A
A V B B
Vocabulaire
En langage ensembliste on dira :
• Ω est un ensemble composé de six éléments : Ω = {1;2;3;4;5;6}.
• Le cardinal de Ω est donc 6 : ca r d(Ω) = 6.
• A est un sous-ensemble de l'ensemble Ω, ce que l'on note A ┤ B (A est inclus dans B).
• L'ensemble A contient trois éléments : A = {2;4;6}.
• Le cardinal de A est donc égal à 3 : c a r d(A) = 3.
En langage probabiliste on dira :
• Ω est l'univers de l'expérience aléatoire consistant à lancer un dé à six faces.
• Ω contient donc six issues.
• A est l'événement "la face porte un numéro pair".
• A contient trois issues : l'événement A a trois façons de se réaliser.
• Si le dé est équilibré (si les six issues sont équiprobables) alors P(A) = 3 6 = 1
2. Les deux langages ont la même signification; on s'habituera à passer de l'un à l'autre.
Définition
On appelle donc cardinal d'un ensemble A, et on le note ca r d(A), le nombre d'éléments appartenant à l'ensemble A (c'est, en probabilités, le nombre d'issues qui réalisent l'événement A).
Remarque
Cette année, tous les ensembles étudies seront finis, c'est à dire qu'ils contiendront une quantité finie (non infinie) d'éléments.
1) Dénombrement a) Réunion
1 3 5
2 4 6 Ω
A
On considère deux ensembles A et B (c’est-à-dire, en probabilités, deux événements A et B) dans un univers Ω.
La réunion A∟B est l'ensemble des éléments qui appartiennent à au moins un des deux ensembles A ou B.
Dans un contexte probabiliste on connait la formule : P(A∟B) = P(A)+P(B)−P(A∩B).
En termes de dénombrement, on a de même :
ca r d(A∟B) = ca r d(A)+ca r d(B)−ca r d(A∩B)
Exemple
Les 350 élèves de terminale d'un lycée ont le choix entre russe et italien pour leur LV3 optionnelle.
Ils ont également la possibilité de s'inscrire dans les deux cours pour ceux qui le souhaitent.
On compte 172 élèves inscrits en italien et 65 en russe.
Il y a 11 courageux qui suivent les deux langues.
Combien d'élèves n'ont pas pris de LV3 ?
C a r d(I) = 172, C a r d(R) = 65 et C a r d(I∩R) = 11.
Donc C a r d(I∟R) = C a r d(I)+C a r d(R)−C a r d(I∩R) = 172+65−11 = 226.
Ainsi, 226 élèves étudient au moins une des deux langues, parmi les 350 élèves de terminale.$
Il y a donc 350−226 = 124 élèves n'ayant pas prix de LV3.
b) Produit cartésien
Définition
On considère deux ensembles A et B.
Le produit cartésien de A et de B est l'ensemble A×B contenant tous les couples (a;b) que l'on peut former avec des éléments a de A et b de B.
A×B = {(a;b), a☻A,b☻B}
Exemples
• Si A = {trèfle ; carreau ; cœur ; pique} et B = {7 ; 8 ; 9 ; 10 ; valet ; dame ; roi ; as}, alors A×B est l'ensemble des 32 cartes : {7 de trèfle ; … ; as de pique}
• Dans le cas d'ensembles infinis, si A = B = R alors A×B = R2 est l'ensemble des couples (a;b) de réels, c’est-à-dire l'ensemble des points du plan !
Dénombrement
C a r d(A×B) = C a r d(A)×C a r d(B)
c) Ensemble des parties
Définition
Un sous-ensemble A d'un ensemble Ω (avec donc A ┤ Ω) est appelé une partie de Ω.
L'ensemble des parties P(Ω) d'un ensemble Ω est donc l'ensemble de tous les sous-ensembles de Ω.
Exemple
Prenons par exemple Ω = {a ; b ; c}.
Il y a d'abord la seule partie de Ω contenant 0 élément : l'ensemble vide Ø.
Ensuite il y a trois parties à un élément : {a}, {b} et {c}.
Puis trois parties à deux éléments : {a;b}, {a;c} et {b;c}.
Et enfin l'unique partie de Ω possédant trois éléments : Ω elle-même ! L'ensemble des parties de Ω est donc ici :
P(Ω) = {Ø ; {a} ; {b} ; {c} ; {a;b} ; {a;c} ; {b;c} ; {a;b;c}}.
Il possède 8 éléments : un ensemble à 3 éléments possède 8 parties.
Dénombrement
Un ensemble Ω de cardinal n ☻ N possède 2n parties :
si C a r d(Ω) = n, alors c a r d(P(Ω)) = 2n
On procède par récurrence sur n.
Si n = 0, alors Ω n'a aucun élément donc Ω = Ø et la seule partie de Ω est Ω lui-même.
