ny )( fZ )( nz )( fY )( ny )( fX )( nx )( no )( fS )(

Devoir Surveillé N° 2 Durée 2h30 avec documents

Les exercices constituant ce devoir ont pour thème global la transformation IQ (Inphase-Quadrature) ; utilisée pour « transformer » un signal réel en signal complexe. Les exercices sont indépendants. Cependant ils peuvent être traités dans l’ordre de manière à comprendre globalement la transformation IQ.

Transformation IQ

Pour déterminer l’enveloppe complexe associée à un signal réel on a recours à la transformation IQ (Inphase-Quadrature). Cette opération consiste à multiplier le signal réel initial par le signal d’un oscillateur complexe

) n (

z s(n)

2 jnπ

e ) n (

o = ⁻ puis à appliquer un filtre passe-bas demi-bande et enfin à sous- échantillonner d’un facteur 2 le signal final.

) n ( s

2 jnπ

e ) n (

o = ⁻

2

4 fe

2 fe

) n (

x y(n) z(n)

Figure 1 : Transformation IQ Exercice 1

Pour étudier la transformation dans le domaine fréquentiel, on adopte la représentation symbolique suivante pour le spectre entre 0 et

2

fe du signal initial : )

f ( S

2 0 fe

) f (

S fe=1

1) Le signal s(n) étant réel et numérique, compléter la représentation symbolique de son spectre

S (f )

. 2) Donner les 8 premières valeurs du signal

o (n )

de l’oscillateur. Quel est son spectre O(f ) ?

3) Quel est le spectre

X (f )

du signal complexe

x (n )

? Donner sa représentation symbolique.

4) Quel est le spectre du signal complexe ? Donner sa représentation symbolique. On supposera que le filtre passe-bas demi-bande est idéal : filtre à réponse impulsionnelle réelle et à réponse en fréquence unité jusque

) (f

Y y (n )

4

fe et nulle au delà.

5) Quel est le spectre du signal complexe obtenu après sous-échantillonnage d’un facteur 2 du signal ? Donner sa représentation symbolique.

) (f

Z z (n )

) (n y

6) La transformation est-elle réversible ? Si oui, expliquer comment retrouver à partir de .

) n ( z ) n (

s → s(n)

) n ( z

idéal : filtre à réponse impulsionnelle

h (n )

discrète et réelle et à réponse en fréquence

H (f )

unité jusque

4

fe

et nulle au delà.

2) Donner l’expression de la réponse impulsionnelle de ce filtre idéal et représenter la.

) (n h

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0 1 2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

-200 0 200

3) On adopte désormais le filtre RIF obtenu par synthèse de Remez : df=0.07;

F=[0 0.5-df 0.5+df 1];

M=[1 1 0 0];

h=remez(10,F,M);

Voici approximativement la réponse impulsionnelle obtenue :

{

^{0.1 0 0.1 0 0.32 0.5 0.32 0 0.1 0 0.1}

}

) n (

h = − −

↑

S’agit-il d’un filtre à phase linéaire ? Si oui, quel est le retard produit par le filtre ?

4) Exprimer la réponse en fréquence sous la forme ( : fonction réelle). Quelle est la valeur de

τ πf

e j

).

f ( R ) f (

H = ^{− 2} R( f )

τ

?

5) Compte tenu des propriétés du signal et du sous échantillonnage d’un facteur 2 (exercice 1), quel sera le coût de calcul nécessaire pour produire le signal (nombre de multiplications et d’additions nécessaire pour produire un échantillon complexe du signal ) ?

) (n x

) (n z

) (n z

Exercice 3

Pour réaliser le filtre demi-bande, on recourt à une cellule du second ordre générale :

2 1

2 1

38 0 32 0 1

3 0 35 0 3 0

−

−

−

−

+

−

+

= +

Z , Z ,

Z , Z , ) ,

Z (

H

1) Donner puis placer les pôles et les zéros dans le plan complexe.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0 1 2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

-200 0 200

2) Le filtre est-il stable ? Pourquoi ?

3) A quelles fréquences se situent les zéros ? 2 fe. 4) Calculer les réponses en fréquence en 0 et

4 fe. 5) Calculer la réponse en fréquence en 6) Donner l’équation de récurrence.

Exercice 4

Pour réaliser l’oscillateur o(n) ; on réalise le traitement suivant : ) n ( o . b ) n (

o = −1

1) Quelle doit être la valeur de b pour obtenir la bonne fréquence ? 2) Quelle doit être la valeur de o(−1) pour obtenir le signal désiré ?

