 0 0
.
2. Résoudre le système différentiel X0 =AX+B avec B(t) =
e−2t
0 0
.
Exercice 8. Résoudre l’équation différentielle suivante : y000+y00+y0+y= 0.
En déduire la solution particulière y0 telle que
y0(0) = 1 et y00(0) =y000(0) = 0.
Intégrales généralisées
Exercice 1. Déterminer la nature des intégrales généralisées suivantes et les calculer lorsqu’elles convergent :
I1= Z +∞
0
lnxdx , I2= Z 1
0
dx
xlnx , I3= Z +∞
1
dx xlnx ,
I4= Z 1
0
√ dx
1−x2 , I5= Z 1
0
x
(1−x)2dx , I6= Z +∞
0
dx px(1 +x) ,
I7= Z +∞
1
arctanx
1 +x2 dx , I8= Z +∞
0
arctan 1
x
dx , I9= Z +∞
0
e−xdx ,
I10= Z +∞
0
e−
√x
√x dx , I11= Z +∞
0
dx (1 +x)√
x , I12= Z +∞
0
xdx 1 +x4 .
Exercice 2.
1. Soit λun nombre complexe. Etudier la nature de l’intégrale Z +∞
0
eλxdx en précisant sa valeur en cas de convergence.
2. Soit a, b ∈ R. Etudier la nature des intégrales généralisées Z +∞
0
eaxcos(bx)dx et Z +∞
0
eaxsin(bx)dx et les calculer en cas de convergence.
Exercice 3.
1. Montrer que l’intégrale généraliséeI1= Z +∞
1
lnx
1 +x2dx est convergente.
2. A l’aide d’un changement de variables, exprimerI2= Z 1
0
lnx
1 +x2dx en fonction deI1. 3. En déduire que l’intégrale généralisée I =
Z +∞
0
lnx
1 +x2dx est convergente, et donner sa valeur.
4. Soita >0. Montrer que Z +∞
0
lnx
a2+x2dx= πlna 2a .
Exercice 4. Sans les calculer, montrer que les intégrales généralisées suivantes sont conver- gentes, et puis les calculer :
Z +∞
0
dx
(x+ 1)(x+ 2)(x+ 3) ,
Z +∞
0
dx
(x+ 1)2(x+ 2) ,
Z +∞
0
dx
(x2+ 1)(x2+ 2) .
Exercice 5. Par comparaison, étudier la nature des intégrales généralisées suivantes : Z 1
0
exdx
√1−x4 ,
Z 1 0
dx sin√
1−x4 ,
Z 1 0
dx ex−cosx ,
Z +∞
0
e−x2dx ,
Z 1 0
ex−1 x√
x dx ,
Z +∞
1
dx x√
1 +x2 .
Exercice 6. Etudier la nature des intégrales généralisées suivantes : Z +∞
0
sinx12
ln(1 +√ x)dx ,
Z +∞
0
sin√
√ x x dx,
Z +∞
1
arctan(x−1) (x2−1)43 dx,
Z 2 1
cosx (x−1)13dx.
Exercice 7.
1. Montrer que l’intégrale généralisée Z +∞
0
sinx
x dxest convergente.
2. Vérifier que ∀x∈[0,+∞[,0≤sin2x= 1−cos(2x)
2 ≤ |sinx|.
3. En déduire que Z +∞
0
sinx
x dx est semi-convergente.
4. Soitα∈]0,1]. Montrer que l’intégrale généralisée Z +∞
1
sinx
xα dx est semi-convergente.
5. A l’aide d’un changement de variable convenable, montrer que l’intégrale généralisée Z +∞
1
√xsin(x2)dx
est semi-convergente.
Exercice 8 (Loi Exponentielle). Une variable aléatoire Z suit la loi exponentielle de paramètre λ >0 si sa densité est donnée parf(x) =λe−λx sur[0; +∞[etf(x) = 0 sinon.
1. Montrer que cette densité définit bien une loi de probabilité, à savoir Z +∞
0
λe−λxdx= 1.
2. Montrer qu’une variable aléatoireZ de loi exponentielle de paramètre λ >0 admet une espérance et un moment d’ordre2, à savoir les intégrales généralisées
E[Z] :=
Z +∞
0
xλe−λxdx et E[Z2] :=
Z +∞
0
x2λe−λxdx
convergent. Puis donner leurs valeurs.