Il y a donc bien 20 = 1 partie de Ω : la propriété est initialisée.
Supposons que tout ensemble à n éléments possède 2n parties.
Considérons un ensemble Ω à n+1 éléments : Ω =
{
x1;x2;…;xn;xn+1}
.Parmi les parties de Ω on distingue deux catégories :
• celles qui ne contiennent pas xn+1; ce sont alors des parties de
{
x1;…;xn}
et par hypothèse de récurrence il y en a 2n ;• celles qui contiennent xn+1, en plus d'une partie des éléments
{
x1;…;xn}
restants, il y en a donc également 2n.
Ainsi il y a au total 2n+2n = 2×2n = 2n+1 parties de Ω et la propriété est héréditaire.
A
Ω
Exemple
Si l'on possède 5 billes, il y a 25 = 32 façons d'en prendre au hasard une quantité aléatoire (ce qui inclut les cas de figure où on les prend toutes, et celui où on en prend aucune).
En effet chaque façon de prendre au hasard une quantité quelconque des 5 billes est une partie d'entre elles.
Si E est l'ensemble {a ; b ; c ; d ; e} des 5 billes, alors par exemple prendre les trois "dernières"
correspond à la partie {c ; d ; e} de E.
Les prendre toutes correspond à E elle-même.
N'en prend aucune correspond à la partie "ensemble vide" Ø de E.
d) k-uplets
Définition
Soit Ω un ensemble fini.
L'ensemble Ωk désigne le produit cartésien de Ω,k fois avec lui-même : Ω×Ω×…×Ω. Il est donc constitué des listes
(
a1;a2;…;ak)
de longueur k d'éléments a1, a2, … , ak de Ω. Une telle liste s'appelle un k-uplet d'éléments de Ω.Exemple
Un mot de trois lettres (qui ait un sens ou non en français) est un 3-uplet de l'alphabet Ω qui comprend 26 lettres :
(
a1;a2;a3)
où a1, a2 et a3 appartiennent à l'ensemble Ω = {A ; B ; … ; Z}.Pourquoi n'est-ce pas plutôt une partie de Ω à trois éléments ?
• Parce que les lettres peuvent se répéter dans le mot de trois lettres : ETE est un 3-uplet de l'alphabet mais pas une partie à trois éléments de l'alphabet !
• Parce que les lettres d'un mot sont ordonnées alors que les éléments d'une partie ne le sont pas : SAC et CAS sont deux mots, deux 3-uplets différents, alors que {C;A;S} est une unique partie à trois éléments de l'alphabet, dans laquelle les lettres ne sont pas ordonnées.
Exemple
On considère l'ensemble Ω = {a ; b ; c ; d}, alphabèt de quatre lettres.
Parmi les parties de Ω, voici celles qui possèdent deux éléments: {a ; b} - {a ; c} - {a ; d} - {b ; c} - {b ; d} - {c ; d}.
Il y a donc 6 parties de Ω à 2 éléments.
Par contre, cherchons tous les 2-uplets de Ω.
Il s'agit de dresser un arbre de deux choix d'un élément dans Ω. On trouve alors les "mots" : aa – ab – ac – ad – ba – bb – bc – bd – ca – cb – cc – cd – da – db – dc – dd.
Il y a donc 16 2-uplets d'éléments de Ω.
Une partie à k éléments d'un ensemble Ω est un sous-ensemble non ordonné de k éléments deux à deux distincts de Ω.
Un k-uplet d'éléments de Ω est une liste ordonnée de k éléments non nécessairement distincts.
Dénombrement
Soit Ω un ensemble fini à n éléments.
Soit k un entier naturel non nul.
Alors C a r d
(
Ωk)
= nk.Autrement dit, le nombre de k-uplets d'éléments de Ω est égal à nk.
Exemple
Reprenons l'exemple de l'alphabet mais avec 5 lettres Ω = {a ; b ; c ; d ; e}.
• Il y a 25 = 32 parties de Ω parmi lesquelles : o 1 partie à 0 élément : Ø
o 5 parties à 1 élément : {a} - {b} - {c} - {d} - {e}
o 10 parties à 2 éléments : {a ; b} - {a ; c} - {a ; d} - {a ; e} - {b ; c} - {b ; d} - {b ; e} – {c ; d} - {c ; e} - {d ; e}.
o 10 parties à 3 éléments : {c ; d ; e} - {b ; d ; e} - {b ; c ; e} - {b ; c ; d} - {a ; d ; e} – {a ; c ; e} - {a ; c ; d} - {a ; b ; e} - {a ; b ; d} - {a ; b ; a}
o 5 parties à 4 éléments : {a ; b ; c ; d} - {a ; b ; c ; e} - {a ; b ; d ; e} - {a ; c ; d ; e} – {b ; c ; d ; e}
o 1 partie à 5 élément : Ω.