Exercice 1 – Correction

1 ) Fe = Te

1)

s (n )

est réel Î

S ( − f ) = S ( f )

^* ;

s (n )

est discret (en Te) Î

S ( f )

est périodique (en

{ j j j j

K

}

n

o = − − + − − +

↑

1 1 1

1 )

(

⁰

4

f = − fe 2

0

fe

) f ( S

z z z z z z

2

− fe fe

2 3 fe

2) Î

o ( n ) = e

^j2πf0nTe avec

∑ ⁻

∗ +

=

k

kfe fe f

f f

O ) ( )

( 4 )

( δ δ

Î

4 ) ( ) ( ) ( )

( fe

f S f O f S f

X = ∗ = +

3)

x ( n ) = s ( n ). o ( n )

Î

2

0

fe

) ( f X

4) Après filtrage passe-bas demi-bande idéal :

z z z z z z

2

− fe fe

4

− fe 4

− fe

4 fe

2

0

fe ) ( f Y

2 1 ' = 2 fe =

∑ ⁻ fe

∗

=

k

kfe f f

Y f

Z ( ' )

2 ) 1 ( )

( δ

z z z z z z

2

− fe fe

4

− fe

4 fe

avec 5)

'

0

fe ) ( f Z

z z z z z z

'

− fe 2 fe '

2 '

− fe

2 ' fe

moduler par un oscillateur à

+ 4

et prendre la partie réelle car :

) ).

( Re(

)

(

²

jnπ

e n y n

s =

⁺

43 42 1

)*

4 (

*

)

( 4 ) ( 4 ) ( ) ( ) (

f fe

f fe f

fe Y f f Y f S

+

−

+

∗

− +

−

∗

=

δ

δ

δ

et donc

Exercice 2 – Correction

1) S’agissant d’un filtre numérique à coefficients réels, sa réponse en fréquence est périodique et présente la symétrie hermitienne.

2

0

fe

) ( f H

2)

⁼ ∫

fe ⁻

⁼ ∫

₋^{+ −}

fe fe

fnTe j fnTe

j

df e df

e f H n

h

⁴

4 2

)

2

( )

(

^{π π}

2 2 ) sin(

2 ) 1

( π

π n

n n

h =

z z z z z z

2

− fe fe

4

− fe

4 fe 1

Î

-15 -10 -5 0 5 10 15

-0.2 0 0.2 0.4 0.6

) (n h

3) Oui, il s’agit d’un filtre à phase linéaire car la réponse impulsionnelle est symétrique. Le retard introduit par le filtre est égal à la demi-longueur de la réponse impulsionnelle :

N Te Te

2 5

1 =

= −

τ

.

4)

^{H ( f ) =} ( ^{0 . 5 + 0 . 64 cos( 2 π fTe ) + 0 . 2 cos( 6 π fTe ) + 0 . 64 cos( 10 π fTe )} ) ^e

^−j2πf5Te Î

^τ

^=5Te

5) Compte tenu de l’alternance réel-imaginaire des échantillons de ; 7 (nombre de coefficients non- nuls) multiplications-additions réelles suffiront pour calculer chaque échantillon complexe du signal . Le nombre de multiplications pourrait encore être abaissé à 4 en exploitant la symétrie de la réponse impulsionnelle.

) (n x

)

(n

z

Exercice 3 – Correction

2 1

2 1

38 , 0 32

, 0 1

166 . 1 3 1 . 0 )

( _{− −}

−

−

+

−

+

= +

Z Z

Z Z Z

H

1)

°

= ±

±

−

= ¹²⁶

2 ,

1 0.58 j0.81 e ^j

Z

°

= ±

±

= ⁷⁵

2 ,

1 0.16 j0.60 0.616e ^j P

2) Le filtre est stable car les pôles sont à l’intérieur du cercle unité.

-1 0 1

-1 0 1

Imaginary Part

3) Les zéros sont sur le cercle unité aux fréquences

± f

₀ telles que e^±j2πf0Te =Z_1,2 Î

f

₀

= 0 . 35 fe 147

. 0 ) 1 (

2 )

( = fe = H Z = − = f

H

4)

H ( f = 0 ) = H ( Z = 1 ) = 0 . 896

;

°

=

−

−

−

=

=

=

= ) ( ) 0 . 23 0 . 45 0 . 5

¹¹⁷

( fe 4 H Z j j e

^j

f H

5)

) 2 ( 38 . 0 ) 1 ( 32 . 0 ) 2 ( 3 . 0 ) 1 ( 5 . 0 ) ( 3 . 0 )

( n = x n + x n − + x n − + y n − − y n −

y

6)

Exercice 4 – Correction

2 ) 1 ( 2

)

2

(

π π

π _{− − −}

−

=

= e

^jn

e

^j

e

^{j n}

n

o o ( n ) = ( − j ). o ( n − 1 ) b = − j

1) Î Î

)

2

(

jnπ

e n

o =

⁻

2) Î

o ( 0 ) = 1 = b . o ( − 1 )

Î

o ( − 1 ) = j