• Il y a par contre :
o 51 1-uplet d'éléments de Ω c’est-à-dire 5 mots de 1 lettre (les 5 lettres elles-mêmes).
o 52 2-uplets d'éléments de Ω c’est-à-dire 25 mots de 2 lettres (aa-ab-ac-ad-ae-ba-bb-bc- bd-be-ca-cb-cc-cd-ce-da-db-dc-dd-de-ea-eb-ec-ed-ee)
o 53 3-uplets d'éléments de Ω c’est-à-dire 125 mots de 3 lettres, etc.
Avec l'alphabet complet on peut former 262 = 676 mots de lettres, 263 = 17576 mots de 3 lettres etc.
e) k-uplets d'éléments distincts
Définition
Soit Ω un ensemble fini.
Un k-uplet d'éléments distincts de Ω est une liste
(
a1;a2;…;ak)
de longueur k d'éléments a1, a2,… , ak de Ω deux à deux distincts.
Dans un k-uplet d'éléments distincts, il ne peut donc plus y avoir de répétition. Par contre cela reste une liste ordonnée d'éléments (distincts) de Ω.
Exemple
Reprenons l'exemple de l'alphabet de cinq lettres Ω = {a ; b ; c ; d ; e}.
Le mot "bac" est (à la fois) un 3-uplet d'éléments de Ω et un 3-uplet d'éléments distincts de Ω.
Le mot "bebe" est un 4-uplet d'éléments de Ω mais n'est pas un 4-uplet d'éléments distincts de Ω.
On sait qu'il y a 52 = 25 mots de deux lettres (c’est-à-dire des 2-uplets).
Cherchons les 2-uplets de lettres distinctes.
Dans la liste des 25 mots du paragraphe précédent il faut éliminer les répétitions : aa, bb, cc, dd, ee.
Les 2-uplets d'éléments distincts sont donc : ab-ac-ad-ae-ba-bc-bd-be-ca-cb-cd-ce-da-db-dc-de-ea- eb-ec-ed. Il n'y en a plus que 20.
Le décompte peut se comprendre ainsi (ou en faisant un arbre) :
place 1
place 2
De même les mots de 3 lettres distinctes, c’est-à-dire les 3-uplets d'éléments distincts de Ω, correspondent à la construction suivante :
place 1
place 2
place 3
Il y a donc 5×4×3 = 120 mots (3-uplets) de 3 lettres distinctes de Ω.
Avec l'alphabet complet de 26 lettres pour Ω, un 4-uplet d'éléments distincts de Ω est un mot de 4 lettres distinctes :
place 1
place 2
place 3
place 4
Il y en a donc 26×25×24×23 = 358 800.
On peut écrire ce calcul autrement en constatant que : 26×25×24×23 = 26×25×24×23×22×21×…×3×2×1
22×21×…×3×2×1 .
Si on pose 26! = 26×25×…×2×1 (on appelle ça la factorielle de 26) alors 26×25×24×23 = 26!
22!. Ainsi le nombre de 4-uplets d'éléments distincts d'un ensemble de 26 éléments est 26!
22! ou 26!
(26−4)!. On remarque au passage qu'avec 26 lettres on ne peut pas faire de 27-uplets d'éléments distincts puisqu'il est désormais impossible de répéter des lettres.
5 lettres 4 lettres
5 lettres 4 lettres 3 lettres
26 lettres 25 lettres 24 lettres 23 lettres
Dénombrement
Soit Ω un ensemble fini à n éléments.
Soit k un entier naturel non nul tel que k  n.
Le nombre de k-uplets d'éléments distincts de Ω est égal à n× (n− 1) × … × (n−k + 1) = n! (n−k)!
où n! désigne la factorielle de n c’est-à-dire :
• le produit 1×2×…×n de tous les entiers entre 1 et n , si n à 1
• 0! = 1 sinon
Un k-uplet d'éléments distincts d'un ensemble Ω de cardinal n est une succession de choix qui s'organise de la façon suivante :
place 1
place 2
place 3
place k − 2
place k − 1
place k
Il y en a donc bien n×(n−1)×…×(n−(k−1))
= n×(n−1)×…×(n−k+1)
= n×(n−1)×…×(n−k+1)×(n−k)×…×2×1 (n−k)×...×2×1
= n! (n−k)!
.
Exemple
La finale du 100 mètres se jouer avec 8 athlètes.
On souhaite compter le nombre de podiums possible (or – argent – bronze).
Ω est ici l'ensemble des 8 finalistes au départ de la course.
Il s'agit de faire un 3-uplet d'éléments distincts de Ω.
Il y en a donc 8!
(8−3)! = 8!
5! = 40320
120 = 336 (ou bien 8×7×6 = 336).
n choix
n − 1 choix
n − 2 choix
n−(k−3) choix
n−(k−2) choix
n−(k−1) choix
